Jul 062020
 

非欧几何是一个时代的结束?还是开始?

作者: 4分33 秒

数学史家Judith Grabiner说过:
If you ask a mathematician “why?” the mathematician will give you a proof.
But when you ask a historian “why?” the historian will tell you a story.

几何学是数学中最古老的一门分科。如果从欧几里得的《几何原本》算起,至今已有两千三百多年的历史,而且该学科长盛不衰,其内涵一直在不断地延展之中,以至于现在人们很难确切地回答「甚么是几何学?」这个问题。

相传几何学起源于古埃及尼罗河氾滥后为整修土地而产生的测量学。它的英文名称“geometry”是由“geo”和“metry”组成的,其意义就是“土地测量”。在1607年利马窦和徐光启把欧几里得的《Elements》译成中文,取“geo”的音为「几何」,而「几何」二字中文原意又有「衡量大小」的意思,音义兼顾,确是神来之笔。

长期以来,数学家们发现欧几里得的第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见。而且欧几里得在《几何原本》一书中直到第29个命题中才用到它。也就是说,在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前28个命题。因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于「平行线理论」的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对?第五公设到底能不能证明?

命题29:一条直线与两条平行线相交,则所成内错角相等,同位角相等,且同傍内角的和等于二直角。(欧几里得没有平角的定义,所以他一律使用两个直角的和)

设准 vs. 公理

设准、公理、共有概念这些词有甚么不同?当然现今这些概念是都混在一起用了。

Postulate = Special Notion vs. Common Notion = Axiom

爱因斯坦在《论动体的电动力学》中写道:
We will raise this conjecture (the purport of which will hereafter be called the “Principle of Relativity”) to the status of a postulate, and also introduce another postulate, which is only apparently irreconcilable with the former, namely, that light is always propagated in empty space with a definite velocity:c which is independent of the state of motion of the emitting body. These two postulates suffice for the attainment of a simple and consistent theory of the electrodynamics of moving bodies based on Maxwell’s theory for stationary bodies. The introduction of a “luminiferous aether” will prove to be superfluous inasmuch as the view here to be developed will not require an “absolutely stationary space” provided with special properties, nor assign a velocity-vector to a point of the empty space in which electromagnetic processes take place.

数学史家:设准 vs. 共有概念

为何爱因斯坦使用postulate而非axiom?
在建立叙述句理论(theory of statements)时,亚里斯多德如何区别「设准」及「共有概念」?
所有演绎科学(deductive science)都接受的根本真理,称之为共有概念(common notion),例如:「等量相加,其和相等」,后来泛称为公理(axiom)。
特定科学(例如几何学)中的根本真理,称之为特殊概念(special notion),后来改称为「设准」(假设成为准则),此翻译十分精确!

数学真理的相关议题

何谓真理(truth)?
真理的「朴素」定义:去括号法则!
“Snow is white” is true if snow is white.
要件:一个叙述句或命题必须在实在(或现实世界reality)有所指涉,也就是其中所涉概念必须要有参考物(referent)。
现在回到数学!所谓的数学真理或是几何真理意义何在?

爱因斯坦的反思!

Morris Kline在《数学:确定性的失落》中写道:「倘若数学命题是对现实(reality)的描述,它们就不是确定的(certain);倘若它们是确定的,那它们就不是描述现实。……然而另一方面,可以确定的是,不论就数学整体或是单就几何而言,它们的存在都是我们想要得知实际物体的性质。
数学知识的本质(nature)究竟为何?数学(例如几何学)的「确定性」基于有效的逻辑推论,也基于「设准为真」?

