Dec 282014
 

北京时间 28 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析

1. 计算 \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt-x} {\sin x-x}\).

2. 论证积分 \(\int_1^{+\infty}\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\sin{\frac1x}\right]\,\mathrm dx\) 的敛散性.

3. 函数 \(f(x,y)=\begin{cases}\left(1-\cos\frac{x^2}y\right)\sqrt{x^2+y^2}, &y\ne0;\\0, & y=0.\end{cases}\) \(f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 是否可微? 说明理由.

4. 计算 \(\int_L e^x\left[\left(1-\cos y\right)\,\mathrm dx-\left(y-\sin y\right)\,\mathrm dy\right]\), 这里 \(L\) 是曲线 \(y=\sin x\) 从 \((0,0)\) 到 \((\pi,0)\).

5. 证明函数级数 \(\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1}\) 在 \((0,2\pi)\) 一致收敛, 并且在 \((0,2\pi)\) 有连续导数.

6. \(x_0=1\), \(x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n}\), \(n\geq 0\). 证明序列 \(\{x_n\}\) 收敛并求其极限.

7. 函数 \(f\in C^2(\Bbb R^2)\), 且对于任意 \((x,y)\in \Bbb R^2\), \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)\gt0\). 证明: \(f\) 没有极大值点.

8. \(f\) 在 \([a,b]\) 连续, 在 \((a,b)\) 可导, 且 \(f(b)\gt f(a)\). \(c=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). 证明: \(f\) 必具备下述两条性质中的一个:
(1) 任意 \(x\in[a,b]\), 有 \(f(x)-f(a)=c(x-a)\);
(2) 存在 \(\xi\in(a,b)\), 使得 \(f^\prime(\xi)\gt c\).

9. \(\mathbf F\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^2\) 是 \(C^1\) 映射, \(\mathbf F(x_0)=y_0\), \(x_0\in\Bbb R^3\), \(y_0\in\Bbb R^2\), 且 \(\mathbf F\) 在 \(x_0\) 处的 Jacobi 矩阵 \(\mathbf{DF}(x_0)\) 的秩为 \(2\). 证明: 存在 \(\varepsilon\gt0\), 以及 \(C^1\) 映射 \(\gamma(t)\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Bbb R^3\), 使得 \(\gamma^\prime(0)\) 是非零向量, 且 \(\mathbf F(\gamma(t))=y_0\).

10. \(U\subseteq\Bbb R^n\) 为开集, \(f\colon U\to\Bbb R^n\) 是同坯映射, 且 \(f\) 在 \(U\) 上一致连续. 证明: \(U=\Bbb R^n\).

Jul 132014
 

第五届丘成桐大学生数学竞赛笔试已于 2014 年 7 月 12 日至 13 日举行. 竞赛组委会组织专家集中阅卷后, 评选出参加决赛(面试)的团队和个人名单. 第五届丘成桐大学生数学竞赛决赛(口试)将于 2014 年 8 月 2 日和 3 日在北京举行.

分析与方程

1. Let  \(f \colon\Bbb R\to \Bbb R\) be continuous function which s.t.

\[\sup_{x, y\in \Bbb R} |f(x+y)-f(x)-f(y)|<\infty\]

if we have \(\lim_{n\to \infty}\frac{f(n)}n=2014\), Prove \(\sup_{x\in \Bbb R}|f(x)-2014x|<\infty\).

2. Let \(f_1\), \(f_2\), \(\dotsc\) , \(f_n\in\) \(H(D)\bigcap C(\bar{D})\) , where \(D=\{z: |z|<1\}\). Prove

\[\phi(z)=|f_1(z)|+|f_2(z)|+\dotsb+|f_n(z)|\]

achieve maximum value on \(\partial D\).

