Aug 192020
 

从模函数到单值化定理 Ⅴ

秋水无涯

Prologue:

…It is true that Mr. Fourier had the opinion that the principal purpose of mathematics was the benefit of the society and the explanation of phenomena of nature; but a philosopher like he should know that the sole purpose of science is the honor of the human mind, and under this title, a question about numbers is as valuable as a question about the system of the world…

——C. G. Jacobi, Letter to Legendre

 

紧Riemann面是代数几何学家感兴趣的对象,因为可以将其视为复射影空间中的代数曲线。在接下来的两章中,我们利用单值化定理对紧Riemann面做一个初步的讨论。

以 $\mathbb{\bar{C}}$ 为万有覆叠的紧Riemann面$S$ 解析同构于$ \mathbb{C}P^{1}$,有理函数是其上仅有的亚纯函数。拓扑上我们得到了一个亏格为$0$的闭曲面(球面)。这一情形是简单的。

以$\mathbb{C}$为万有覆叠的紧Riemann面S解析同构于$\mathbb{C}/\Lambda$,$\Lambda$是某个格。从拓扑上看,这是一个亏格为$1$ 的闭曲面(环面)。

和亏格$0$ 的情形不同,并非所有亏格 $1$ 的紧Riemann面都彼此解析同构。假定$ \Lambda$ 的基按逆时针排列,即$\Im(\omega_{2}/\omega_{1})\gt 0$。对同一个格可以选取不同的基,彼此相差一个$PSL(2,\mathbb{Z})$中的线性变换。将相差伸缩和旋转变换的格视为等价的,则等价类可以用 $\mathbb{H}/ PSL(2,\mathbb{Z})$进行参数化。通过覆叠映射定义$S$上的复结构,容易证明 $S$ 和 $S^{\prime}$ 解析同构当且仅当$\Lambda$ 和$\Lambda^{\prime}$ 等价。今后我们总是假定讨论的格带有标准基$1,\tau,\Im(\tau)\gt0$。

我们希望实现代数曲线 $S $ 到 $\mathbb{C}P^{N}$ 的嵌入。最直接的想法是在 $S$ 上找不同时为$0$ 的 $N+1$ 个全纯函数构作射影坐标系。然而紧Riemann面上不存在全纯函数。一个变通方案是在$\hat{S}$上寻找有特殊对称性的全纯函数f。具体地说,视单值群 $G$ 为 $Aut(\mathbb{C})$的子群,我们希望对 $g \in G,f_{i}(gz)=\gamma_{g}(z)f_{i}(z),\gamma_{g}(z)$是仅依赖于 $g$ 的整函数且处处不为 $0$。这样利用等价关系仍可以同时消去所有的$\gamma_{g}(z)$。

实际上我们拥有了一个单值群G到整函数环的乘法群的同态。如果我们取同态象的生成元为$1$和 $e^{-2k\pi iz}$,就得到:

$$f_{i}(z+1)=f_{i}(z),f_{i}(z+\tau)=e^{-2k\pi iz}f_{i}(z)$$

这时满足条件的 $f_{i}$可以用Fourier展开直接构造出来。计算指出其Fourier系数满足一个$k$ 阶递推关系,且对任意选取的初始值收敛,故这些函数构成一个k维函数空间。

$S$ 当然不能嵌入 $\mathbb{C}P^{1}$。取 $k=3$,利用上述的 $f_{i}$ 可完成 $S$ 到 $\mathbb{C}P^{2}$ 的嵌入。我们不再讨论技术性的细节,而是指出类似的想法可以推广到高维。高维复环面可以嵌入射影空间当且仅当其周期矩阵满足Frobenius关系。

按上述方式定义的 $f_{i}$是一种特殊的theta函数。k称为theta函数的权。我们利用theta函数来研究 $S$ 上的亚纯函数。亏格为 $1$ 的紧Riemann面上的亚纯函数对应 $\mathbb{C}$上的双周期函数,沿用历史上的叫法,也称为椭圆函数。现在很容易构造这样的函数:取两个权为 $k$ 的theta函数的商即可。这个利用theta函数的商构作椭圆函数的想法是Jacobi的。椭圆函数论是一门不小的学问,和很多有趣的话题有关。这里我们想指出的是,椭圆函数是 $\mathbb{C}$上$G$-不变的亚纯函数。在 $\triangle$ 上 $G$-不变的亚纯函数称为自守函数。在第6章中我们将会看到Jacobi的想法如何启发了Poincaré在自守函数方面的工作。

