Solutions to 2017 Chinese Mathematical Olympiad(CMO)

不是完整的试题解答, 仅仅在关隘的地点聊一聊. 付云皓的题 3 的解 记 \(a=[nq^{\frac13}]\), \(b=[nq^{\frac23}]\), \(c=nq\). 然后 \begin{equation}\Big(c-aq^{\frac23}\Big)^2+\Big(c-bq^{\frac13}\Big)^2+\Big(aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2=\frac{2(a^3q^2+b^3q+c^3-3abcq)}{aq^{\frac23}+bq^{\frac13}+c}\geqslant\frac2{3c},\end{equation} 最后的不等式是因为 \(a^3q^2+b^3q+c^3\gt 3abcq\), 并且 \(c\geqslant aq^{\frac23}\), \(c\geqslant bq^{\frac13}\). 然后, 因为 \(c-aq^{\frac23}\geqslant0\), \(c- bq^{\frac13}\geqslant0\), 以及 \(aq^{\frac23}-bq^{\frac13}=-\Big((c-aq^{\frac23})-(c-bq^{\frac13})\Big)\), 得到 \begin{equation}\Big(c-aq^{\frac23}\Big)^2+\Big(c-bq^{\frac13}\Big)^2\leqslant\Big(2c-aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2,\end{equation} 与 \begin{equation}\Big(aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2\leqslant\Big(2c-aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2.\end{equation} 现在, \((1)\) 给出 \begin{equation}2\Big(2c-aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2\geqslant\frac2{3c},\end{equation} 记得 \(c=nq\), 这也就是 \begin{equation}\Big(q^{\frac13}\cdot \{nq^{\frac23}\}+q^{\frac23}\cdot \{nq^{\frac13}\}\Big)^2\geqslant\frac1{3nq}.\end{equation} 随即我们有 \begin{equation}\Big\{nq^{\frac23}\Big\}+ \Big\{nq^{\frac13}\Big\}\geqslant\frac1{q\sqrt{3qn}}.\end{equation}

Hilbert’s 17th Problem 4: The Anneli Lax-Peter Lax form

1971 IMO P1   Prove that the following assertion is true for \(n = 3\) and \(n = 5\), and that it is false for every other natural number \(n\gt2\): If \(x_1\), \(x_2\), \(\dotsc\), \(x_n\) are arbitrary real numbers, then \begin{equation}A_n(x)= \sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}\Big(x_i-x_j\Big)\geqslant 0.\end{equation} Anneli Lax  and Peter Lax 1978 年在 [1] 指出: \(A_5(x)\) 不能表成二次型的平方和. 说明 […]

\(\{\sqrt n\}\) is linearly independent over the rationals

集合 \[\{\sqrt n|n\in\Bbb N\; \text{is Square-free integer}\}\] 在有理数域上线性无关. 这其实是非常古老的问题, 早已经有很一般的结果. 先厘清无平方因子整数Square-free integer这个概念: \(1\) 到底是不是无平方因子整数? wiki 给出的定义是: 不被不是 \(1\) 的完全平方整除的整数称为无平方因子整数. 因此, \(1\) 算无平方因子正整数. 鉴于此, 我们认为: 无平方因子整数定义为”不被质数的平方整除的整数”更为恰当. 下面的证明来自 Iurie Boreico 的文章 Linear Independence of Radicals. 我们把问题写的更清楚一点, 即我们要证明: \(n_1\), \(n_2\), \(\dotsc\), \(n_k\) 是互不相同的无平方因子正整数; \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_k\) 都是整数. 令 \[S=a_1\sqrt{n_1}+a_2\sqrt{n_2}+\dotsb+a_k\sqrt{n_k},\] 那么 \(S=0\) 当且仅当 \(a_1=a_2=\dotsb=a_k=0\). 第一个办法是指出更精细的结果: 记 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_N\) 是 \(n_1n_2\dotsm n_k\) 的所有互不相同的质因子. 则存在 \[S^\prime=b_1\sqrt{m_1}+b_2\sqrt{m_2}+\dotsb+b_l\sqrt{m_l},\] (这里 \(b_1\), \(b_2\), \(\dotsc\), \(b_l\) 都是整数; \(m_1\), \(m_2\), \(\dotsc\), \(m_l\) 都是无平方因子正整数, 并且都没有 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_N\) 以外的质因子), […]