Nov 252015
 

Sam Northshield 用一句话就说明了质数的无穷性. 这个很精彩的证明是这样的:

Proof.  If the set of primes is finite, then

\[0\lt \prod_p \sin\left(\frac \pi p\right)= \prod_p \sin\left(\frac{\pi\Big(1+2\prod\limits_{p’}p’\Big)}p\right)=0.     \qquad          \Box\]

有更短的数学证明吗?应该没有! 这个证明正确吗?好像不是一目了然啊!

不等号 \(\lt\) 显而易见.

第一个等号 \(=\) 也很显然, 因为\(\prod\limits_{p’}p’\) 跑遍所有的(有限个)质数, 因此, 对于任意的质数 \(p\), \(p\mid\prod\limits_{p’}p’\) 为真.

关键的地方来了, 为什么必有一项 \(\sin\Bigg(\frac{\pi\Big(1+2\prod\limits_{p’}p’\Big)}p\Bigg)=0\)? 这是因为 \(1+2\prod\limits_{p’}p’\) 肯定有质因子, 不妨 \(q\) 是其中之一. 设整数 \(k\) 使得 \(1+2\prod\limits_{p’}p’=kq\), 于是

\[\sin\left(\frac{\pi\Big(1+2\prod\limits_{p’}p’\Big)}q\right)=\sin k\pi=0.\]

似曾相识? Euclid 的那个最著名的证明好像也有这么一个类似的步骤!

普遍流行的认识是, Euclid 的那个质数无穷性的著名证明是通过反证法. 事实不是如此.

References

  1. Sam Northshield, A One-Line Proof of the Infinitude of Primes, The American Mathematical Monthly, Vol. 122, No. 5 (May 2015), p. 466
  2. Michael Hardy and Catherine Woodgold, Prime Simplicity,  the Mathematical Intelligencer, Volume 31, Issue 4, December 2009,  44-52
  3. Harold Edwards, Contradict or Construct?,  the Mathematical Intelligencer, Volume 32, Issue 1, March 2010, p.3
  4. Harold Edwards, Essays in Constructive Mathematics,  Springer, 2010

  One Response to “A one sentence Proof of the Infinitude of Primes”

  1. ; Euclid 的那个质数无穷性的著名证明是通过反证法. 事实不是如此.

    为什么不是反证法呢?假设素数有限,找到一个不在其中的有一个素数,与假设矛盾啊。能否解释一下:)

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