康德有关空间的思辨

康德主张:欧氏几何学是一种综合先验(synthetic a priori)的知识系统,它是有关空间世界的唯一真实几何学(true geometry)。既然如此,那当然不可能有非欧几何学了!
康德提问:为什么接受数学公设与定理都是真理?这当然无法单单藉由经验来确认,但是如果可以回答数学知识如何形成这个大问题,那么,前述问题就可以回答了。
康德回答:无人的心灵(mind)拥有时间和空间的形式。时间和空间是知觉的模态(mode),康德称之为直觉(intuition)。我们依据这些心灵形式来感觉、组织和理解经验。它们就像模子塑造麵团成形一样地塑造经验。心灵将这些模态施加在接收的感官印象上,把这些感觉纳入内定的模式裡。

一旦空间的直觉源自心灵,心灵便自动接受了空间的某些性质,像是直线是两点之间的最短距离、三点决定一个平面,还有平行公设之类的原理,康德称之为综合先验真理,它们是人类心智能力的一部分。几何学不过是探索了这些原理的逻辑结果。心灵就其「空间结构」来检视经验,此一事实意谓了经验将会与基本原理和定理一致。
既然康德是从人类脑细胞製造出空间的概念,他看不出它如何不是欧氏空间。因为想像不出另一种几何,所以,他相信除了欧氏几何之外,不可能再有别的几何。

在《丈量世界》中有一段高斯拜访康德的桥段:「高斯说他有个想法,但找不到人谈。他似乎觉得欧几里得的空间并不像《纯粹理性批判》裡所认为,是人类的一种直观形式,我们所有的经验都必须服膺于它。欧氏空间其实是一种幻觉,是一场美梦。真相其实很可怕,「两条平行线永远不可能相交」的命题从来没有被证实过,欧几里得自己也没有证明过,没有任何人证明过。它绝不像我们认为的那样是不证自明的。」

非欧几何的历史

欧氏几何在19世纪之前,被认为是绝对真理,康德甚至在1781年出版的《纯粹理性批判》中,用一种绝妙论证,证成欧氏几何。
因天文学和航海绘製地图的需要而发展的球面几何学,源自于希腊时代,从现代观点可想成一种非欧几何,但古代没有人这样思考,他们理所当然地认为这从属于欧氏几何。
15世纪文艺复兴绘画开始发展的「透视」和「无穷远点」等射影几何概念,不被想成「非」欧氏几何,而是关联于欧氏几何发展的领域。

谈非欧几何的重点在于:
1. 绝对欧氏空间的扬弃,把实际空间还给物理学,把欧氏几何想成一种可能的几何(最简单的)。
2. 非欧几何必须相应处理原来欧氏几何的几何概念:长度、角度、面积、体积等。

Non-Euclidean geometry

欧氏平面与空间的代数化

坐标几何或解析几何发源自17世纪,主要推手是笛卡儿和费马,所以我们熟悉的直角坐标,也称为笛卡儿坐标。笛卡儿和费马的座标法将变数引进了数学,从而将运动引进了数学,因此为微积分的发明创造了必要的环境和条件。微积分要解决的首要问题是求曲线的切线斜率,以及曲线所围区域的面积,所以微积分在它产生的时刻就是和解决几何问题联繫在一起的。

藉由16世纪末Viète推动的代数符号,数学家开始引入代数工具解决几何问题,开启欧氏几何的全新格局,不但出现许多新几何形体,也採用新颖的分析方法,用代数演算取代逻辑推理,以解析几何(analytic geometry)取代综合几何(synthetic geometry)。「解析」在此无函数或微积分的意思,单纯只是「代数」而已。解析几何最初没有负数(只有第一象限),轴未必垂直,只处理平面,算式只有多项式,但是到欧拉的18世纪中期,已经是现代的模样。

高斯新几何观的背景

新几何的背景就是解析几何,研究的是欧氏平面或空间中的曲线或曲面,推动这些研究是科学的应用,因此经常出现困难课题先行,理论在后收拾的情况。
新几何最重要的工具是微积分与微分方程,因此也称为微分几何,在18世纪中探讨了很多困难的课题。
发展微分几何过程出现的「曲率」概念,后来在微分几何理论扮演关键角色,不但促成高斯和黎曼的新几何概念的发展,最后甚至在物理学—广义相对论和量子场论—中找到根本的应用。

