About “complex analysis” by Kunihiko Kodaira

“苟日新，日日新，又日新” 作者: 秋水无涯 博尔赫斯曾经(大逆不道地)怀疑过所有经典文学作品的“永恒性”。在我看来，在数学中实践这种怀疑主义所要冒的风险要小得多。这是一门研究客观对象的学问（我无意卷入哲学上的争论，例如“理念”是否真实存在，数学家“发现”还是“发明”定理等等：实践者或多或少总能达成共识，而与旁观者争论是没意义的)，认识总在进步。如果说有人站在巨人的肩膀上以至于觉得巨人并不高大，他大可不必为此感到羞愧。何况据说小平先生还没有他的夫人高呢。 经典的复分析理论是由3位风格各异的大师奠定的：Cauchy的积分表示观点，Weierstrass的幂级数表示观点和Riemann的复几何观点。近代恰好也有3位大师写过复分析的入门书：Ahlfors、H.Cartan以及小平邦彦。诚然，一本近代教材不可能只局限于介绍某种观点，甚至3种经典观点本身也无法截然分开，然而我们还是不难发现某种对应： Ahlfors《复分析》最精彩的部分在于提供了一个从拓扑角度看完全清晰而现代的Cauchy积分定理。他毫不掩饰自己的分析学家趣味，自得其乐地(当然同时也让读者受益无穷)讨论着函数的各种表示，函数空间内的收敛性，椭圆函数论以及超几何函数论。这些论题覆盖了经典函数论的绝大部分内容，又出之以现代观点，使得此书在数十年间一直保持着第一参考书的地位。这是3本书中我读得最早也最钟爱的一本，虽然我并不强求它是完美的：在不引入Riemann面的情况下引入层论是相当勉强的，除了让叙述稍显摩登之外没有什么意义。 Cartan的《解析函数论》则处于一种尴尬的境地。他试图把Weierstrass观点摆到图像的中心，但这里有一个天然的(？)的限制：从积分表示构造幂级数表示要比从幂级数表示构造积分表示自然得多。因而他不得不在两种观点间来回跳跃，远不如Ahlfors宏大而一致。当然他的牺牲也获得了某种回报：Weierstrass观点可以毫不费力地推广到多变元(Cauchy的大部分函数论定理也仍然正确；高维的困难之处本质上是几何的)。 小平讨论了Riemann面，讨论了调和函数和“臭名昭著”的Dirichlet原理，讨论了Abel积分，也讨论了Riemann-Roch定理——他的这本著作几乎可以用来为Riemann招魂。这个膜拜Riemann的教派大概是由Klein创始的，一传到Weyl，再传到小平。然而从Riemann到小平已将近一个世纪，这种“复古”的风气难免显得有些怪异：在讨论全纯/亚纯形式的时候，小平偏要说Abel微分并把它分为一二三类；椭圆算子的正则性以及Hodge理论原本是他的拿手好戏，他却宁愿踩着Weyl引理-Dirichlet原理这条窄道小心前行：多么讽刺啊，以Hodge理论名震天下的小平邦彦，在写书的时候竟然连Hodge的名字都不敢提！这种“爱护”对学生有何好处呢？如果小平自己都莫名其妙地不置一词，初学者又怎么知道引理8.1和定理8.1在高维妙用无穷呢？ 当然，有人会说：这个特例已很有代表性(在证明了RR定理的情况下尤其如此)，何必用一般性去困扰学生呢？但我意不在此。我所惋惜的是这个例子明明可以把学生引导到当时的前沿领域，引向一些激动人心的进展，作为向导的小平却宁愿带着一帮人回头走向Riemann：这是何必、何苦？ 我知道一些数学家有所谓“经典情结”。Weil就是典型的例子。总有人以他读Gauss全集“读”出了Weil猜想为例宣传挖掘经典的必要性，伍鸿熙先生甚至在介绍现代Riemann几何的书里鼓励年轻人去念Gauss、Riemann和Poincare。在我看来这是一种纯粹的误导：一方面，重新拾起那些被现代数学消化了的概念毫无必要；另一方面，在经典作品里找到遗珠并非不可能，但因此鼓励初学者去撞运气则是荒唐的，我也绝不相信伍先生自己的论文是这样写出来的。 曾有人问丘成桐先生学微分几何要读什么书。丘先生明确地表示Spivak并不合适：“他自己不是搞几何的专家。”说得明白一些，“历史趣味”对于研究至多是锦上添花，读丘成桐比读Gauss要有效得多：至于那些喜欢拿“谁更伟大”说事的人，他们自己往往什么都搞不出来。 从这个意义上来说，小平的复分析是一本好书：它好在内核是新的，用现代的观点处理了Riemann留下的一些古典论题(而并不是好在“小平先生是人人景仰的大师”这些不着边际的话)。但它又是一本太过保守的书，并不能把没有经验的读者带到更远处——很可能要等到他们念Griffiths-Harris的时候才能明白：“哦，原来这里是重要的。哦，原来小平先生处理问题的手法是受这些现代观点影响。哦，原来小平先生并不是踏雪无痕，而是过分小心地把自己思想的脚印一一擦掉了。”

Hilbert’s 17th Problem 5: Homogeneous polynomial

齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性. 在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱. 实数域上的的 \(n\) 元多项式环, 以 \(\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 表之. Hilbert 限制在齐次多项式. 定义 5.1 设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 把 \(n+1\) 元 \(d\) 次齐次多项式 \begin{equation}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n)=x_0^dp\Big(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dotsc, \frac{x_n}{x_0}\Big)\end{equation} 称为是 \(p\) 的齐次化(Homogenization). 具体来说, 当  \(p=\sum cx_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n}\), 那么 \begin{equation}\begin{split}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n )&=x_0^d\sum c\Big(\frac{x_1}{x_0}\Big)^{d_1}\Big(\frac{x_2}{x_0}\Big)^{d_2} \dotsm \Big(\frac{x_n}{x_0}\Big)^{d_n}\\&=\sum cx_0^{d-d_1-d_2-\dotsb-d_n}x_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n} […]

Hilbert’s 17th Problem 1: Non-negative polynomials on \(\Bbb R\)

设 \(p\) 是实系数的 \(n\) 元多项式, \(S\) 是 \(n\) 维 Euclidean space \(\Bbb R^n\) 的子集. 我们说 \(p\) 在 \(S\) 上是非负的(non-negative), 如果对于任意的 \(x\in S\), 有 \(p(x)\geqslant0\). 我们下面关注的重点是 \(\Bbb R^n\) 上的非负(non-negative)多项式, 即对于任意的 \(x\in \Bbb R^n\), 有 \(p(x)\geqslant0\). 要探讨的, 非负多项式是否就是可以表为多项式的平方和的那些多项式? 这是一个古老的问题, 与 Hilbert’s seventeenth problem 有关, 早已有答案: 回答”差不多”是肯定的. 换言之, 非负多项式确实可以表示成平方和, 但一般而言是有理函数而不是多项式的平方和. 先从简单的情形一元多项式开始. Theorem 1.1 \(p(x)\geqslant0\) 对所有的实数 \(x\) 为真, 则存在一元多项式 \(f(x)\) 和 \(g(x)\), […]