3. Prove that if there is conformal mapping betwwen the annulus \(\{z:r_{1}<|z|<r_{2}\}\) and the annulus \(\{z:\rho_1<|z|<\rho_{2}\}\)

then

\[\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}\]

4. 设\(U(\xi)\) 是 \(\Bbb R\) 是有界函数且有有限多个不连续点, 证明

\[P_U(x)=\frac1\pi\int_{\Bbb R}\frac y{(x-\xi)^2+y^2}U(\xi)\,\mathrm d\xi\]

是调和的(Harmonic function)在半平面 \(\{z \in \Bbb C\colon\Im z >0\}\), 若 \(\xi\) 为 \(U\) 连续点

\[P_{U}(x)\to U(\xi), z \to \xi\]

5. 海森堡不等式

\[\int_{-\infty}^{+\infty}x^2|f(x)|^2\,\mathrm dx\int_{-\infty}^{+\infty}\xi ^2|\hat{f}(\xi)|^2 \,\mathrm d\xi \geq \frac{(\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,\mathrm dx)^2}{16\pi^2}\]

几何与拓扑

1.  Let  \(X\) be the quotient space of \(S^2\) under the identifications \(x \sim -x\) for \(x\)  in the equator \(S^{1}\). Cmpute the homology groups \(H_{n}(X)\). Do the same for \(S^{3}\) with antipodal points of the equator \(S^{2} \subset S^{3}\) identified.

2.  Let \(M \to \Bbb R^3\)  be a graph defined by \(z=f(u,v)\) where \(\{u,v,z\}\) is a Descartes coordinate system in \(\Bbb R^3\). Suppose that \(M\) is a minimal surface.

Prove that:

(a) The Guass curvature \(K\) of \(M\) can be expressed as

\[K=\Delta \log (1+\frac1W),W:=\sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial u})^{2}+(\frac{\partial f}{\partial v})^{2}}\]

(b) If \(f\) is defined on the whole \(uv\)-plane, then \(f\) is a linear function. (Bernstein theorem)

3.  Let \(M=\Bbb R^2 / \Bbb Z^2\) be the two dimensional torus, \(L\) the line \(3x=7y\) in \(\Bbb R^2\), and \(S=\pi (L) \subset M\) where \(\pi :\Bbb R^2 \to M\) is the projection map. Find a differential form on \(M\) which represents the Poincare dual of \(S\).

4. Let \((\tilde M,\tilde g) \to (M,g)\) be a Riemannian submersion. This is a submersion \(p: M \to M\) such that for each \(x\in \tilde{M}, \ker^{\bot}(Dp) \to T_{p(x)}(M)\)  is a Linear isometry.

(a) Show that p shortens distance.
(b) If \((\tilde{M},\tilde{g})\) is complete, so is \((M,g)\).
(c) Show by example that if \((M,g)\) is complete, \((\tilde{M},\tilde{g})\) may not be complete.

5. Let \(\psi :M \to \Bbb R^3\) be an isometric immersion of a compact surface \(M\) into \(\Bbb R^3\).

Prove that

\[\int_MH^2 \,\mathrm d\sigma \geq 4\pi\]

where \(H\) is the mean curvature of \(M\) and \(d\sigma\) is the area element of \(M\).

6. The unit tangent bundle of \(S^2\) is the subset

\[T^1(S^2)=\{(p,v)\in \Bbb R^2\, | \, \|p\|=1, (p,v)=0,\|v\|=1\}\]

Show that it is a smooth submanifold of the tangent bundle \(T(S^2)\) of  \(S^2\) and \(T^1(S^2)\) is diffeomorphic to \(\Bbb RP^3\).

感谢博士数学论坛的网友 zwb565055403 提供的两套试题, 网友数函分享的 PDF 试题

个人赛试题

Analysis and differential equations Individual 2014

Geometry and topology Individual 2014

Algebra and number theory Individual 2014

Probability and statistics Individual 2014

Applied Math. and Computational Math. Individual 2014

团体赛

team 2014

Mar 292014
 

第五届全国大学生数学竞赛决赛试题和官方解答. 数学专业决赛从本届开始将分为“一二年级组”和“三四年级组”.

