A simple proof of the Gauss-Bonnet theorem for geodesic ball

Author: KKK In this short note, we will give a simple proof of the Gauss-Bonnet theorem for a geodesic ball on a surface. The only prerequisite is the first variation formula and some knowledge of Jacobi field (second variation formula), in particular how its second derivative (or the second derivative of the Jacobian) is related […]

John Horton Conway

生命游戏之父约翰·康威于4月11日由于新冠肺炎去世，享年83岁。作为普林斯顿大学数学系教授的约翰·康威，从小就对数学表现出强烈的兴趣和天赋，因为发明“生命游戏”被人熟知，他在组合博弈论、数论、群论等多个领域都颇有建树。 康威证明了生命游戏具有图灵完备性，允许在生命游戏中模拟任何其他生命游戏规则。在理论上，如果网格空间足够大，计算能力足够强，生命游戏甚至可以模拟出与真实生命相当的复杂度。 康威最为世人所知的创造是《生命游戏》。上世纪70年代初，全世界四分之一的电脑运行过这款游戏。一份美国军方的研究报告显示，人们在岗位上偷闲观看游戏的进展，损失的工作量价值百万美元。直至今天，油管上有关它的最新视频仍在收获数十万的点击量。 游戏的世界是一张方格棋盘，被细胞棋子占据。每个细胞接下来的命运取决于相邻8个方格中其他细胞的数量。生存或死亡，规则看似简单：活着的时候，周围生命分布得太多太少都会导致死亡。死去后，周围生命多起来则会带来重生。 生命在棋盘之上自寻出路，组合、震荡、碰撞，变幻出无穷无尽的图像。它激发了细胞自动机的研究热潮，有计算机的数学家都开始运行模拟，发掘更新更复杂的图样，探索其中蕴含的优美规律。2013年11月，第一个可以克隆自身及规则的《生命游戏》复制体问世。 John Horton Conway 小传 透过 Bultheel, Adhemar的书评（《Book Review: ‘Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway (S. Roberts)》）可以了解这位传奇的数学家。 这是一位具有非常规职业的数学家，他的思考方式与众不同。 他于1937年出生在利物浦——有两个姐姐的家庭。康威在11岁时已定下志愿：去剑桥大学，做一个数学家。他是个多面手，几乎在现代数学的每一方面都有所建树，包括群论、拓扑、数论、几何。 1964年，他在剑桥获得博士学位，后成为普林斯顿大学数学系教授。 在剑桥大学，他是个才华横溢的迷惘年轻人。毕业前很长一段时间，他连找什么工作都没想好。一日闲逛路遇老师，老师建议他向自己申请本校教职，他则连申请书都不知道怎么写。老师只得现场拿出纸笔替他写好，而他只负责签名。几天后，回信寄至：“您的申请失败了，但我还能给您第二选择。” 这是一份助理教授的职位，他在“第二选择”的位置上工作了22年，直到1986年任教普林斯顿。工作的头5年里，他没有做成一件“正事”，终日在教员休息室里发明新游戏，或者为老游戏制定新规则——旧规则太“无聊”了。以粉笔为赌注，他与同事争锋于“豆芽游戏”和“哲学家足球”——用围棋棋子玩的抽象足球。一组数学家在多年后发表论文证明，这球要踢好真的很难啊。 1966年8月，在莫斯科，一位博士生向他介绍了“Leech晶格”：在24维的欧几里得空间里，一堆球体紧密排布，每个球都挨着周围196560个球。他的想象力被激活了，开始寻找这个晶格的空间对称群。他成功了。 他非常健谈，可以同时思考许多显得很混乱的事情。他将自己再普林斯顿（Princeton）的办公室变成一个住所，装满了悬挂在天花板上的纸质多面体模型、书籍、纸张、未打开的信件以及桌子， 椅子和地板上的午餐包装纸。不坐任何整理，也不保留任何文件、信件或档案。 他是充满魅力的数学教师，一位从口袋里变出趣味问题的魔术师，一个侃侃而谈的数学天才。在公众面前，他可能就是数学本身：敏锐，跳脱，灵光闪现在大胡子上，频繁得像静电噼里啪啦闪现在干燥的毛衣上。有时他会随口瞎扯，描述在一场剑桥的酒席上，一个古老家族归还保存了150年的克伦威尔的头颅——他根本就不在现场。 他选择成为这样的康威。成年以前，这个身形单薄的利物浦男孩总坐在教室最后一排，因为内向被老师戏称“玛丽”。在18岁前往剑桥上学的路上，他决定要做一个外向的人，能言善辩，大讲段子，高声笑。 退休之后，他仍出没于各大数学夏令营，和年轻人讨论数学。他多次公开表示越来越不相信自己的记忆力，因为记忆老是撒谎。这可能是实情，也可能是他逃避采访的又一次瞎扯。 Siobhan Roberts 写过一本Conway 的传记 Genius At Play: The Curious Mind of John Horton Conway John Horton Conway 的著述 John […]