1. 在 $$\Bbb R^3$$上定义线性变换 $$A$$, $$A$$ 在自然基

$\varepsilon_1=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\varepsilon_2=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\varepsilon_3=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc} 0&1&-1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)$

2. $$3$$ 阶实矩阵 $$A$$ 的特征多项式为 $$x^3-3x^2+4x-2$$. 证明 $$A$$ 不是对称阵, 也不是正交阵

3. 在所有 $$2$$ 阶实方阵上, 定义二次型 $$f\colon X \rightarrow Tr(X^2)$$. 求 $$f$$ 的秩和符号差.

4. 设 $$V$$ 是有限维线性空间, $$A$$, $$B$$是 $$V$$ 上线性变换满足下面条件
(1) $$AB=O$$, 这里 $$O$$ 是 $$0$$ 变换;
(2) $$A$$ 的任意不变子空间也是 $$B$$ 的不变子空间;
(3) $$A^5+A^4+A^3+A^2+A=O$$.

5. 设 $$V$$ 是全体次数不超过 $$n$$ 的实系数多项式组成的线性空间, 定义线性变换 $$A\colon f(x)\rightarrow f(1-x)$$. 求 $$A$$ 的特征值和对应的特征子空间.

6. 计算如下的行列式,各行底数为等差数列,各列底数也为如此,所有指数都是 $$50$$:

$\left|\begin{array}{ccccc} 1^{50}&2^{50}&3^{50}&\cdots &100^{50}\\ 2^{50}&3^{50}&4^{50}&\cdots &101^{50}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 100^{50}&101^{50}&102^{50}&\cdots& 199^{50}\\\end{array}\right|$

7.设 $$V$$ 是复数域上有限维线性空间 $$A$$ 是 $$V$$ 上线性变换, $$A$$ 在一组基下矩阵为 $$F$$.
(1) 若 $$A$$ 可对角化对任意 $$A$$ 的不变子空间 $$U$$, 存在 $$U$$ 的一个补空间 $$W$$ 是 $$A$$ 的不变子空间;
(2) 若对任意 $$A$$ 的不变子空间 $$U$$,存在 $$U$$ 的一个补空间 $$W$$ 是 $$A$$ 的不变子空间,证明 $$F$$ 可对角化.

8. 平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆(或圆).详细论证这一点

9. 平面 $$Ax+By+Cz+D=0$$ 与双曲抛物面 $$2z=x^2-y^2$$ 交于两条直线

10. 正十二面体有12个面, 每个面为正五边形, 每个顶点连接3条棱. 有一个半径为 $$r$$ 的球与它的各个面都相切, 有一个半径为 $$R$$ 的中心在原点的球通过它的所有顶点. 求 $$\dfrac rR$$.

1. 用开覆盖定理证明闭区间上的连续函数必一致连续.

2.  $$f(x)$$ 是 $$[a,b]$$ 上的实函数. 叙述关于 Riemann 和

$\sum_{k=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$

3. $$(a,b)$$ 上的连续函数 $$f(x)$$ 有反函数.证明反函数连续

4. $$f(x_1,x_2,x_3)$$是 $$C^2$$映射,

$\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,x_2^0,x_3^0)\not =0$

5. $$n\ge m$$, $$f\colon U\subseteq R^n\rightarrow R^m$$ 是 $$C^1$$ 映射, $$U$$ 为开集且 $$f$$ 的 Jacobi 矩阵秩处处为 $$m$$. 证明 $$f$$ 将 $$U$$ 中的开集映为开集.

6. $$x_1=\sqrt{2}$$, $$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$$, $$n=1$$, $$2$$, $$\dotsc$$. 证明 $$\{x_n\}$$ 收敛并求极限值.

7. 证明 $$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x \mathrm dx$$ 收敛, 并求值(写出计算过程)

8. (A)证明若 $$[a,b]$$上的多项式序列 $$p_n(x)$$使得 $$\int_a^b p_n^2(x)dx=1$$, $$\int_a^b p_m(x)p_n(x)dx=0$$, $$m\ne n$$, 并使得对于 $$[a,b]$$ 上的连续函数 $$f(x)$$ 若 $$\int_a^b f(x)p_n(x)dx=0,\forall n$$ 必有$$f\equiv 0$$. (B)设 $$g(x)$$ 在 $$[a,b]$$ 平方可积, $$g$$ 关于 A 中 $$p_n$$ 的展式系数为 $$g(x)\sim\int_a^b g(x)p_n(x)dx$$问 $$\int_a^b g^2(x)dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left[\int_a^b g(x)p_n(x)dx\right]^2$$是否成立?