Weierstrass提出了另一种构造椭圆函数的方法,即利用Weierstrass $\mathfrak{P}$函数。这方法简洁明了,被大多数现代课本采用。然而值得指出的是,theta函数处在数论、自守形式、函数论和数学物理的交叉点上,研究其性质有极高的附加价值。在第7章中有一个重要的例子:尖点形式$\Delta$。

在Jacobi看来,纯数学和应用数学是一体的(Bourbaki,尤其是Dieudonné鼓吹的“为了人类心智的荣耀”是对Jacobi可耻的断章取义)。在对theta函数的研究中他身体力行地实践了这一哲学。在现代,这一传统的有力继承者是Arnold,因而引用Arnold的话来结束是适当的:

Jacobi noted, as mathematics’ most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum.

These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology.

The emotional significance of such discoveries for teaching is difficult to overestimate. It is they who teach us to search and find such wonderful phenomena of harmony of the Universe.

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Aug 022020
 

定理 形如 $\dfrac pq$($p, q$ 都是素数)的全体有理数构成的集合在非负实数集
中稠密.

令 $0 < a < b$, $q$ 是一个素数.
那么,存在素数 $p$, 使得 $a < p/q\le b$ 当且仅当

$$\pi(bq) > \pi(aq)$$

这里 $\pi$ 是著名的素数个数的函数. 由素数定理, 当 $q\to\infty$ 时

$$\frac{\pi(bq)}{\pi(aq)}\sim\frac{b\ln(aq)}{a\ln(bq)}
=\frac{b(\ln q+\ln a)}{a(\ln q+\ln b)}\sim\frac ba>1.$$

对足够大的 $q$, $\pi(bq)/\pi(aq) > 1$ 为我们的目标.

或者,大同小异换汤不换药

设 $p_n$ 是第个素数。 主要的依据是 $p_n\sim n\ln p_n\sim n\ln n$, $n\to\infty$

事实上,根据素数定理,当 $n\to\infty$ 时

$$\pi(p_n)=n\sim\frac{p_n}{\ln p_n}, $$

$$\ln p_n\sim\ln\frac{p_n}{\ln p_n}\sim\ln n. $$

于是, $p_n\sim n\ln p_n\sim n\ln n$, $n\to\infty$

任意正实数$a$, 设 $n_k=[\dfrac{ak}{\ln k}]$, $m_k=[\dfrac{k}{\ln k}]$,

$$\lim_{k\to\infty}\frac{p_{n_k}}{p_{m_k}} = \lim_{k\to\infty}\frac{n_k\ln n_k}{m_k\ln m_k}=a$$

形如 $\dfrac pq$($p, q$ 都是素数)的全体有理数构成的集合在正实数集中稠密.

Jul 252020
 

Author: KKK

In this short note, we will give a simple proof of the Gauss-Bonnet theorem for a geodesic ball on a surface. The only prerequisite is the first variation formula and some knowledge of Jacobi field (second variation formula), in particular how its second derivative (or the second derivative of the Jacobian) is related to the curvature of the surface. This is different from most standard textbook proofs at the undergraduate level. (Of course, this is just a local version of the Gauss-Bonnet theorem and topology has not yet come into play.)

Let $M$ be a surface equipped with a Riemannian metric. We will fix a point $p$ in $M$ and from now on $B_r$ always denotes the geodesic ball of radius $r$ centered at $p$, and $\partial B_r$ its boundary, which is called the geodesic sphere. In geodesic polar coordinates, let the area element of $M$ be locally given by

$$\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle dA=f(\theta, r) dr d\theta, =f_\theta(r) dr d\theta, \end{array} $$

where $f(\theta, r)$ is the Jacobian (with respect to polar coordinates). For our purpose it is more convenient to regard $f_\theta(r)$ as a one-parameter family of functions in the variable $r$. It is well-known that $f_\theta$ satisfies the Jacobi equation (here $’=\frac{d}{dr}$ )

