Sep 132017
 

蝴蝶定理(Butterfly theorem)算得上是平面几何的一个有名的结果, 可是这定理却委实没什么用.

为了方便证明的行文, 先把几个字母交待一下:

\(K\) 是 \(\odot O\) 的弦 \(AB\) 的中点, 过 \(K\) 作圆的两条弦 \(CD\) 和 \(EF\). \(AB\) 分别交 \(CE\) 和 \(FD\) 于 \(M\) 和 \(N\). 那么, \(KM=KN\).

在数学竞赛吧看到了两个证明, 使用根轴(Radical axis)来证明蝴蝶定理.

第一个证明只是寥寥数语:

Butterfly theorem and Radical axis

Butterfly theorem and Radical axis

把 \(\odot O\) 关于弦 \(AB\) 对称, 得到 \(\odot L\). 记 \(\odot L\) 与 \(EF\) 的延长线的交点是 \(R\), 与 \(CD\) 的交点是 \(S\). 根据对称性, 我们知道 \(KR=KE\), \(KS=KC\).

然后, 圆幂定理说明 \(KE\cdot KF=KC\cdot KD\), 进而 \(KR\cdot KF=KS\cdot KD\), 这就得出了 \(S\), \(D\), \(R\), \(F\) 四点共圆; 把这圆记为 \(\Gamma\).

最后, \(\odot O\), \(\odot L\), \(\Gamma\) 两两的根轴 \(AB\), \(DF\), \(RS\) 相交于一点, 即 \(\odot L\), \(\Gamma\) 的根轴 \(RS\) 也经过 \(AB\) 与 \(DF\) 的交点 \(N\). 再一次根据对称性, \(M\) 与 \(N\) 关于 \(K\) 对称.

在进入下一个证明之前, 提醒读者注意: 根轴的理论, 把其中的一个或多个圆换成点(点圆, 即半径是 \(0\) 的圆), 也是没有问题的. 点对点的幂, 认为是这两点距离的平方!

Butterfly theorem and Radical axis

Butterfly theorem and Radical axis

在 \(EC\) 的延长线上取点 \(G\), 使得 \(\angle GKC=\angle GEK\). 随后的, \(GK\) 是三角形 \(CKE\) 的外接圆的切线, 进而  \(GK^2=GC\cdot GE\). 这表明, 若把点 \(K\) 看作一个圆, 则 \(G\) 在这圆与 \(\odot O\) 的根轴上. 类似, 在 \(DF\) 的延长线上取点 \(H\), 使得 \(\angle HKF=\angle HDK\). 则 \(H\) 亦在这圆与 \(\odot O\) 的根轴上. 于是, \(GH\) 就是这圆与 \(\odot O\) 的根轴, 我们知晓 \(GH\perp OK\), 进而 \(GH\parallel MK\).

既然 \(\angle HKF=\angle HDK\), 由

\begin{equation}\begin{split}\angle HKN&=\angle HKF+\angle FKN\\&=\angle HDK+\angle EKM\\&=\angle MEK+\angle EKM\\&=\angle GMK\end{split}\end{equation}

定出  \(HK\parallel GM\). 于是, 四边形 \(MKHG\) 是平行四边形蕴涵 \(KM=GH\). 同理, \(KN=GH\). 至此, \(KM=KN\) 水到渠成.

 Posted by at 1:19 pm
Oct 172015
 

找一本这个书非常非常的困难. 本站好不容易找到了一本, 封面是这个样子的:

Triangle Centers and Central Triangles

Triangle Centers and Central Triangles

“Triangle Centers and Central Triangles” 在近几年欧氏平面几何的研究论文中, 引用频率很高. 这是加拿大 Utilitas Mathematica Publishing Inc 出版社的杂志 “Congressus Numerantium” 1998年的第 129 卷, 讨论了三角形的 400 多个特殊点的性质.

这本书的详细信息, 可以参阅作者 Clark Kimberling 的主页 Triangle Centers and Central Triangles

本书目录如下:

  1. The Launch Pad: Traditional Triangle Geometry
  2. Definitions
  3. Centers 1 to 180
  4. Centers 181 to 360
  5. Central Lines
  6. Central Triangles
  7. Classes of Triangles
  8. Circles and Other Curves
  9. New Kinds of Problems
 Posted by at 12:23 am
Aug 012014
 

收集椭圆的一些性质的几何证明.

