• IMO 2018 solutions

    2018 第 59 届 IMO 解答 今年的解答是姗姗来迟. Problem 1 ()

  • 2018 China IMO team selection test

    2018 China IMO team selection test

    2018 年IMO 国家队队员李一笑——来自江苏天一中学——的大作 “2018 年国家集训队第一阶段选拔试题及解答”. 文档转载自数学新星网. 2018 China IMO team selection test part one 2018 年国家集训队第二阶段选拔试题来自贴吧

  • There does not exist a group whose commutator subgroup is isomorphic to \(S_4\)

    Theorem. There does not exist a group whose commutator subgroup is isomorphic to \(S_4\). The relevant facts are that \(S_4\) is a complete group(no outer automorphisms, trivial center) which is not perfect(that is, the commutator subgroup of \(S_4\) is not \(S_4\) itself). Any group which has these properties is never a commutator subgroup of anything. Here’s […]

  • Hilbert’s 17th Problem 6: History

    既然奇次多项式会编号, 那么设 \(d\) 次多项式 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 非负, 则 \(d\) 为偶数. 我们以后只要关注偶次多项式就行了.

  • Hilbert’s 17th Problem 5: Homogeneous polynomial

    齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性. 在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱. 实数域上的的 \(n\) 元多项式环, 以 \(\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 表之. Hilbert 限制在齐次多项式. 定义 5.1 设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 把 \(n+1\) 元 \(d\) 次齐次多项式 \begin{equation}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n)=x_0^dp\Big(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dotsc, \frac{x_n}{x_0}\Big)\end{equation} 称为是 \(p\) 的齐次化(Homogenization). 具体来说, 当  \(p=\sum cx_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n}\), 那么 \begin{equation}\begin{split}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n )&=x_0^d\sum c\Big(\frac{x_1}{x_0}\Big)^{d_1}\Big(\frac{x_2}{x_0}\Big)^{d_2} \dotsm \Big(\frac{x_n}{x_0}\Big)^{d_n}\\&=\sum cx_0^{d-d_1-d_2-\dotsb-d_n}x_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n} […]

  • Hilbert’s 17th Problem 4: The Anneli Lax-Peter Lax form

    1971 IMO P1   Prove that the following assertion is true for \(n = 3\) and \(n = 5\), and that it is false for every other natural number \(n\gt2\): If \(x_1\), \(x_2\), \(\dotsc\), \(x_n\) are arbitrary real numbers, then \begin{equation}A_n(x)= \sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}\Big(x_i-x_j\Big)\geqslant 0.\end{equation} Anneli Lax  and Peter Lax 1978 年在 [1] 指出: \(A_5(x)\) 不能表成二次型的平方和. 说明 […]

  • Hilbert’s 17th Problem 3: The Choi-Lam polynomial

    M.D. Choi, T.-Y. Lam 1977 年举了一个例子: The Choi-Lam polynomial \(Q(x, y, z, w) =x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+w^4-4xyzw\) 不能写成多项式的平方和. 与 The Motzkin polynomial 一样, Choi-Lam 多项式也会在以后的证明成为关键角色. 后面的定理 5.2 说明 \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+w^4-4xyzw\) 不能写成多项式的平方和实际就是下面定理的后半部分: 定理 3.1 Choi-Lam 多项式 \begin{equation} Q(x, y,z) =x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1-4xyz,\end{equation} 那么 \(Q(x, y,z)\geqslant0\) 为真对任意实数 \(x\), \(y\),  \(z\); \(Q(x, y,z)\) 不能写成多项式的平方和. 方法是完全照搬的. 如果 \(Q(x, y, z)\) 是一些次数(至多)为 \(2\) 的多项式的平方和: \begin{equation} Q(x, […]

