第 32 届中国数学奥林匹克

湖南 长沙

第一天

(2016 年 11 月 24 日    8:00–12:30)

1. 数列 \(\{u_n\}\), \(\{v_n\}\) 满足: \(u_0=u_1=1\), \(u_n=2u_{n-1}-3u_{n-2}(n\geqslant2)\), \(v_0=a\), \(v_1=b\), \(v_2=c\), \(v_n=u_{n-1}-3u_{n-2}+27v_{n-3}(n\geqslant3)\). 已知存在正整数 \(N\), 使得当 \(n\geqslant N\) 时, \(u_n\mid v_n\). 求证: \(3a=2b+c\).

2. 锐角 \(\triangle ABC\) 中, 外心为 \(O\), 内心为 \(I\). 过点 \(B\), \(C\) 作外接圆的切线交于点 \(L\), 内切圆切 \(BC\) 于点 \(D\), \(AY\) 垂直 \(BC\) 于点 \(Y\), \(AO\) 交 \(BC\) 于点 \(X\), \(PQ\) 为过点 \(I\) 的圆 \(O\) 的直径. 求证: \(P\), \(Q\), \(X\), \(Y\) 共圆等价于 \(A\), \(D\), \(L\) 共线.

3. 将矩形 \(R\) 分为 \(2016\) 个小矩形, 每个小矩形的顶点称为结点, 每个小矩形的边和 \(R\) 平行. 若一条线段的两端为结点, 且线段上没有其他结点, 称之为基本线段. 求遍历所有划分方式时, 基本线段数量的最小值个最大值.

第二天

(2016 年 11 月 25 日    8:00–12:30)

cmo 2017 day 2