曲面

曲面作为空间中的形体,从17世纪解析几何萌芽,到18世纪迅速发展,比曲线有更複杂的课题。促使曲面论发展的实际应用课题包括地图製作(developable surface)与测地线(geodesic, 测地问题),名家包括:欧拉, Monge, 高斯。
高斯用所谓「曲面即世界」的观点来理解曲面问题。实际上,高斯是在反省他的研究后,才产生这个想法,这是新几何观点的起点。曲面是平面的推广,曲面曲线是平面曲线的推广。

高斯绝妙定理

第一基本形式作为量度长度的「量尺」,决定了某二维的生物(例如蚂蚁)世界所有的几何量:长度、角度、面积。
若两曲面(局部)相对应的第一基本形式相同,则蚂蚁将(局部)无法分辨这两个「世界」。
第一基本形式决定的几何性质称为曲面的内禀(intrinsic)性质,是蚂蚁能察觉的几何性质。
令人意外的是,蚂蚁能够判断自己曲面的一部分曲率。这就是高斯绝妙定理:高斯曲率由第一基本形式决定,即高斯曲率是内禀的。

高斯曲率是内禀的几何量

除了长度、角度、面积,测地线(「直线」)和高斯曲率也都是内禀的(对我们最新奇的是「曲率也是几何量」)。相反的,平均曲率、主曲率、主方向、法曲率这些量,都属于曲面在背景空间中的外在弯曲,是蚂蚁无法感知的。
两曲面若相对应的高斯曲率不同,则对蚂蚁而言就是不同的「世界」。例如平面和球面是两个截然不同的世界,但平面和柱面却是(局部)上相同的。
一般来说,高斯曲率相等是两张曲面能够建立保长对应的必要条件,不是充分条件。

Non-Euclidean geometry

测量高斯曲率

Gauss-Bonnett定理之原版:三角形内角和

\[\theta_1  + \theta_2+ \theta_3=\iint_{\triangle} K\mathrm dA.\]

曲面上的三角形是以测地线为边的三角形。

高斯绝妙定理和Gauss-Bonnett定理两重要定理出自高斯1827年发表的《Disquisitions Generales circa Superficies Curvas》(《曲面论》),时年50岁。两年后,37岁的Lobachevsky发表非欧几何的论文,再三年,30岁的Bolyai完成非欧几何的论文。

高斯, Lobachevsky, Bolyai公案

高斯从未发表非欧几何的结果(高斯对于非欧几何的研究都只写在与友人的通信中,他不敢发表因为那时的人还是把非欧几何视为邪教),但他在检阅Bolyai(1832年)和Lobachevsky(1846年)的工作后,虽然都不吝称讚他们的想法很有天份,但也同时表示他对这些结果早就了然于胸,无法给予更多的讚誉。

高斯50岁以前的通信显示,他14岁开始思考非欧几何,22岁已经怀疑欧氏几何的真确性。在40岁给友人的信件裡,已经直言几何的经验性,说出:「我们几何信念的必然性无法证明」「几何不应与先验的算术并置,而该和力学归到同一类。」高斯不但发明「非欧几何」这个词,也明白表示欧氏几何是非欧几何的退化情况。

高斯虽然没有发表,但在早期信件中已经描述许多他证明的非欧几何关键定理。1831年,他表示曾多次重证这些性质,现在怕这些结果跟他一起腐朽,想要写下来。不过隔年他看到Bolyai的论文,或许就此打住。

总之,从他1827年的经典论文,就可以知道高斯在这个议题上的广度和深度早已超越Lobachevsky和Bolyai。黎曼才是真正继承高斯思想的人!

