Peking university 2020 mathematics postgraduate entrance examination–mathemematics Basic examination 2

北京时间 2019 年 12 月 22 日下午数学基础考试 2 说明: 设 \(\varphi\) 是域 \(F\) 上的线性空间 \(U\) 到 \(V\) 的线性映射, \(\ker  \varphi=\{\alpha\in U|\varphi(\alpha)=0 \} \), \(\Im\varphi=\{\varphi(\alpha)|\alpha\in U \} \). 1. 设 \(V_0=\{0\}\), \(V_1\), \(V_2\), \(\dotsc\), \(V_n\), \(V_{n+1}=\{0\}\) 都是域 \(F\) 上的有限维线性空间, 设 \(\varphi_i\) 是 \(V_i\) 到 \(V_{i+1}\) 的线性映射 \[V_0\stackrel{\varphi_0}{\longrightarrow} V_1\stackrel{\varphi_1}{\longrightarrow}\cdots\stackrel{\varphi_{n-1}}{\longrightarrow} V_n\stackrel{\varphi_n}{\longrightarrow} V_{n+1},\] 并且 \(\Im  \varphi_i=\ker   \varphi_{i+1}\), \(i=0, 1, […]

Hilbert’s 17th Problem 5: Homogeneous polynomial

齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性. 在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱. 实数域上的的 \(n\) 元多项式环, 以 \(\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 表之. Hilbert 限制在齐次多项式. 定义 5.1 设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 把 \(n+1\) 元 \(d\) 次齐次多项式 \begin{equation}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n)=x_0^dp\Big(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dotsc, \frac{x_n}{x_0}\Big)\end{equation} 称为是 \(p\) 的齐次化(Homogenization). 具体来说, 当  \(p=\sum cx_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n}\), 那么 \begin{equation}\begin{split}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n )&=x_0^d\sum c\Big(\frac{x_1}{x_0}\Big)^{d_1}\Big(\frac{x_2}{x_0}\Big)^{d_2} \dotsm \Big(\frac{x_n}{x_0}\Big)^{d_n}\\&=\sum cx_0^{d-d_1-d_2-\dotsb-d_n}x_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n} […]

Hilbert’s 17th Problem 1: Non-negative polynomials on \(\Bbb R\)

设 \(p\) 是实系数的 \(n\) 元多项式, \(S\) 是 \(n\) 维 Euclidean space \(\Bbb R^n\) 的子集. 我们说 \(p\) 在 \(S\) 上是非负的(non-negative), 如果对于任意的 \(x\in S\), 有 \(p(x)\geqslant0\). 我们下面关注的重点是 \(\Bbb R^n\) 上的非负(non-negative)多项式, 即对于任意的 \(x\in \Bbb R^n\), 有 \(p(x)\geqslant0\). 要探讨的, 非负多项式是否就是可以表为多项式的平方和的那些多项式? 这是一个古老的问题, 与 Hilbert’s seventeenth problem 有关, 早已有答案: 回答”差不多”是肯定的. 换言之, 非负多项式确实可以表示成平方和, 但一般而言是有理函数而不是多项式的平方和. 先从简单的情形一元多项式开始. Theorem 1.1 \(p(x)\geqslant0\) 对所有的实数 \(x\) 为真, 则存在一元多项式 \(f(x)\) 和 \(g(x)\), […]