2014 the 5th China Undergraduate Mathematical Competition final(freshman and sophomore)

2014 the 5th China Undergraduate Mathematical Competition final(junior and senior)

2014 the 5th China Undergraduate Mathematical Competition final solutions(freshman and sophomore)

2014 the 5th China Undergraduate Mathematical Competition final solutions(junior and senior)

 Posted by at 12:22 pm
Jan 172014
 

1.  办法之一是下面的

引理 设 \(g(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_1x+a_0\) 是实系数多项式, 则在任意互不相同的 \(n+1\) 个整数 \(b_1\), \(b_2\), \(\dotsc\), \(b_{n+1}\) 中, 必定存在一个 \(b_j(1\leqslant j\leqslant n+1)\), 使得 \(|P(b_j)|\geqslant\dfrac{n!}{2^n}\).

第二个考虑是, 设存在非常数整系数多项式 \(u(x)\), \(v(x)\) 使得

\[f(x)=u(x)v(x).\]

因为 \(f(x)\) 恒正, 可以假定 \(u(x)\), \(v(x)\) 亦然. 于是,  \(u(x)\), \(v(x)\) 的次数都是偶数.

显然,

\[u(k)v(k)=2014, k=1,2,\dotsc, 2013.\]

先指出: \(u(k)=u(k+1003)=u(k+1004)\), \(v(k)=v(k+1003)=v(k+1004)\), \(k=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(1009\).

这是因为 \(u(k)\), \(u(k+1003)\), \( u(k+1004)\) 都是 \(2014\) 的因数, 并且

\[1003|\big(u(k+1003)-u(k)\big),    1004|\big(u(k+1004)-u(k)\big).\]

另一方面, \(2014\) 的正因数只有 \(1\),\(2\), \(19\), \(38\), \(53\), \(106\), \(1007\), \(2014\). 因此, 如果 \(2014\) 的两个正因数的差是 \(1003\) 或 \(1004\) 的倍数, 那么这两个因数只能相等.

现在我们可以断定

\[u(1)=u(2)=\dotsb=u(2013), v(1)=v(2)=\dotsb=v(2013).\]

只需指出 \[u(k)=u(k+1), k=1,2,\dotsc, 2012.\]

事实上, 当 \(k\leq 1009\)  时, \(u(k)=u(k+1004)=u(k+1)\); 当 \(1010\leq k\leq 2012\) 时, \(u(k)=u(k-1003)=u(k+1)\).

如此一来, \(u(x)\), \(v(x)\) 都是 \(2013\) 次多项式. 这是不允许的!

也可以稍微换个做法. 此时, 可设 \(u(x)=\prod\limits_{i=1}^{2013} (x-i)+d_1\), \(v(x)=\prod\limits_{i=1}^{2013} (x-i)+d_2\), 很容易得出矛盾.

2. 这是 1990 年的普特南竞赛题.

如果 \(M\), \(N\) 都是二阶矩阵, 结论是正确的.

\(n\geq3\) 都有反例.

\[M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\; N=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0\end{pmatrix},\]

\(MNMN=0\),但是 \(NMNM=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\).

Jan 082014
 

李氏朝鲜的第四代君主是最伟大的世宗大王. 他把王位按照嫡长子继承的原则, 传给了嫡长子文宗!  然而, 文宗体弱多病, 临终前, 任命金宗瑞为顾命大臣, 辅佐 12 岁即位的端宗.

端宗的叔父首阳大君, 谋害了金宗瑞, 成了领仪政, 掌握大权. 随后, 逼迫端宗禅让王位. 端宗做了两年上王之后, 被赐药而死.

首阳大君, 也就是世祖, 有必要杀侄儿吗? 历史上, 有哪些退位的太上皇被杀? 能找出几个?

如果不是端宗太年轻被害, 也许我不会这么同情他!  叔父首阳大君做的太过! 首阳篡位之前, 有很多次, 可能被杀!

端宗绝对不应该禅让王位的! 再怎么没有实权, 端宗是君, 首阳是臣. 除非暗杀, 否则首阳没有办法. 一旦成了别人的臣, 命完全由不得自己了.

