• John ellipsoid

    本文作者 Zilin Jiang 对于一个三角形 \(T\), 一定可以找到一个椭圆 \( E\), 满足 \(E\subseteq T\subseteq 2E\). 对于一个平行四边形\(P\), 一定可以找到一个椭圆\( E^*\), 满足 \( E^*\subseteq P\subseteq \sqrt{2}E^*\). 由于在仿射变换下三角形, 平行四边形, 椭圆, 线段比例都保持, 所以只需要对正三角形和正方形进行证明就可以了. 实际上, John定理断言, 每一个\( n\) 维凸体\( K\) 都有一个相应的椭球 \(E\) 满足, \(E\subseteq K\subseteq nE\). 对每一个中心对称凸体 \( C\), 都有一个相应的椭球 \( E^*\) 满足 \( E^*\subseteq C\subseteq \sqrt{n}E^*\). 为了证明John定理, 我们需要引入 John 椭球的概念, 为此需要证明 John-Loewner 椭球定理: 对于任意一个 \( n\) 维空间中的含有内点的紧子集, 存在唯一的椭球包含\(K\), 使得椭球体积达到最小, 此时, 称该椭球为 John 椭球. 证明(概要) 利用椭球与\( n\) 阶正定对称阵的联系, 考虑所有包含 \(K\) 的椭球的中心和其对应的正定对称阵构成空间\( C_K\), 证明\( \det\) 函数在\(C_K\) 上取到最大值, 存在性得证. 如果 \(\det\) 在 \( C_K\) 中有两个极大值点, 可以通过这两个极大值点构造 \( C_K\) 中的元素, 使得\(\det\) 在该元素上的取值更大(这里需要利用\(\ln \det\) […]

  • \(\{\sqrt n\}\) is linearly independent over the rationals

    集合 \[\{\sqrt n|n\in\Bbb N\; \text{is Square-free integer}\}\] 在有理数域上线性无关. 这其实是非常古老的问题, 早已经有很一般的结果. 先厘清无平方因子整数Square-free integer这个概念: \(1\) 到底是不是无平方因子整数? wiki 给出的定义是: 不被不是 \(1\) 的完全平方整除的整数称为无平方因子整数. 因此, \(1\) 算无平方因子正整数. 鉴于此, 我们认为: 无平方因子整数定义为”不被质数的平方整除的整数”更为恰当. 下面的证明来自 Iurie Boreico 的文章 Linear Independence of Radicals. 我们把问题写的更清楚一点, 即我们要证明: \(n_1\), \(n_2\), \(\dotsc\), \(n_k\) 是互不相同的无平方因子正整数; \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_k\) 都是整数. 令 \[S=a_1\sqrt{n_1}+a_2\sqrt{n_2}+\dotsb+a_k\sqrt{n_k},\] 那么 \(S=0\) 当且仅当 \(a_1=a_2=\dotsb=a_k=0\). 第一个办法是指出更精细的结果: 记 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_N\) 是 \(n_1n_2\dotsm n_k\) 的所有互不相同的质因子. 则存在 \[S^\prime=b_1\sqrt{m_1}+b_2\sqrt{m_2}+\dotsb+b_l\sqrt{m_l},\] (这里 \(b_1\), \(b_2\), \(\dotsc\), \(b_l\) 都是整数; \(m_1\), \(m_2\), \(\dotsc\), \(m_l\) 都是无平方因子正整数, 并且都没有 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_N\) 以外的质因子), […]

  • IMO 2016 solutions II

    IMO 2016 solutions II

    这个续集只聊第 \(3\) 题. 需要的数论的基本知识, 另文写成. 以 \(A_1\) 为反演中心, 以 \(1\) 为反演幂作反演变换. 记 \(A_2\), \(A_3\), \(\dotsc\), \(A_k\) 在此反演变换下的关于 \(A_1\) 的反演点分别是 \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\). 显而易见, \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\) 在一条直线上, 并且这些点在此直线上的排列就是如此次序, 因此, \begin{equation}B_2B_3+B_3B_4+\dotsb+B_{k-1}B_k=B_2B_k.\end{equation} 既然 \(\triangle A_1B_iB_{i+1}\sim \triangle A_1A_{i+1}A_i\), \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \(\triangle A_1B_2B_k\sim \triangle A_1A_kA_2\), 于是 \begin{equation}\frac{B_iB_{i+1}}{A_iA_{i+1}}=\frac{A_1B_{i+1}}{A_1A_i},\end{equation} \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \begin{equation}\frac{B_2B_k}{A_2A_k}=\frac{A_1B_k}{A_1A_2}.\end{equation} 设 \(a_j=A_1A_j^2\)(\(j=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k\)), \(b_i=A_iA_{i+1}^2\)(\(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\)), 以及 \(c=A_2A_k^2\), 我们可有 \begin{equation}B_iB_{i+1}=\sqrt{\frac{b_{i+1}}{a_ia_{i+1}}},\end{equation} \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \begin{equation}B_2B_k=\sqrt{\frac{c}{a_2a_k}}.\end{equation} 至此, 出现在眼前的是 \begin{equation}\sum_{i=2}^{k-1}\sqrt{\frac{b_{i+1}}{a_ia_{i+1}}}=\sqrt{\frac{c}{a_2a_k}}.\end{equation} 关键的任务是说明当 \(k\gt3\) 时, 上式不可能为真: 对于 […]

