IMO 2017 solutions II

只聊第 \(3\) 题. 这个题读起来有点费劲, 其实游戏的两方, 兔子和猎人, 都没有任何办法保证距离一定能多长或多近. 换句话说, 不管兔子和猎人如何行动, 兔子与猎人的距离是可能无限大也可能任意小. 这个问题要证明的结论就是: 不管猎人如何行动, 兔子有一个可能成功(而不是一定成功)的策略使得猎人的办法无效. 下面来证明这一点: 每一回合不管猎人如何行走, 兔子有一个行动方案, 在定位设备反馈某些点的情况下, 可能(而不是一定)使得与猎人的距离要多大有多大. 新加坡的 Jeck Lim 给出了一种漂亮的解法. Jeck Lim 很不得了, 是一个仙才哦, 他代表新加坡 5 次挂帅出征 IMO. 我们从这样的一种闭曲线开始: 这种曲线是由单位圆, 即半径为 \(1\) 的圆, 的下半圆和一段放置在半圆上面的半径为 \(r\) 的圆弧连结而成的闭曲线. 换句话说, 这种曲线的上部分是一个弓形, 下部分是一个半径为 \(1\) 的半圆. 显然, 这里要求 \(r\geqslant1\). 把这种曲线围成的有限区域称为 \(r\)-muffin. 注意:  \(r\)-muffin 包含曲线本身, 即有限区域的边界.  特别的, 半径为 \(1\) […]

Triangle Centers and Central Triangles

找一本这个书非常非常的困难. 本站好不容易找到了一本, 封面是这个样子的: “Triangle Centers and Central Triangles” 在近几年欧氏平面几何的研究论文中, 引用频率很高. 这是加拿大 Utilitas Mathematica Publishing Inc 出版社的杂志 “Congressus Numerantium” 1998年的第 129 卷, 讨论了三角形的 400 多个特殊点的性质. 这本书的详细信息, 可以参阅作者 Clark Kimberling 的主页 Triangle Centers and Central Triangles 本书目录如下: The Launch Pad: Traditional Triangle Geometry Definitions Centers 1 to 180 Centers 181 to 360 Central Lines Central Triangles Classes of Triangles Circles and Other […]

Rational points on a circle

圆周上的有理点有这么几个情况. 1.  没有有理点. \[x^2+y^2=3\] 是一个例子. 2. 恰有一个有理点. 比如 \((x+\sqrt2)^2+(y+\sqrt2)^2=4\) 只有原点. 3. 恰有两个有理点. 比如 \[x^2+(y+\sqrt2)^2=3\] 4. 有无穷个有理点  这是我们关心的情形. 很容易证明, 如果一个圆周上有 \(3\) 个有理点, 则有无穷多个有理点在此圆周上, 并且此圆的圆心是有理点, 半径的平方是有理数. 所以, 只要关注 \begin{equation}x^2+y^2=\frac pq\end{equation} (\(p, q\) 是互质的正整数) 即可. 中心是有理点 方程 \((1)\) 有有理解当且仅当 \(p, q\) 都能表成两个整数的平方和. 在有有理解的情形下, 有无穷多个有理点在这个圆周上, 也就是有无穷多对有理数的平方和是 \(\dfrac pq\). 有几个办法可以定出 \((1)\) 的有理解. 初等一点的办法, 可以从 \[x^2+y^2=a^2+b^2, \] 着手, 这里 \((a,b)\) 是 \((1)\) 的一组有理解, 即  \(a^2+b^2=\dfrac pq\) 为真. 于是 \[(x+a)(x-a)=(b+y)(b-y). \] 当 \(y+b\ne0\), 且 \(x-a\ne0\) 时, \[\frac{x+a}{y+b}=\frac{b-y}{x-a}. […]