从模函数到单值化定理 Ⅴ

秋水无涯

Prologue:

…It is true that Mr. Fourier had the opinion that the principal purpose of mathematics was the benefit of the society and the explanation of phenomena of nature; but a philosopher like he should know that the sole purpose of science is the honor of the human mind, and under this title, a question about numbers is as valuable as a question about the system of the world…

——C. G. Jacobi, Letter to Legendre

紧Riemann面是代数几何学家感兴趣的对象，因为可以将其视为复射影空间中的代数曲线。在接下来的两章中，我们利用单值化定理对紧Riemann面做一个初步的讨论。

以 $\mathbb{\bar{C}}$ 为万有覆叠的紧Riemann面$S$ 解析同构于$ \mathbb{C}P^{1}$，有理函数是其上仅有的亚纯函数。拓扑上我们得到了一个亏格为$0$的闭曲面（球面）。这一情形是简单的。

以$\mathbb{C}$为万有覆叠的紧Riemann面S解析同构于$\mathbb{C}/\Lambda$，$\Lambda$是某个格。从拓扑上看，这是一个亏格为$1$ 的闭曲面（环面）。

和亏格$0$ 的情形不同，并非所有亏格 $1$ 的紧Riemann面都彼此解析同构。假定$ \Lambda$ 的基按逆时针排列，即$\Im(\omega_{2}/\omega_{1})\gt 0$。对同一个格可以选取不同的基，彼此相差一个$PSL(2,\mathbb{Z})$中的线性变换。将相差伸缩和旋转变换的格视为等价的，则等价类可以用 $\mathbb{H}/ PSL(2,\mathbb{Z})$进行参数化。通过覆叠映射定义$S$上的复结构，容易证明 $S$ 和 $S^{\prime}$ 解析同构当且仅当$\Lambda$ 和$\Lambda^{\prime}$ 等价。今后我们总是假定讨论的格带有标准基$1,\tau，\Im(\tau)\gt0$。

我们希望实现代数曲线 $S $ 到 $\mathbb{C}P^{N}$ 的嵌入。最直接的想法是在 $S$ 上找不同时为$0$ 的 $N+1$ 个全纯函数构作射影坐标系。然而紧Riemann面上不存在全纯函数。一个变通方案是在$\hat{S}$上寻找有特殊对称性的全纯函数f。具体地说，视单值群 $G$ 为 $Aut(\mathbb{C})$的子群，我们希望对 $g \in G，f_{i}(gz)=\gamma_{g}(z)f_{i}(z)，\gamma_{g}(z)$是仅依赖于 $g$ 的整函数且处处不为 $0$。这样利用等价关系仍可以同时消去所有的$\gamma_{g}(z)$。

实际上我们拥有了一个单值群G到整函数环的乘法群的同态。如果我们取同态象的生成元为$1$和 $e^{-2k\pi iz}$，就得到：

$$f_{i}(z+1)=f_{i}(z)，f_{i}(z+\tau)=e^{-2k\pi iz}f_{i}(z)$$

这时满足条件的 $f_{i}$可以用Fourier展开直接构造出来。计算指出其Fourier系数满足一个$k$ 阶递推关系，且对任意选取的初始值收敛，故这些函数构成一个k维函数空间。

$S$ 当然不能嵌入 $\mathbb{C}P^{1}$。取 $k=3$，利用上述的 $f_{i}$ 可完成 $S$ 到 $\mathbb{C}P^{2}$ 的嵌入。我们不再讨论技术性的细节，而是指出类似的想法可以推广到高维。高维复环面可以嵌入射影空间当且仅当其周期矩阵满足Frobenius关系。

按上述方式定义的 $f_{i}$是一种特殊的theta函数。k称为theta函数的权。我们利用theta函数来研究 $S$ 上的亚纯函数。亏格为 $1$ 的紧Riemann面上的亚纯函数对应 $\mathbb{C}$上的双周期函数，沿用历史上的叫法，也称为椭圆函数。现在很容易构造这样的函数：取两个权为 $k$ 的theta函数的商即可。这个利用theta函数的商构作椭圆函数的想法是Jacobi的。椭圆函数论是一门不小的学问，和很多有趣的话题有关。这里我们想指出的是，椭圆函数是 $\mathbb{C}$上$G$-不变的亚纯函数。在 $\triangle$ 上 $G$-不变的亚纯函数称为自守函数。在第6章中我们将会看到Jacobi的想法如何启发了Poincaré在自守函数方面的工作。

Weierstrass提出了另一种构造椭圆函数的方法，即利用Weierstrass $\mathfrak{P}$函数。这方法简洁明了，被大多数现代课本采用。然而值得指出的是，theta函数处在数论、自守形式、函数论和数学物理的交叉点上，研究其性质有极高的附加价值。在第7章中有一个重要的例子：尖点形式$\Delta$。

在Jacobi看来，纯数学和应用数学是一体的（Bourbaki，尤其是Dieudonné鼓吹的“为了人类心智的荣耀”是对Jacobi可耻的断章取义）。在对theta函数的研究中他身体力行地实践了这一哲学。在现代，这一传统的有力继承者是Arnold，因而引用Arnold的话来结束是适当的：

Jacobi noted, as mathematics’ most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum.

These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology.

The emotional significance of such discoveries for teaching is difficult to overestimate. It is they who teach us to search and find such wonderful phenomena of harmony of the Universe.