$$\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle {f_\theta}”(r)=-K(\theta, r) f_\theta(r),\quad f_\theta(0)=0,\quad {f_\theta}'(0)=1 \ \ \ \ \ (1)\end{array} $$

where $K=K(\theta, r)$ is the Gaussian curvature (in polar coordinates). Indeed, if we fix a geodesic polar coordinates, and $\gamma_\theta(t)$ is the arc-length parametrized geodesic with initial “direction” $\theta$ starting from $p$, then we can define a parallel orthonormal frame $e_1(t), e_2(t)=\gamma_\theta'(t)$ along $\gamma_\theta(t)$. Then $Y(t)=f_\theta(t)e_1(t)$ is a Jacobi field and so

$$\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle Y”(t)={f_\theta}”(t) e_1 (t) =- R(Y(t), \gamma_\theta'(t))\gamma_\theta'(t) =& \displaystyle -K(\theta, t) Y(t)\\ =& \displaystyle -K(\theta, t) f_\theta (t) e_1(t). \end{array} $$

From this (1) follows.

The first variation formula says (here $s$ is the arclength parameter)

$$\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle \frac{d}{dt} \left(\mathrm{Length}(\partial B_t)\right) =\frac{d}{dt} \left(\int_0^{2\pi}f_\theta( t) d\theta\right) =\int_{ \partial B_t}k_g ds =\int_0^{2\pi} k_g(\theta, t) f_\theta( t)d\theta. \end{array} $$

Here $k_g$ is the geodesic curvature of the geodesic circle $\partial B_t$. (Indeed, the differential version $\frac{f_\theta’}{f_\theta}=k_g$ is already true for the geodesic circle.) This implies

$$\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{\partial B_t}k_g ds =\int_{0}^{2\pi} f_\theta'(t) d\theta. \end{array}$$

So by the fundamental theorem of calculus and (1), we have

$$\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{\partial B_t}k_g ds =& \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\left({f_\theta}'(0)+\int_0^t {f_\theta}”(r)dr\right)d\theta\\ =& \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\left(1-\int_0^t K (\theta, r)f_\theta(r)dr\right)d\theta\\ =& \displaystyle 2 \pi-\int_{B_t} K dA. \end{array} $$

This is exactly the Gauss-Bonnet theorem (for a geodesic ball), which is usually written as

$$\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{B_r}K dA+\int_{\partial B_r}k_g ds=2\pi. \end{array} $$

Jul 222020
 

Fermat 的平方和定理:

素数 \(p\equiv1\pmod4\),则 \(p\) 能表成两个整数 \( a, b\) 的平方和 \(p=a^2+b^2\).

是很精彩的定理,在堆垒数论很经典,我们很感兴趣。今天先来谈一点关于它的历史。

在历史上,最早考虑把正整数(不仅仅是素数)表示成两个正整数的平方和的可能性的问题的数学家是 Albert Girard. 他的论文发表在 1625 年。前面刚刚提到的Fermat 平方和定理有时候也称为 Girard 定理。至于 Fermat, 他在1640年12月25日给 Marin Mersenne 的一封信对这个定理给出了一个详尽的描述,同时也定出了把 \(p\) 的幂表成两个整数的平方和有多少种方法。

Albert Girard 小传

Albert Girard 1595 出生于法国的 Saint-Mihiel,1632年 12月8日去世在 Leiden, The Netherlands. 他是早期对代数基本定理有思考的数学家,他还给出了斐波那契数的一个归纳定义,他亦是最早在论文中使用\(\sin, \cos, \tan\) 表示三角函数。

Girard 还证明了球面三角形的面积对内角的依赖,这结论以他的名字命名。 他也弹琴,提到写过音乐方面的论述,但没有发表过。

根据 Charles Hutton 的研究,Girard 得出了方程的根的和与乘积,以及它们的幂的公式的系数。此外,他还是第一个发现了方程的根的幂的和的公式的人。

Funkhouser 研究了 Girard 使用对称函数来研究方程的工作在历史上的贡献。Lagrange 后来引用了 Girard 在方程方面的工作。后来,在十九世纪,这项工作引出了Galois, Cauchy和其他的数学家创作的群论

Jul 172020
 

作者:赵亮

问题:有哪些 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的多项式,它们在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的,而对任意素数 \(p\),模 \(p\) 以后在 \(\mathbb{Z}_p[x]\) 上都是可约的?