黎曼登场

高斯的新观点包括「曲面本身就是几何空间」(「曲面就是世界」);第一基本式决定内禀几何;不同世界几何性质的差异源于内禀曲率。

黎曼为取得Privatdozent职位,在准备「教师资格演讲」(Habilitation lecture)时, 提出三个讲题(一个是关于电磁学和另一个关于複变函数),77岁高龄的高斯出乎意外挑了与几何有关的第三个讲题。1854年6月10日,黎曼以Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen(《论几何基础的假设》)为题演讲,由于内容高深,听众基本上只有高斯能够理解,但他给黎曼的演讲非常高的评价。一年后高斯便与世长辞。

讲稿本身哲学气味重(他当时是要申请哲学教职,底下听众大多是哲学系的教授,所以可能只有高斯能真的听懂),没有太多数学算式,可谓艰涩隐晦,通常要配合他另一篇著于1861年的论文阅读。

杨振宁曾写过一首诗讚美陈省身先生:「天衣岂无缝,匠心剪接成,浑然归一体,广燧妙绝伦:造化爱几何,四力纤维能,千古寸心事,欧高黎嘉陈。」高斯在几何学中起到了继往开来的作用,融合了自古希腊到17世纪的所有知识,并在他死后将衣钵传承给了黎曼。陈省身也对杨振宁说:物理学不过是几何学的子集。

黎曼在演讲一开头,就说明空间和空间公设之间的关係仍藏于黑暗:「我们既不能感知这样的关联是否或相当程度有其必要,也无法先验决定这是否可能。」空间的度量关係可能有很多系统,其中最知名的是欧氏几何,黎曼说这些系统「只具备经验确定性,但并非必然,全部都只是假说。」

黎曼重新检视研究几何的策略,放弃欧几里得等人传统全知的公设系统(尤其牵涉整体空间平行公设的正反),从局部且内部(蚂蚁的)观点,检视所知的几何关係,从第一基本形式的开始,採行分析学的道路,扩展高斯的想法,发展n维空间的概念(称为n维流形)。不但定于一尊的欧氏几何,变成存在各式各样的几何,而且完全不需要背景空间。

以经验决定几何空间会触及巨观和微观的限制。在巨观时,他特别区分无界(unboundedness)和无穷(infinite extent)的不同,强调我们基于经验经常混淆两者(康德在论及空间的二律背反时,便以此误解论证空间必须无穷)。黎曼隐含我们生存的空间可能是无界而非无穷。

鑑于经验观察将造成干扰,即使力学使用微积分而大成,但对人类观察不能及的微观世界,黎曼认为:「无穷小空间的度量关係绝非肤浅的问题。」微观几何的原理可能不同于前述的几何假设,他的演讲结尾竟然是:「这引领我们到另一个科学领域─物理学,今天演讲的目标不容我们再谈及。」

黎曼演说重新思考几何学的基本假设,触及很多面向,不但直接催生黎曼几何(空间+度量),也间接推动各种思维如流形论(空间本身)、具对称群作用之对称或齐性几何(如容许全等操作的常曲率流形)。将这篇讲稿译成英文的数学家Clifford,认为黎曼觉得空间必须结合物质才能真正解释物理空间(广义相对论),也有人将最后一段微观讨论连结到量子几何学。

模型和非欧几何

不知道是因为科学发展的时代氛围,高斯和黎曼对于几何学的创见更丰硕,理论本身的完善,或是欧氏几何在学习上最简单,曾经红极一时的非欧几何,在19世纪中开始失去吸引力,只留下一个重要的问题:「非欧几何真的一致吗?」其中是不是潜藏某个矛盾,以致于欧氏几何仍然是唯一的几何(老实说,欧氏几何也有一样的问题)。

这个问题,在19世纪下半叶,被Beltrami, Klein, Poincare「以子之矛,攻子之盾」很巧妙地解决了。他们在欧氏空间中提出一个能全然「体现」非欧几何公设的模型(model),因此如果非欧几何有矛盾,就会转化成欧氏几何的矛盾。

用模型来处理公设系统,后来发展成一个重要方法,用来解决许多牵涉公设系统的数学基础或数理逻辑问题。算是非欧几何对人类思想出乎意料的贡献。

谁发明了非欧几何学?