9. 正项级数 $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$$ 收敛, $$\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=0$$. $$c_n=a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots +a_nb_1$$. 证明 $$\{c_n\}$$ 收敛并求 $$\lim\limits_{n\to +\infty}c_n$$.

10. 幂级数 $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nx^n$$ 收敛半径为 $$R$$, $$0\lt R\lt+\infty$$. 证明 $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nR^n$$ 收敛的充要条件为 $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nx^n$$ 在 $$[0,R)$$一致收敛.

1. 计算 $$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt-x} {\sin x-x}$$.

2. 论证积分 $$\int_1^{+\infty}\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\sin{\frac1x}\right]\,\mathrm dx$$ 的敛散性.

3. 函数 $$f(x,y)=\begin{cases}\left(1-\cos\frac{x^2}y\right)\sqrt{x^2+y^2}, &y\ne0;\\0, & y=0.\end{cases}$$ $$f(x,y)$$ 在 $$(0,0)$$ 是否可微? 说明理由.

4. 计算 $$\int_L e^x\left[\left(1-\cos y\right)\,\mathrm dx-\left(y-\sin y\right)\,\mathrm dy\right]$$, 这里 $$L$$ 是曲线 $$y=\sin x$$ 从 $$(0,0)$$ 到 $$(\pi,0)$$.

5. 证明函数级数 $$\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1}$$ 在 $$(0,2\pi)$$ 一致收敛, 并且在 $$(0,2\pi)$$ 有连续导数.

6. $$x_0=1$$, $$x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n}$$, $$n\geq 0$$. 证明序列 $$\{x_n\}$$ 收敛并求其极限.

7. 函数 $$f\in C^2(\Bbb R^2)$$, 且对于任意 $$(x,y)\in \Bbb R^2$$, $$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)\gt0$$. 证明: $$f$$ 没有极大值点.

8. $$f$$ 在 $$[a,b]$$ 连续, 在 $$(a,b)$$ 可导, 且 $$f(b)\gt f(a)$$. $$c=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$. 证明: $$f$$ 必具备下述两条性质中的一个:
(1) 任意 $$x\in[a,b]$$, 有 $$f(x)-f(a)=c(x-a)$$;
(2) 存在 $$\xi\in(a,b)$$, 使得 $$f^\prime(\xi)\gt c$$.

9. $$\mathbf F\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^2$$ 是 $$C^1$$ 映射, $$\mathbf F(x_0)=y_0$$, $$x_0\in\Bbb R^3$$, $$y_0\in\Bbb R^2$$, 且 $$\mathbf F$$ 在 $$x_0$$ 处的 Jacobi 矩阵 $$\mathbf{DF}(x_0)$$ 的秩为 $$2$$. 证明: 存在 $$\varepsilon\gt0$$, 以及 $$C^1$$ 映射 $$\gamma(t)\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Bbb R^3$$, 使得 $$\gamma^\prime(0)$$ 是非零向量, 且 $$\mathbf F(\gamma(t))=y_0$$.

10. $$U\subseteq\Bbb R^n$$ 为开集, $$f\colon U\to\Bbb R^n$$ 是同坯映射, 且 $$f$$ 在 $$U$$ 上一致连续. 证明: $$U=\Bbb R^n$$.

1. Let  $$f \colon\Bbb R\to \Bbb R$$ be continuous function which s.t.

$\sup_{x, y\in \Bbb R} |f(x+y)-f(x)-f(y)|<\infty$

if we have $$\lim_{n\to \infty}\frac{f(n)}n=2014$$, Prove $$\sup_{x\in \Bbb R}|f(x)-2014x|<\infty$$.

2. Let $$f_1$$, $$f_2$$, $$\dotsc$$ , $$f_n\in$$ $$H(D)\bigcap C(\bar{D})$$ , where $$D=\{z: |z|<1\}$$. Prove

$\phi(z)=|f_1(z)|+|f_2(z)|+\dotsb+|f_n(z)|$

achieve maximum value on $$\partial D$$.