  • Triangle Centers and Central Triangles

    Triangle Centers and Central Triangles

    找一本这个书非常非常的困难. 本站好不容易找到了一本, 封面是这个样子的: “Triangle Centers and Central Triangles” 在近几年欧氏平面几何的研究论文中, 引用频率很高. 这是加拿大 Utilitas Mathematica Publishing Inc 出版社的杂志 “Congressus Numerantium” 1998年的第 129 卷, 讨论了三角形的 400 多个特殊点的性质. 这本书的详细信息, 可以参阅作者 Clark Kimberling 的主页 Triangle Centers and Central Triangles 本书目录如下: The Launch Pad: Traditional Triangle Geometry Definitions Centers 1 to 180 Centers 181 to 360 Central Lines Central Triangles Classes of Triangles Circles and Other […]

  • Yitang Zhang got into USCB in 2015

    Yitang Zhang got into Mathematics Department at University of California, Santa Barbara in 2015. He is now a Professor of Mathematics, USCB. ZHANG, Yitang Mathematics, Professor Ph.D., Purdue University Research Interests:  prime numbers, analytic number theory.

  • Yitang Zhang’s talks in the summer of 2015 in Beijing

    这个炎热的七月, 张益唐回到了北京, 在他的母校北京大学和晨兴数学中心做了几次讲座. [Distinguished Lecture] Small gaps between primes July 20, 2015 15:00-16:00, 镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅 Abstract: The twin prime conjecture states that there are infinitely many pairs of distinct primes which differ by 2. Until recently this conjecture had seemed to be out of reach with current techniques. However, in 2013, the author proved that there are […]

  • The group of rational points on the unit circle

    单位圆上有理点的群结构 这是一个交换群, 其加法定义为 \[ (x, y)\oplus (z, w) = (xz − wy, xw + yz).\]

  • Rational points on a circle

    圆周上的有理点有这么几个情况. 1.  没有有理点. \[x^2+y^2=3\] 是一个例子. 2. 恰有一个有理点. 比如 \((x+\sqrt2)^2+(y+\sqrt2)^2=4\) 只有原点. 3. 恰有两个有理点. 比如 \[x^2+(y+\sqrt2)^2=3\] 4. 有无穷个有理点  这是我们关心的情形. 很容易证明, 如果一个圆周上有 \(3\) 个有理点, 则有无穷多个有理点在此圆周上, 并且此圆的圆心是有理点, 半径的平方是有理数. 所以, 只要关注 \begin{equation}x^2+y^2=\frac pq\end{equation} (\(p, q\) 是互质的正整数) 即可. 中心是有理点 方程 \((1)\) 有有理解当且仅当 \(p, q\) 都能表成两个整数的平方和. 在有有理解的情形下, 有无穷多个有理点在这个圆周上, 也就是有无穷多对有理数的平方和是 \(\dfrac pq\). 有几个办法可以定出 \((1)\) 的有理解. 初等一点的办法, 可以从 \[x^2+y^2=a^2+b^2, \] 着手, 这里 \((a,b)\) 是 \((1)\) 的一组有理解, 即  \(a^2+b^2=\dfrac pq\) 为真. 于是 \[(x+a)(x-a)=(b+y)(b-y). \] 当 \(y+b\ne0\), 且 \(x-a\ne0\) 时, \[\frac{x+a}{y+b}=\frac{b-y}{x-a}. […]

  • Counting from Infinity-A film about Yitang Zhang and the twin prime conjecture

    Counting from Infinity-A film about Yitang Zhang and the twin prime conjecture

    Counting from Infinity, A film about Yitang Zhang and the twin prime conjecture, 终于公映了 大家可以在下面的地点观看

  • John Nash and his wife Alicia were killed

    John Nash 与妻子 Alicia 23 日在 New Jersey 乘坐出租车时, 出租车司机当时试图超车, 车辆失控, 撞上防护栏. 纳什夫妇没有系安全带, 被甩出车外, 两人当场遇难. 纳什夫妇是在挪威接受了阿贝尔数学奖之后的回家途中遇此大难. The New York Times 刚刚发布了消息 John Nash, ‘A Beautiful Mind’ Subject and Nobel Winner, Dies at 86 纳什最重大的数学成就 The inverse function theorem of Nash and Moser 只有很少科学家的经历会在科学家之外成为传奇, 牛顿好像都没能做到-除了苹果落地的传说. 纳什居然有此殊荣!

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