当时我给了回答,后来账号注销了,答案也就一并删除了。现在把我的原答案贴在这里:


我所知道的有两大类多项式:

第一类是所有的 Swinnerdon-Dyer 多项式,它们形如 \[f(x)=\prod(x\pm\sqrt{p_1}\pm\sqrt{p_2}\cdots\pm\sqrt{p_n}),\] 其中 \(p_1,\ldots,p_n\) 是互不相同的素数,乘积跑遍所有 \(2^n\) 种不同的组合。这种多项式都是不可约的整系数多项式,但是模任何素数 \(p\) 以后都分解为一次或者二次因式的乘积。

第二类来自分圆多项式,分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 是本原 \(n\) 次单位根在 \(\mathbb{Q}\) 上的极小多项式,其次数为 \(\phi(n)\),这里 \(\phi(\cdot)\) 是 Euler totient 函数。绝大多数分圆多项式模任何素数 \(p\) 都是可约的!实际上我们有如下结论:

定理:分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 模任何素数 \(p\) 都可约当且仅当 \(n\ne1,2,p,2p^k\),其中 \(p\) 是奇素数,\(k\) 是正整数。

你可以看到知乎那个问题下的回答中举的例子都是最简单的 Swinnerdon-Dyer 多项式或者分圆多项式的例子。

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Jul 162020
 

作者:赵亮

Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用,本文是若干年前读书时的笔记。

Hurwitz 平方和定理

我们都熟悉复数的乘法:如果 \(z_1=x_1+y_1i,z_2=x_2+y_2i\) 是两个复数,则 \(|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\),也就是 \[(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2.\] 1748 年 Euler 发现了如下的 4 平方和等式: \[(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2.\] 其中 \[\begin{align*}&z_1=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4,\\&z_2=x_1y_2+x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3,\\&z_3=x_1y_3+x_3y_1-x_2y_4+x_4y_2,\\&z_4=x_1y_4+x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2.\end{align*}\] 4 平方和等式说的是在 Hamilton 四元数体中范数仍然是乘性的。1848 年 Caley 发现了八元数,从而导出了类似的 8 平方和等式,当然具体写出来会很复杂,这里就按下不表了。

一般地,如果能在 \(n\) 维欧式空间 \(\mathbb{R}^n\) 上定义向量之间的乘法: \[\mathbb{R^n}\times\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^n}:(v,w)\rightarrow v\times w\] 使得 \(v\times w\) 对 \(v,w\) 都是线性的,而且乘积的范数等于范数的乘积:\(|v\times w|=|v|\cdot |w|\) (这里 \(|\cdot|\) 是通常的欧式范数),则我们就得到了一个 \(n\) 平方和等式。

在接下来的 50 年里,人们一直致力于寻找可能的 16 平方和等式,但是都失败了,于是开始怀疑是否没有这样的等式成立。终于在 1898 年 Hurwitz 证明了这样的结论:

Hurwitz 平方和定理:设 \(x=(x_1,\ldots,x_n)\)\(y=(y_1,\dots,y_n)\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中的向量。如果存在关于 \(x,y\) 的双线性函数 \(z_1(x,y),\ldots,z_n(x,y)\) 使得等式 \[(x_1^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+\cdots+y_n^2)=z_1^2+\cdots+z_n^2\] 恒成立, 那么 \(n=1,2,4,8\)

正如前面说过的,Huiwitz 平方和定理说的是在实数域 \(\mathbb{R}\),复数域 \(\mathbb{C}\),四元数 \(\mathbb{H}\) 和八元数 \(\mathbb{O}\) 中,元素的 (欧式) 范数和向量的乘法是相容的,而在其它维数的 \(\mathbb{R}^n\) 上是不可能定义与欧式范数相容的向量乘法的。

Hurwitz 本人的证明是纯线性代数的,线性代数的证明较为初等,不过步骤略长。1943 年 Eckmann 用有限群表示论的方法给了一个漂亮的证明,本文就来介绍这个证明。