萨开里:如果非欧几何指的是一组包括非平行公设的公设系统所推导出来的结果,那麽,功劳最大的要属萨开里(Giovanni Girolamo Saccheri)。
克吕格和兰伯特:如果非欧几何的创立指的是认识到欧几里得几何之外另有其他的几何,那麽,功劳应该归于克吕格(Georg Kluger)和兰伯特(Johann H. Lambert)。
高斯:欧几里得几何并非物理空间所不可或缺的,没有任何先验的根据来确保它的物理真确性。这项领悟并不需要任何技术性的数学新发展,因为所有的技术性工作均已完成。第一个得到这项洞见的数学家是高斯!

康德的复仇

最后再回过头来谈谈康德在《纯粹理性批判》中证成欧氏几何的先验综合命题论。康德理论在认知科学时代捲土重来:人类的大脑模组是欧氏几何?
因为欧氏几何是最简单的几何系统,而且线性理论是数学家逼近问题的第一步。那麽我们不妨思考一下:「如果靠视觉观察世界的人类诞生在半径小的星球上(可以明显看到地表是圆的),那麽将会演化出什麽样的几何模组?」

本文来自 https://proscience2.wordpress.com/2019/09/25/

Jul 052020
 

John Conway

生命游戏之父约翰·康威于4月11日由于新冠肺炎去世,享年83岁。作为普林斯顿大学数学系教授的约翰·康威,从小就对数学表现出强烈的兴趣和天赋,因为发明“生命游戏”被人熟知,他在组合博弈论、数论、群论等多个领域都颇有建树。

康威证明了生命游戏具有图灵完备性,允许在生命游戏中模拟任何其他生命游戏规则。在理论上,如果网格空间足够大,计算能力足够强,生命游戏甚至可以模拟出与真实生命相当的复杂度。

康威最为世人所知的创造是《生命游戏》。上世纪70年代初,全世界四分之一的电脑运行过这款游戏。一份美国军方的研究报告显示,人们在岗位上偷闲观看游戏的进展,损失的工作量价值百万美元。直至今天,油管上有关它的最新视频仍在收获数十万的点击量。

游戏的世界是一张方格棋盘,被细胞棋子占据。每个细胞接下来的命运取决于相邻8个方格中其他细胞的数量。生存或死亡,规则看似简单:活着的时候,周围生命分布得太多太少都会导致死亡。死去后,周围生命多起来则会带来重生。

生命在棋盘之上自寻出路,组合、震荡、碰撞,变幻出无穷无尽的图像。它激发了细胞自动机的研究热潮,有计算机的数学家都开始运行模拟,发掘更新更复杂的图样,探索其中蕴含的优美规律。2013年11月,第一个可以克隆自身及规则的《生命游戏》复制体问世。

John Conway

John Horton Conway 小传

透过 Bultheel, Adhemar的书评(《Book Review: ‘Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway (S. Roberts)》)可以了解这位传奇的数学家。

这是一位具有非常规职业的数学家,他的思考方式与众不同。

他于1937年出生在利物浦——有两个姐姐的家庭。康威在11岁时已定下志愿:去剑桥大学,做一个数学家。他是个多面手,几乎在现代数学的每一方面都有所建树,包括群论、拓扑、数论、几何。

1964年,他在剑桥获得博士学位,后成为普林斯顿大学数学系教授。

在剑桥大学,他是个才华横溢的迷惘年轻人。毕业前很长一段时间,他连找什么工作都没想好。一日闲逛路遇老师,老师建议他向自己申请本校教职,他则连申请书都不知道怎么写。老师只得现场拿出纸笔替他写好,而他只负责签名。几天后,回信寄至:“您的申请失败了,但我还能给您第二选择。”

这是一份助理教授的职位,他在“第二选择”的位置上工作了22年,直到1986年任教普林斯顿。工作的头5年里,他没有做成一件“正事”,终日在教员休息室里发明新游戏,或者为老游戏制定新规则——旧规则太“无聊”了。以粉笔为赌注,他与同事争锋于“豆芽游戏”和“哲学家足球”——用围棋棋子玩的抽象足球。一组数学家在多年后发表论文证明,这球要踢好真的很难啊。

