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第二天的试题来自贴吧

Triangle Centers and Central Triangles

找一本这个书非常非常的困难. 本站好不容易找到了一本, 封面是这个样子的: “Triangle Centers and Central Triangles” 在近几年欧氏平面几何的研究论文中, 引用频率很高. 这是加拿大 Utilitas Mathematica Publishing Inc 出版社的杂志 “Congressus Numerantium” 1998年的第 129 卷, 讨论了三角形的 400 多个特殊点的性质. 这本书的详细信息, 可以参阅作者 Clark Kimberling 的主页 Triangle Centers and Central Triangles 本书目录如下: The Launch Pad: Traditional Triangle Geometry Definitions Centers 1 to 180 Centers 181 to 360 Central Lines Central Triangles Classes of Triangles Circles and Other […]

Rational points on a circle

圆周上的有理点有这么几个情况. 1.  没有有理点. \[x^2+y^2=3\] 是一个例子. 2. 恰有一个有理点. 比如 \((x+\sqrt2)^2+(y+\sqrt2)^2=4\) 只有原点. 3. 恰有两个有理点. 比如 \[x^2+(y+\sqrt2)^2=3\] 4. 有无穷个有理点  这是我们关心的情形. 很容易证明, 如果一个圆周上有 \(3\) 个有理点, 则有无穷多个有理点在此圆周上, 并且此圆的圆心是有理点, 半径的平方是有理数. 所以, 只要关注 \begin{equation}x^2+y^2=\frac pq\end{equation} (\(p, q\) 是互质的正整数) 即可. 中心是有理点 方程 \((1)\) 有有理解当且仅当 \(p, q\) 都能表成两个整数的平方和. 在有有理解的情形下, 有无穷多个有理点在这个圆周上, 也就是有无穷多对有理数的平方和是 \(\dfrac pq\). 有几个办法可以定出 \((1)\) 的有理解. 初等一点的办法, 可以从 \[x^2+y^2=a^2+b^2, \] 着手, 这里 \((a,b)\) 是 \((1)\) 的一组有理解, 即  \(a^2+b^2=\dfrac pq\) 为真. 于是 \[(x+a)(x-a)=(b+y)(b-y). \] 当 \(y+b\ne0\), 且 \(x-a\ne0\) 时, \[\frac{x+a}{y+b}=\frac{b-y}{x-a}. […]