3. Prove that if there is conformal mapping betwwen the annulus $$\{z:r_{1}<|z|<r_{2}\}$$ and the annulus $$\{z:\rho_1<|z|<\rho_{2}\}$$

then

$\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}$

4. 设$$U(\xi)$$ 是 $$\Bbb R$$ 是有界函数且有有限多个不连续点, 证明

$P_U(x)=\frac1\pi\int_{\Bbb R}\frac y{(x-\xi)^2+y^2}U(\xi)\,\mathrm d\xi$

$P_{U}(x)\to U(\xi), z \to \xi$

5. 海森堡不等式

$\int_{-\infty}^{+\infty}x^2|f(x)|^2\,\mathrm dx\int_{-\infty}^{+\infty}\xi ^2|\hat{f}(\xi)|^2 \,\mathrm d\xi \geq \frac{(\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,\mathrm dx)^2}{16\pi^2}$

1.  Let  $$X$$ be the quotient space of $$S^2$$ under the identifications $$x \sim -x$$ for $$x$$  in the equator $$S^{1}$$. Cmpute the homology groups $$H_{n}(X)$$. Do the same for $$S^{3}$$ with antipodal points of the equator $$S^{2} \subset S^{3}$$ identified.

2.  Let $$M \to \Bbb R^3$$  be a graph defined by $$z=f(u,v)$$ where $$\{u,v,z\}$$ is a Descartes coordinate system in $$\Bbb R^3$$. Suppose that $$M$$ is a minimal surface.

Prove that:

(a) The Guass curvature $$K$$ of $$M$$ can be expressed as

$K=\Delta \log (1+\frac1W),W:=\sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial u})^{2}+(\frac{\partial f}{\partial v})^{2}}$

(b) If $$f$$ is defined on the whole $$uv$$-plane, then $$f$$ is a linear function. (Bernstein theorem)

3.  Let $$M=\Bbb R^2 / \Bbb Z^2$$ be the two dimensional torus, $$L$$ the line $$3x=7y$$ in $$\Bbb R^2$$, and $$S=\pi (L) \subset M$$ where $$\pi :\Bbb R^2 \to M$$ is the projection map. Find a differential form on $$M$$ which represents the Poincare dual of $$S$$.

4. Let $$(\tilde M,\tilde g) \to (M,g)$$ be a Riemannian submersion. This is a submersion $$p: M \to M$$ such that for each $$x\in \tilde{M}, \ker^{\bot}(Dp) \to T_{p(x)}(M)$$  is a Linear isometry.

(a) Show that p shortens distance.
(b) If $$(\tilde{M},\tilde{g})$$ is complete, so is $$(M,g)$$.
(c) Show by example that if $$(M,g)$$ is complete, $$(\tilde{M},\tilde{g})$$ may not be complete.

5. Let $$\psi :M \to \Bbb R^3$$ be an isometric immersion of a compact surface $$M$$ into $$\Bbb R^3$$.

Prove that

$\int_MH^2 \,\mathrm d\sigma \geq 4\pi$

where $$H$$ is the mean curvature of $$M$$ and $$d\sigma$$ is the area element of $$M$$.

6. The unit tangent bundle of $$S^2$$ is the subset

$T^1(S^2)=\{(p,v)\in \Bbb R^2\, | \, \|p\|=1, (p,v)=0,\|v\|=1\}$

Show that it is a smooth submanifold of the tangent bundle $$T(S^2)$$ of  $$S^2$$ and $$T^1(S^2)$$ is diffeomorphic to $$\Bbb RP^3$$.

Analysis and differential equations Individual 2014

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Applied Math. and Computational Math. Individual 2014

team 2014

1.  办法之一是下面的

$f(x)=u(x)v(x).$

$u(k)v(k)=2014, k=1,2,\dotsc, 2013.$

$1003|\big(u(k+1003)-u(k)\big), 1004|\big(u(k+1004)-u(k)\big).$

$u(1)=u(2)=\dotsb=u(2013), v(1)=v(2)=\dotsb=v(2013).$

2. 这是 1990 年的普特南竞赛题.

$$n\geq3$$ 都有反例.

$M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\; N=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0\end{pmatrix},$

$$MNMN=0$$，但是 $$NMNM=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$.

If $$f\in C^1([a,b])$$ is increasing and nonconstant, then

$\int_a^b\sqrt{1+{f^\prime}^2(x)}\, \mathrm dx \lt b-a+f(b)-f(a).$

For $$\alpha$$, $$\beta\geqslant0$$, $$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\leqslant\alpha+\beta$$, with equality iff one or both of $$\alpha$$, $$\beta$$ equals $$0$$.

Now $$f ^\prime\geqslant 0$$, it follows that

$\sqrt{1+{f^\prime}^2(x)}\leqslant 1+f^\prime(x), x\in [a,b].$

Because $$f(x)$$ is nonconstant, $$f^\prime\gt0$$ in a subinterval. In that subinterval we have strict inequality between these two functions. Integrating both sides then gives the result.