将问题转化为矩阵方程

设 \(z=(z_1,\ldots,z_n)\),则 \(z\) 关于 \(y\) 是线性的,因此存在 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 满足 \(z=yA\),当然矩阵 \(A\) 和 \(x\) 有关。于是 Hurwitz 定理中的等式变成 \[(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)yy’=yAA’y’.\] 由于 \(y\) 是不定元,因此 \[AA’=(x_1^2+\cdots+x_n^2)I_n.\] 进一步,由于 \(A\) 关于 \(x\) 也是线性的,因此设 \(A=A_1x_1+\cdots+A_nx_n\),则 \[AA’=\sum_{i=1}^nA_iA_i’x_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}(A_iA_j’+A_jA_i’)x_ix_j.\] 从而我们得到一组矩阵方程 \[A_iA_i’=I_n,\quad A_iA_j’+A_jA_i’=0 \quad \text{for}\ i\ne j.\] 进一步可以把 \(A_n\) 归一化为单位矩阵:令 \(Q_i=A_iA_n^{-1}\),于是 \(Q_1,\ldots,Q_{n-1}\) 满足 \[Q_i’=-Q_i,\quad Q_i^2=-I_n,\quad Q_iQ_j=-Q_jQ_i\quad\text{for}\ i\ne j.\] 显然 \(n\) 必须是偶数 (奇数阶反对称矩阵行列式都是 0),而 \(n=2\) 的时候结论是成立的,所以下面我们都假定 \(n>2\),于是 \(n\) 的可能值为 \(4,6,8,\ldots\)

用群表示论的工具得出矛盾

考虑这样一个抽象群 \(G\),它由元素 \(a,g_1,\ldots,g_{n-1}\) 生成,且 \[ a^2=1,\quad g_i^2=a,\quad g_ig_j=ag_jg_i\ \text{when}\ i\ne j.\] 这个群的结构很好分析:

  • \(|G|=2^n\),每个元素形如 \(a^{e_0}g_1^{e_1}\cdots g_{n-1}^{e_{n-1}}\),其中 \(e_i\in\{0,1\}\)
  • \(G\) 的中心 \(Z(G)=\{1,a,g_1g_2\cdots g_{n-1},ag_1g_2\cdots g_{n-1}\}\)
  • \(G\) 的换位子群 \([G,G]=\{1,a\}\),从而 \(G\) 有 \(2^{n-1}\) 个线性表示。
  • \(G\) 的任何非平凡共轭类都只有两个元素 \(\{g,ag\}\),从而 \(G\) 有 \(2^{n-1}+2\) 个共轭类,其不可约复表示的个数也是 \(2^{n-1}+2\)

于是我们知道 \(G\) 有 \(2^{n-1}\) 个一次表示,还有 2 个次数大于 1 的表示,设它俩的次数分别是 \(f_1,f_2\),根据不可约表示次数的平方和等于 \(G\) 的阶,得到方程 \[f_1^2+f_2^2 =2^{n-1}.\] 再利用不可约表示的次数整除 \(G\) 的阶,知道 \(f_1\) 和 \(f_2\) 都是 2 的幂,这只有一种可能,就是 \[ f_1=f_2=2^{\frac{n}{2}-1}.\]

现在 Hurwitz 矩阵方程给出了 \(G\) 的一个 \(n\) 维表示,这个表示可以分解为若干不可约表示的直和,我们断言其中不含有一次表示,从而只能是若干个 \(2^{\frac{n}{2}-1}\) 次表示的直和:这是因为元素 \(a\) 在这个表示下是 \(n\) 阶矩阵 \(-I_n\),从而其在任何不变子空间上的作用都是乘以 -1。但是任何一次表示都把 \(a\in [G,G]\) 映射为 1,矛盾!

于是 \(2^{\frac{n}{2}-1}\big| n\),设 \(n=2^r\cdot s\),其中 \(s\) 为奇数,则 \(\frac{n}{2}-1\leq r\),从而 \[ 2^r\leq n\leq 2r+2.\] 注意 \(n\) 是偶数,所以只能是 \(n=4,6,8\),这就完成了 Hurwitz 定理的证明。

Jul 132020
 

作者:秋水无涯

Prologue:

要善于“退”,足够地“退”,退到最原始而不失去重要性的地方。 ——华罗庚

 

“转换原理”可以粗略地叙述如下:如果对“有界”函数叙述的较弱命题成立,则对“在 \(\mathbb{C} \) 上有2个空隙值”的函数所叙述的较强命题也成立。

我们用具体的例子来说明。首先是经典的Liouville定理:

任何一个在 \(\mathbb{C}\)上有界的全纯函数f必为常值函数。

“转换原理”将其加强为著名的Picard小定理:

任何一个在 \(\mathbb{C} \)上有2个空隙值的全纯函数F必为常值函数。

下面来证明Picard小定理,借以说明“转换原理”的运作机制:

首先注意到,我们可以把Liouville定理中的有界性要求替换为 \(Im(f) \subset \triangle\).

