Sep 152017
 

群通常是这么定义的: 如果在一个非空集合 \(G\) 上的一个二元运算(群运算), 记作 \(ab\), 满足下面的三个条件:

  •  结合律: 对于 \(G\) 中任意元素 \(a\), \(b\), \(c\), 有 \((ab)c=a(bc)\);
  • 存在(左)单位元: \(G\) 中有一个 \(e\), 使得对于 \(G\) 中任意元素 \(a\), 有 \(ea=a\);
  • 存在(左)逆元: 对 \(G\) 中任意元素 \(a\), 存在 \(G\) 中元素 \(b\), 使得有 \(ba=e\),

那么, \(G\) 称为一个群(Group).

当然, 我们可以把这个定义的后两个条件改为存在右单位元及存在右逆元. 事实上, 不难证明这两种定义是完全等价的.

那么, 能不能只改一个条件? 即, 能不能在群定义的”存在左单位元”改为”存在右单位元”或者”存在左逆元”改为”存在右逆元”? 答案是: 不能!

Colonel Johnson 在 A mixed non-group, The American Mathematical Monthly, Vol. 71, No. 7, pp. 785,  举了一个例子来说明, 非空集合 \(G\) 上的二元运算满足结合律, 并且每个元素有左单位元和右逆元, 然而 \(G\) 不一定是一个群.

记 \(G\) 是所有这样形式的 \(2\times2\) 的矩阵

\[M=\left(\begin{array}{cc}x&y\\x&y\end{array}\right),\]

这里 \(x\), \(y\) 是实数, 且 \(x+y\ne0\).

容易验证 \(G\) 关于矩阵乘法是封闭的, 当然也就满足结合律.

矩阵

\[J=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}\right)\]

属于 \(G\), 并且是左单位元, 即对 \(G\) 中每一个矩阵 \(M\), 有 \(JM=M\) 为真.

设 \(M\) 是 \(G\) 的任意一个矩阵, 则

\[\left(\begin{array}{cc}0&\frac1{x+y}\\0&\frac1{x+y}\end{array}\right)\]

属于 \(G\), 并且是 \(M\) 的右逆元.

然而, \(J\) 不是右单位元, 于是 \(G\) 对于矩阵乘法不成为一个群.

群的早期历史

群的概念的出现, 来源于数学的几个领域.

首先是多项式方程的求解.

第二个系统的用到群的领域是几何, 尤其是对称群在 Felix Klein 在 1872 年的 Erlangen program 中显示了重要性.

第三个推动群的进展的领域是数论.

 Posted by at 11:28 pm

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