Peking university 2019 mathematics postgraduate entrance examination–mathemematics Basic examination 1

北京时间 2018 年 12 月 23 日上午数学基础考试1 1. 讨论数列 \(a_n=\sqrt[n]{1+ \sqrt[n]{2+ \sqrt[n]{3+\dotsm+ \sqrt[n]n } } }\) (\(n\) 个根号) 的敛散性. 2. 设 \(f(x)\in C[a,b]\) 且 \(f(a)=f(b)\), 证明: \(\exists x_n\), \(y_n\in[a,b]\)s.t. \(\lim\limits_{n\to\infty}\big(x_n-y_n\big)=0\) 且 \(f(x_n)=f(y_n)\), \(\forall n\in \Bbb N\). 3. 证明 \(\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kC_n^k\frac1{k+m+1}= \sum\limits_{k=0}^n(-1)^kC_m^k\frac1{k+n+1} \), 其中 \(m\), \(n\) 是正整数. 4. 无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^\infty(1+a_n)\) 收敛, 是否级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛? 若是, 给出证明; […]

Hilbert’s 17th Problem 4: The Anneli Lax-Peter Lax form

1971 IMO P1   Prove that the following assertion is true for \(n = 3\) and \(n = 5\), and that it is false for every other natural number \(n\gt2\): If \(x_1\), \(x_2\), \(\dotsc\), \(x_n\) are arbitrary real numbers, then \begin{equation}A_n(x)= \sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}\Big(x_i-x_j\Big)\geqslant 0.\end{equation} Anneli Lax  and Peter Lax 1978 年在 [1] 指出: \(A_5(x)\) 不能表成二次型的平方和. 说明 […]

\(\{\sqrt n\}\) is linearly independent over the rationals

集合 \[\{\sqrt n|n\in\Bbb N\; \text{is Square-free integer}\}\] 在有理数域上线性无关. 这其实是非常古老的问题, 早已经有很一般的结果. 先厘清无平方因子整数Square-free integer这个概念: \(1\) 到底是不是无平方因子整数? wiki 给出的定义是: 不被不是 \(1\) 的完全平方整除的整数称为无平方因子整数. 因此, \(1\) 算无平方因子正整数. 鉴于此, 我们认为: 无平方因子整数定义为”不被质数的平方整除的整数”更为恰当. 下面的证明来自 Iurie Boreico 的文章 Linear Independence of Radicals. 我们把问题写的更清楚一点, 即我们要证明: \(n_1\), \(n_2\), \(\dotsc\), \(n_k\) 是互不相同的无平方因子正整数; \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_k\) 都是整数. 令 \[S=a_1\sqrt{n_1}+a_2\sqrt{n_2}+\dotsb+a_k\sqrt{n_k},\] 那么 \(S=0\) 当且仅当 \(a_1=a_2=\dotsb=a_k=0\). 第一个办法是指出更精细的结果: 记 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_N\) 是 \(n_1n_2\dotsm n_k\) 的所有互不相同的质因子. 则存在 \[S^\prime=b_1\sqrt{m_1}+b_2\sqrt{m_2}+\dotsb+b_l\sqrt{m_l},\] (这里 \(b_1\), \(b_2\), \(\dotsc\), \(b_l\) 都是整数; \(m_1\), \(m_2\), \(\dotsc\), \(m_l\) 都是无平方因子正整数, 并且都没有 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_N\) 以外的质因子), […]