Hilbert’s 17th Problem 5: Homogeneous polynomial

齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性. 在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱. 实数域上的的 \(n\) 元多项式环, 以 \(\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 表之. Hilbert 限制在齐次多项式. 定义 5.1 设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 把 \(n+1\) 元 \(d\) 次齐次多项式 \begin{equation}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n)=x_0^dp\Big(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dotsc, \frac{x_n}{x_0}\Big)\end{equation} 称为是 \(p\) 的齐次化(Homogenization). 具体来说, 当  \(p=\sum cx_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n}\), 那么 \begin{equation}\begin{split}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n )&=x_0^d\sum c\Big(\frac{x_1}{x_0}\Big)^{d_1}\Big(\frac{x_2}{x_0}\Big)^{d_2} \dotsm \Big(\frac{x_n}{x_0}\Big)^{d_n}\\&=\sum cx_0^{d-d_1-d_2-\dotsb-d_n}x_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n} […]

Hilbert’s 17th Problem 2: The Motzkin polynomial

T. Motzkin 1967 年举了一个例子: The Motzkin polynomial \(M(x, y, z)=x^4y^2+x^2y^4+z^6-3x^2y^2z^2\) 不能写成多项式的平方和. 以后会证明这事与定理 2.1 的第二部分是等价的. Theorem 2.1  Motzkin 多项式 \begin{equation} M(x, y) =x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2+1,\end{equation} 那么 \(M(x, y)\geqslant0\) 对任意实数 \(x\), \(y\) 成立; \(M(x, y)\) 不能写成多项式的平方和; \(M(x, y)\) 可以表示为有理函数的平方和. \(M(x, y)\geqslant0\) 是显然的, 因为我们有算术几何平均不等式. 定理的第二部分, 如果 \(M(x, y)\) 是一些次数(至多)为 \(3\) 的多项式的平方和: \begin{equation} M(x, y) =\sum_{l=1}^k\Big(a_l+b_lx+c_ly+d_lx^2+e_lxy+f_ly^2+g_lx^3+h_lx^2y+i_lxy^2+j_ly^3\Big)^2,\end{equation} 这里 \(a_l\), \(b_l\), \(c_l\), \(d_l\), […]

Yitang Zhang got into USCB in 2015

Yitang Zhang got into Mathematics Department at University of California, Santa Barbara in 2015. He is now a Professor of Mathematics, USCB. ZHANG, Yitang Mathematics, Professor Ph.D., Purdue University Research Interests:  prime numbers, analytic number theory.