1966年8月,在莫斯科,一位博士生向他介绍了“Leech晶格”:在24维的欧几里得空间里,一堆球体紧密排布,每个球都挨着周围196560个球。他的想象力被激活了,开始寻找这个晶格的空间对称群。他成功了。

他非常健谈,可以同时思考许多显得很混乱的事情。他将自己再普林斯顿(Princeton)的办公室变成一个住所,装满了悬挂在天花板上的纸质多面体模型、书籍、纸张、未打开的信件以及桌子,

椅子和地板上的午餐包装纸。不坐任何整理,也不保留任何文件、信件或档案。

他是充满魅力的数学教师,一位从口袋里变出趣味问题的魔术师,一个侃侃而谈的数学天才。在公众面前,他可能就是数学本身:敏锐,跳脱,灵光闪现在大胡子上,频繁得像静电噼里啪啦闪现在干燥的毛衣上。有时他会随口瞎扯,描述在一场剑桥的酒席上,一个古老家族归还保存了150年的克伦威尔的头颅——他根本就不在现场。

他选择成为这样的康威。成年以前,这个身形单薄的利物浦男孩总坐在教室最后一排,因为内向被老师戏称“玛丽”。在18岁前往剑桥上学的路上,他决定要做一个外向的人,能言善辩,大讲段子,高声笑。

退休之后,他仍出没于各大数学夏令营,和年轻人讨论数学。他多次公开表示越来越不相信自己的记忆力,因为记忆老是撒谎。这可能是实情,也可能是他逃避采访的又一次瞎扯。

Siobhan Roberts 写过一本Conway 的传记 Genius At Play: The Curious Mind of John Horton Conway

John Horton Conway 的著述

John Conway 写过很多精彩的书籍。一个不完整的清单包括:

Conway, J. H. (1970): Regular machines and regular languages;

Conway, J. H. (1976): On numbers and games;

John B Conway: Functions of One Complex Variable[经评论提醒,这书作者不是本文主角John H. Conway ]

Conway, J. H.; Berlekamp E. R.; Guy, R. K. (1982): Winning ways for your mathematical plays;

Conway, J. H.; Sloane, N.J.A. (1988): Sphere packings, lattices and groups;

Conway, J. H.; Guy, R. K. (1982): The book of numbers;

John B Conway: A Course in Functional Analysis[经评论提醒,这书作者不是 John H. Conway]

John B Conway:  A Course in Operator Theor[经评论提醒,这书作者不是 John H. Conway]

Conway, J. H.; Smith D.A. (2003): On Quaternions and Octonions

John Conway | Nov 27, 2012: All Yesterdays: Unique and Speculative Views of Dinosaurs and Other Prehistoric Animals

G. Polya and John H. Conway | Oct 27, 2014: How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method

John H. Conway, Heidi Burgiel, 2008: The Symmetries of Things

Tao 的纪念

正如陶哲轩所说,我们会记住这样一个有趣的灵魂,我们会怀念这样一个有趣的灵魂。

陶哲轩在他的博客写下了纪念文章,全文如下:

I was greatly saddened to learn that John Conway died yesterday from COVID-19, aged 82.

My own mathematical areas of expertise are somewhat far from Conway’s; I have played for instance with finite simple groups on occasion, but have not studied his work on moonshine and the monster group.  But I have certainly encountered his results every so often in surprising contexts; most recently, when working on the Collatz conjecture, I looked into Conway’s wonderfully preposterous FRACTRAN language, which can encode any Turing machine as an iteration of a Collatz-type map, showing in particular that there are generalisations of the Collatz conjecture that are undecidable in axiomatic frameworks such as ZFC.  [EDIT: also, my belief that the Navier-Stokes equations admit solutions that blow up in finite time is also highly influenced by the ability of Conway’s game of life to generate self-replicating “von Neumann machines“.]