端宗共计在位三年, 在上王位二年, 终年十七岁. 无嗣, 葬于江原道宁越郡庄陵. 这也是朝鲜王朝五百年间, 唯一一座不在京畿的王陵(追封的各王不算).

直至朝鲜肃宗七年(1681 年), 鲁山君被追封为鲁山大君, 肃宗二十四年被追尊复位, 上庙号端宗, 谥号为纯定安庄景顺敦孝大王, 陵号为庄陵. 鲁山君夫人宋氏被追封为定顺王后, 徽号为端良齐敬, 陵号为思陵. 端宗与定顺王后的神主移入宗庙永宁殿, 并举行了袝庙之礼. 与此同时”鲁山君日记”升格为”端宗实录”, 并在庄陵附近修建“死六臣祠”, 为其举行国家级别的祭祀.

挑选几个题作答, 主要是第 10 题.

If \( f\in C^1([a,b])\) is increasing and nonconstant, then

\[\int_a^b\sqrt{1+{f^\prime}^2(x)}\, \mathrm dx \lt b-a+f(b)-f(a). \]

For \(\alpha\), \(\beta\geqslant0\), \(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\leqslant\alpha+\beta\), with equality iff one or both of \(\alpha\), \(\beta\) equals \(0\).

Now \(f ^\prime\geqslant 0\), it follows that

\[\sqrt{1+{f^\prime}^2(x)}\leqslant 1+f^\prime(x), x\in [a,b].\]

Because \(f(x)\) is nonconstant, \(f^\prime\gt0\) in a subinterval. In that subinterval we have strict inequality between these two functions. Integrating both sides then gives the result.

Jan 062014
 

1.令 \(f(x)=\prod\limits_{i=1}^{2013} (x-i)^2+2014\), \(f(x)\) 在有理域内可约吗? 证明你的结论.

2. \(M\), \(N\) 都是 \(n\) 阶矩阵, \(n\geq2\). 如果 \(MNMN \) 为零矩阵, 那么 \(NMNM\) 是否也一定是零矩阵? 证明你的结论.

3. \(n\geq2\). 除了单位矩阵, 还有别的埃尔米特矩阵 \(M\) 满足下面的条件吗?

\[4M^5+2M^3+M=7E_n,\]

其中, \(M\) 是与 \(E_n\) 同阶的矩阵.

4. \(\mathbf V\) 是 \(n\) 维线性空间. 线性变换 \(\mathcal A\) 的最小多项式是 \(n\) 次.
(1) 证明存在向量 \(\alpha\), 使得 \(\alpha\), \(\mathcal A\alpha\), \(\dotsc\), \(\mathcal A^{n-1}\alpha\) 是 \(\mathbf V\)  的一组基;
(2) 任何与 \(\mathcal A\) 可交换的线性变换, 可表示为 \(\mathcal A\) 的多项式.

5. \(\mathbf V=\Bbb C_{n\times n}\) 是所有 \(n\)  阶复矩阵组成的向量空间. 求所有形如  \(MN-NM\) 的矩阵组成的向量空间的维数并给出证明.

6. 欧式空间 \(\mathbf V\) 中, 对称线性变换 \(\mathcal{A}\) 称为“正的”, 若对 \(\forall \alpha \in \mathbf V\), 都有\((\alpha, \mathcal A(\alpha))\geq 0\) 成立, 且等号当且仅当 \(\alpha =\mathbf 0\) 时成立.
(a)证明若线性变换 \(\mathcal A\) 是正的,则 \(\mathcal A\) 可逆;
(b)证明若线性变换 \(\mathcal B\) 是正的, \(\mathcal A-\mathcal B\) 也是正的,则 \(\mathcal B^{-1}-\mathcal A^{-1}\) 是正的;
(c)证明对于正的线性变换 \(\mathcal A\), 总存在正的线性变换 \(\mathcal B\) 使得 \(\mathcal A=\mathcal B^2\).

7. 求单叶双曲面

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]

垂直的直母线交点的轨迹.