  • Hilbert’s 17th Problem 2: The Motzkin polynomial

    T. Motzkin 1967 年举了一个例子: The Motzkin polynomial \(M(x, y, z)=x^4y^2+x^2y^4+z^6-3x^2y^2z^2\) 不能写成多项式的平方和. 后面的定理 5.2 说明这事与定理 2.1 的第二部分是等价的. Theorem 2.1  Motzkin 多项式 \begin{equation} M(x, y) =x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2+1,\end{equation} 那么 \(M(x, y)\geqslant0\) 对任意实数 \(x\), \(y\) 成立; \(M(x, y)\) 不能写成多项式的平方和; \(M(x, y)\) 可以表示为有理函数的平方和. \(M(x, y)\geqslant0\) 是显然的, 因为我们有算术几何平均不等式. 定理的第二部分, 如果 \(M(x, y)\) 是一些次数(至多)为 \(3\) 的多项式的平方和: \begin{equation} M(x, y) =\sum_{l=1}^k\Big(a_l+b_lx+c_ly+d_lx^2+e_lxy+f_ly^2+g_lx^3+h_lx^2y+i_lxy^2+j_ly^3\Big)^2,\end{equation} 这里 \(a_l\), \(b_l\), […]

  • Hilbert’s 17th Problem 1: Non-negative polynomials on \(\Bbb R\)

    设 \(p\) 是实系数的 \(n\) 元多项式, \(S\) 是 \(n\) 维 Euclidean space \(\Bbb R^n\) 的子集. 我们说 \(p\) 在 \(S\) 上是非负的(non-negative), 如果对于任意的 \(x\in S\), 有 \(p(x)\geqslant0\). 我们下面关注的重点是 \(\Bbb R^n\) 上的非负(non-negative)多项式, 即对于任意的 \(x\in \Bbb R^n\), 有 \(p(x)\geqslant0\). 要探讨的, 非负多项式是否就是可以表为多项式的平方和的那些多项式? 这是一个古老的问题, 与 Hilbert’s seventeenth problem 有关, 早已有答案: 回答”差不多”是肯定的. 换言之, 非负多项式确实可以表示成平方和, 但一般而言是有理函数而不是多项式的平方和. 先从简单的情形一元多项式开始. Theorem 1.1 \(p(x)\geqslant0\) 对所有的实数 \(x\) 为真, 则存在一元多项式 \(f(x)\) 和 \(g(x)\), […]

  • \(\{\sqrt n\}\) is linearly independent over the rationals

    集合 \[\{\sqrt n|n\in\Bbb N\; \text{is Square-free integer}\}\] 在有理数域上线性无关. 这其实是非常古老的问题, 早已经有很一般的结果. 先厘清无平方因子整数Square-free integer这个概念: \(1\) 到底是不是无平方因子整数? wiki 给出的定义是: 不被不是 \(1\) 的完全平方整除的整数称为无平方因子整数. 因此, \(1\) 算无平方因子正整数. 鉴于此, 我们认为: 无平方因子整数定义为”不被质数的平方整除的整数”更为恰当. 下面的证明来自 Iurie Boreico 的文章 Linear Independence of Radicals. 我们把问题写的更清楚一点, 即我们要证明: \(n_1\), \(n_2\), \(\dotsc\), \(n_k\) 是互不相同的无平方因子正整数; \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_k\) 都是整数. 令 \[S=a_1\sqrt{n_1}+a_2\sqrt{n_2}+\dotsb+a_k\sqrt{n_k},\] 那么 \(S=0\) 当且仅当 \(a_1=a_2=\dotsb=a_k=0\). 第一个办法是指出更精细的结果: 记 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_N\) 是 \(n_1n_2\dotsm n_k\) 的所有互不相同的质因子. 则存在 \[S^\prime=b_1\sqrt{m_1}+b_2\sqrt{m_2}+\dotsb+b_l\sqrt{m_l},\] (这里 \(b_1\), \(b_2\), \(\dotsc\), \(b_l\) 都是整数; \(m_1\), \(m_2\), \(\dotsc\), \(m_l\) 都是无平方因子正整数, 并且都没有 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_N\) 以外的质因子), […]

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