I first met John as an incoming graduate student in Princeton in 1992; indeed, a talk he gave, on “Extreme proofs” (proofs that are in some sense “extreme points” in the “convex hull” of all proofs of a given result), may well have been the first research-level talk I ever attended, and one that set a high standard for all the subsequent talks I went to, with Conway’s ability to tease out deep and interesting mathematics from seemingly frivolous questions making a particular impact on me.  (Some version of this talk eventually became this paper of Conway and Shipman many years later.)

Conway was fond of hanging out in the Princeton graduate lounge at the time of my studies there, often tinkering with some game or device, and often enlisting any nearby graduate students to assist him with some experiment or other.  I have a vague memory of being drafted into holding various lengths of cloth with several other students in order to compute some element of a braid group; on another occasion he challenged me to a board game he recently invented (now known as “Phutball“) with Elwyn Berlekamp and Richard Guy (who, by sad coincidence, both also passed away in the last 12 months).  I still remember being repeatedly obliterated in that game, which was a healthy and needed lesson in humility for me (and several of my fellow graduate students) at the time.  I also recall Conway spending several weeks trying to construct a strange periscope-type device to try to help him visualize four-dimensional objects by giving his eyes vertical parallax in addition to the usual horizontal parallax, although he later told me that the only thing the device made him experience was a headache.

About ten years ago we ran into each other at some large mathematics conference, and lacking any other plans, we had a pleasant dinner together at the conference hotel.  We talked a little bit of math, but mostly the conversation was philosophical.  I regrettably do not remember precisely what we discussed, but it was very refreshing and stimulating to have an extremely frank and heartfelt interaction with someone with Conway’s level of insight and intellectual clarity.

Conway was arguably an extreme point in the convex hull of all mathematicians.  He will very much be missed.

(本文参考了几篇文章,部分段落从这里来:

1. 中国青年报,4月17日的《被新冠病毒带走的数学大玩家

2. 掌桥科研,4月12日在知乎的文章《因新冠肺炎逝世的天才数学家约翰·康威 John Horton Conway》 )

Jul 052020
 

科研成果的守护

4日,加州大学圣地亚哥分校细胞与分子医学系付向东教授实名举报中科院上海神经所80后明星教授 Yang H 学术抄袭、造假。

信是这样说的:

“2018 年 6 月 14 号,受蒲慕明所长特邀学术报告,付向东在中科院神经所报告了我 们这项未发表的、治疗帕金森综合征的研究成果,详细介绍了此项研究工作的科学 思路、全部实验设计和研究结果;同时,我还分享了将抗 PTBP1 因子成功应用到视 网膜疾病治疗的一项合作研究工作。杨辉和神经所百余名科研人员参加了我的学术 报告。报告之后,Yang H 和几位研究员与我共进晚餐,在晚餐期间Y H向我咨询了许 多关于实验细节问题。”

我们在这里不谈论这件事的对错与是非。只谈谈如何保护尚未正式发表成文的学术成果。

在文章发表前,至少在生物学领域,在会议上介绍自己的前期结果是广泛存在的。一方面是让大家了解并推销自己的发现,同时发现自己的不足;另一方面互相交流,可以碰撞出一些新的想法。

 Posted by at 12:27 pm
Jul 042020
 

​6月17日,人教版数学八年级下册自读课本写到爱因斯坦用相对论中的质能方程论证勾股定理,但是摆了乌龙的消息刷屏。这里不去讨论这个错误的证明,虽然在官方教科书出现这种低级错误实在不该。

下面的两个图来自这本书 Manfred Schroeder, Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise, 3-4

简言之,爱因斯坦利用了欧氏几何中相似三角形的两条性质:

  1. ​ 相似三角形的面积之比等于相似比的平方;
  2.  相似三角形的面积与某条对应边边长平方之比为一个常数。

将最初的直角三角形作斜边上的高,分成两个小直角三角形,三个直角三角形是两两相似的,并且各自的面积分别除以自己斜边边长的平方,三者的商相等,以 m 表之。将原来的直角三角形的三边长分别记为 \(a, b, c\),  于是三个直角三角形的斜边长分别 \(c, a\) 和 \(b\)。至此,便有等式

\[mc^2=ma^2+mb^2.\]