假设全纯函数 \(F \) 在 \(\mathbb{C}\) 上有2个空隙值。考虑复合函数\(\mu=\lambda ^{-1} \circ F\)。任取 \(z_0 \in \mathbb{C},F(z_0)=w_0\)。在 \(w_0\) 的邻域中\(\lambda^{-1}\)可取到某一单值分支。由于\(\lambda\)是覆叠映射, 定义在单连通区域 \(\mathbb{C}\)上的 \(\mu\)可延拓成一个单值函数,并满足 \(Im(\mu) \subset \triangle\)。由Liouville定理,\(\mu\) 为常值函数,从而\(F\)为常值函数。

此证明最早由Picard给出。

C.E.Picard (1856-1941)

C.E.Picard (1856-1941)

 

和Picard小定理相比,Picard大定理更加微妙。我们需要更多的准备。

首先陈述经典的Weierstrass定理:

解析函数在本性奇点的每一邻域中都任意地逼近于任意复数值。

为应用“转换原理”,我们将其重新叙述为(较弱的):

命题1:若解析函数f在孤立奇点的某一邻域内“有界”,则此奇点不是本性奇点(从而是可去奇点或极点)。

此处的“有界”指的是:视\(\mathbb{\bar{C}}\) 为球面,则此邻域的象包含在球面上的某大圆中。对于可去奇点,其邻域的象点“聚拢”到复平面上的某一常点;对于极点则“聚拢”到无穷远点。在这两种情况下,我们都得到广义的“有界性”。而对于本性奇点,任一邻域的象都“分散”在整个球面上。

通过一个Möbius变换,我们可以进一步将“广义有界”的要求替换为:存在某邻域的象落在 \(\triangle\) 中。

同时我们也对“转换原理”稍作推广:对\(\mathbb{\bar{C}}\) 上的广义“有界”函数成立的命题对“在 \(\mathbb{\bar{C}}\)上有3个空隙值”的函数亦成立。

不妨假定奇点为0。推广后的“转换原理”将命题1转换为Picard大定理:若解析函数\(F: \mathbb{\bar{C}}\backslash\{0\} \to \mathbb{\bar{C}}\)在奇点的某一邻域内有3个空隙值(计入\(\infty\)),则0不是本性奇点。

换言之,解析函数在本性奇点的任一邻域中至多有2个空隙值(计入\(\infty\))。

证明:选取以0为圆心且半径充分小的穿孔圆盘\(\Omega\backslash\{0\}\) 使其满足假设。将F 限制到 \(\Omega\backslash\{0\}\)上。同样的,考虑复合函数\(\mu=\lambda ^{-1} \circ F\)。此处的困难是\(\Omega\backslash\{0\}\)并非单连通域,故证明Picard小定理时所用的解析延拓未必给出单值函数。这要求我们推广命题1为:

命题2:若多值解析函数f(更准确地说,给定的初始函数芽在穿孔圆盘上延拓而成的全局解析函数)在孤立奇点的某一邻域内“有界”,则此奇点是代数奇点(支点)。

一个简单的证明手法是利用单值化定理对f进行单值化,从而化归为命题1。

总而言之,就其本质而言,Picard大定理是一个应当在Riemann面上陈述的定理。

最后我们希望对“转换原理”做一个一般的讨论。复分析中隶属于值分布论的结果一般都是比较深刻的。“转换原理”允许我们“足够地退”,退到论证“有界性”。讨论后者时,常有更多分析的手段可以采用。例如Liouville定理和Weierstrass定理都可以通过初等估计来证明。在第3章中我们要将函数的有界性和函数空间的“紧致性”联系起来。

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