8.保距变换

\[\begin{split}
x’& = a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z\\
y’& = a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z\\
z’& = a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z
\end{split}\]

可以看做绕不动直线旋转一个角度而得到.
(a)求不动直线的方向向量;
(b)求旋转角 \(\theta\).
(原题\(a_{11},\cdots,a_{33}\)皆为具体数字, 现已记不清, 用字母代替之)

9.点 \(A(a_{1},a_{2},a_{3})\), \(B(b_{1},b_{2},b_{3})\) 在直线

\[\frac{x+a}{2}=\frac{y+b}{2}=\frac{z}{3}\]

上的投影为 \(A_{1}, B_{1}\), 求 \(A_{1}, B_{1}\) 坐标以及两点间距离.
(原题\(a_{1},\dotsc,b_{3},a,b\)皆为具体数字,现已记不清, 用字母代替之)

Jan 052014
 

1. 叙述实数序列 \(\{x_n\}\) 的 Cauchy 收敛原理, 并且使用 Bolzano-Weierstrass(波尔查诺-威尔斯特拉斯)定理证明.

2. 序列 \(\{x_n\}\) 满足 \(x_1=1\), \(x_{n+1}=\sqrt{4+3x_n}\), \(n=1\), \(2\),\(\dotsc\). 证明此序列收敛并求极限.

3. 计算 \(\iiint_{\Omega}\sqrt{x^2+y^2}\, \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\), 其中 \(\Omega\) 是曲面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 与 \(z=1\) 围成的有界区域.

4. 证明函数项级数 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x^3e^{-nx^2}\) 在 \([0,+\infty)\) 一致收敛.

5. 讨论级数 \(\sum\limits_{n=3}^{+\infty}\ln \cos\dfrac\pi n\) 的敛散性.

6. 设函数 \(f\colon\Bbb R^n\to\Bbb R\) 在 \(\Bbb R^n\setminus\mathbf0\) 可微, 在 \(\mathbf0\) 点连续, 且 \(\lim\limits_{\mathbf p\to \mathbf0} \dfrac{\partial f(\mathbf{p})}{\partial x_i}=0\), \(i=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(n\). 证明 \(f\) 在 \(\mathbf0\) 处可微.

7.  设 \(f(x)\), \(g(x)\) 是 \([0,1]\) 上的连续函数, 且 \(\sup\limits_{x\in [0,1]}f(x)=\sup\limits_{x\in [0,1]}g(x)\). 证明存在 \(x_0\in[0,1]\), 使得 \(e^{f(x_0)}+3f(x_0)=e^{g(x_0)}+3g(x_0)\).

8. 记 \(\Omega=\{\mathbf p\in\Bbb R^3| |\mathbf p|\leq1 \}\), 设 \(V\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^3\), \(V=(V_1, V_2, V_3)\) 是 \(C^1\) 向量场, \(V\) 在 \(\Bbb R^3\setminus\Omega\) 恒为 \(0\), \(\dfrac{\partial V_1}{\partial x}+\dfrac{\partial V_2}{\partial y}+ \dfrac{\partial V_3}{\partial z}\)在 \(\Bbb R^3\) 恒为 \(0\).
(1) 若 \(f\colon\Bbb R^3\to\Bbb R\) 是 \(C^1\) 函数, 求 \(\iiint_{\Omega}\bigtriangledown f\cdot V\,\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\).
(2) 求 \(\iiint_{\Omega}V_1\, \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\).

9. 设 \(f\colon\Bbb R\to\Bbb R\) 是有界连续函数, 求 \(\lim\limits_{t\to0^+}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \frac{t}{t^2 + x^2}\,\mathrm dx\).

10. 设 \(f \colon [0,1] \to [0,1]\) 是 \(C^2\) 函数, \(f(0)=f(1)=0\), 且 \(f^{\prime\prime}(x)\lt0\), \(\forall x\in[0,1]\). 记曲线 \(\{(x,f(x))|x\in[0,1]\}\) 的弧长是 \(L\). 证明 \(L\lt3\).