最后,两端约去非零的系数 \(m\) ,便出来了我们熟悉的勾股定理。

采用相似来证明勾股定理的途径有很多,但是爱因斯坦的这个方法以优雅和简洁而出类拔萃,这个论证揭示了长度和面积的联系是勾股定理的核心!爱因斯坦本人并没有记载这个他的证明。现在看到的证明是,可能是他的朋友后来记下的.

据爱因斯坦的自传,他在12岁阅读一本欧氏平面几何的小书,经过一番努力发现了勾股定理的新证明,这是一种完全不同的体验正如希腊人揭示的man is capable at all to reach such a degree of certainty and purity in pure thinking.

Jul 042020
 

前几天传出了一个消息,英国杜伦大学的Andrew Lobb和波士顿学院的Joshua Greene这两位数学家解决了一个有109 年历史的著名难题:任何简单闭合曲线,都包含四个可以连接形成正方形的点。

然则,这则新闻有点耸人听闻。事实上,这两个数学家解决的只是一个附加了条件的 弱化版本,并没有彻底搞定 109 年前的那个原始的猜想。

我们先来看看这个猜想是一个什么问题。这个猜想(Toeplitz square peg problem)是猜测任意连续的简单闭曲线上存着四个点构成为一个正方形。

Square Peg Problem

Andrew Lobb 和 Joshua Greene 证明的结果是: 对于任意光滑的 Jordan 曲线和长方形 R, 可以找到曲线上的四个点使得构成的长方形相似于 R.

换言之,Andrew Lobb 和 Joshua Greene 证明了 对于光滑的 Jordan 曲线上存着四个点构成为一个正方形,并且不仅仅如此,他们对于光滑的 Jordan 曲线得到的结果比猜想还要好很多。

于是 ,我们可以说,109 年前的猜想还没有完全解决,依旧还是未决难题。看来必须得有全新的想法才可能突破。

关于这个猜想,数学家已经做出了很多努力。数学家们方法尝试了许多,Tao(陶哲轩)用积分的方法,而 Lobb和Greene 的 6 页的文章是(代数)拓扑风格,是建立在前人做出的贡献,尤其是 Shevchishin 的一个定理

the Klein bottle does not admit a smooth Lagrangian embedding in \(\Bbb C^2\).

之上,以辛几何为方法,取得了进展。

Andrew Lobb 和 Joshua Greene

Andrew Lobb,本科就读于牛津大学,在哈佛大学攻读博士学位,目前在杜伦大学担任助理教授,同时亦是日本冲绳科技大学的 Excellence Chair。

Joshua Greene,先后分别在芝加哥大学和普林斯顿大学攻读硕士、博士学位,现在是波士顿学院教授。

 

Jun 272020
 

识人,是每个人排在前几项的必修课。

一个人如何对待他人,是德性决定,不会随时间改变,也不会因为和“好朋友”越来越熟悉而更好。如果因为关系亲近而放松警惕,是为大错!

无论是对事还是对人,我们只需要做好自己的本分,不与过多人建立亲密的关系,也不要因为每天碰面关系亲密便掏心掏肺,切莫交浅言深,应适可而止。

能帮忙就直接帮不废话。
有共同的事业兴趣,可以谈几句专业,否则少说或者不说。

真正要防范的其实就是身边的“很深交情” ,其实陌生人都不如,人品垃圾的货物只会算计自己的“好朋友”,“好朋友”挣钱了,立即像狗见到骨头一样的扑过来,
人品真的是很难看清,到利益关口才能看见。不经过利益的考验,不可轻信人品。所以,识人还是首看能力。

人说的话写的文字, 不一定说明了某对象的性质或者对某事做出了判断,
但, 一定泄漏了说话者本人的信息.

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