约定, 下文的 \(F_1\), \(F_2\) 一律表示椭圆的两个焦点.

1. 从椭圆两个焦点到任意切线的距离的乘积是常数.

这论断的意思是: \(AB\) 是椭圆的长轴, \(P\) 点在椭圆上. 分别过 \(F_1\), \(F_2\) 作椭圆的过点 \(P\) 的切线的垂线, 垂足依次为 \(N\), \(M\), 则 \(F_1N\cdot F_2M\) 是常值.

geometrical properties of ellipse

geometrical properties of ellipse 1

2.  \(AB\) 是椭圆的长轴, \(AC\), \(BD\) 都垂直于 \(AB\). \(P\) 是椭圆上任意一点, 椭圆的过点 \(P\) 的切线分别与 \(AC\), \(BD\) 交于点 \(C\), \(D\), 则

\[PC\cdot PD=PF_1\cdot PF_2.\]

geometrical properties of ellipse

geometrical properties of ellipse 2

下面的证明来自博士论坛的网友 morrismodel.

分别作 \(F_1\), \(F_2\) 关于 \(CD\) 的对称点 \(E_1\), \(E_2\). \(E_1\), \(P\), \(F_2\) 共线, \(E_2\), \(P\), \(F_1\) 共线.

在 \(BA\) 延长线上取一点 \(N\), 使得 \(AN=AF_1\). 然后如上图把线连起来. 则有

\[CE_1=CF_1=CN.\]

从而

\[\angle CE_1N=\angle CNE_1,\quad \angle CNF_1=\angle CF_1N.\]

因为:

\[E_1F_2=PF_1+PF_2=2a=AB=NF_2.\]

所以

\[\angle F_2E_1N=\angle F_2NE_1.\]

从而

\[\angle F_2E_1C=\angle F_2NC=\angle CF_1N.\]

从而 \(E_1\), \(C\), \(F_1\), \(F_2\) 四点共圆. 又由轴对称性, \(E_2\), \(E_1\), \(F_1\), \(F_2\) 四点共圆. 从而 \(E_2\), \(E_1\), \(C\), \(F_1\), \(F_2\) 五点共圆. 同理可证 \(E_2\), \(E_1\), \(F_1\), \(F_2\), \(D\) 五点共圆. 所以 \(E_2\), \(E_1\), \(C\), \(F_1\), \(F_2\), \(D\) 六点共圆. 所以

\[PC\cdot PD=PE_1 \cdot PF_2=PF_1 \cdot PF_2.\]

得证.

May 022014
 

项武义的”古典几何学”被高等教育出版社收进了”现代数学基础”系列, 成为了第 45 册.

本书采用近代观点系统介绍了古典几何学的基础知识(其中包括欧氏几何, 非欧几何, 解析几何, 球面几何与三角, 射影几何等), 并着重对各种古典几何体系进行比较分析和全局探讨, 突出它们的几何思想和在方法论上的创见.

与此同时, 高等教育出版社还将推出项武义的另一本小册子”圆锥截线的故事-数学与文明的一个重大篇章”. 书不是一般的薄, 是及其罕见的薄, 只有 36 页! 真是名副其实的小册子!

目录

第一章 实验几何学
第一节 点、直线与平面的相互关系
第二节 方向、角度与平行
第三节 恒等、叠合与对称
习题

第二章 推理几何的演进与欧氏体系
第一节 萌芽时期 —— 恒等形的研究与应用
第二节 拓展时期 —— 从恒等到相似
第三节 全盛时期
习题

第三章 解析几何学
第一节 空间结构的代数化 —— 向量及其运算
第二节 grassmann 代数
第三节 坐标与坐标变换
习题

第四章 球面几何与球面三角
第一节 球面几何
第二节 球面三角公式
第三节 球面的度量微分形式
习题

第五章 平行公设的探讨与非欧几何学的发现
第一节 简史
第二节 对于平行公设的一些数理分析
习题

第六章 欧氏、球面、非欧三种古典几何的统一处理
第一节 抽象旋转面的解析几何
第二节 欧氏、球面、非欧几何的统一理论
习题

第七章 射影性质与射影几何
第一节 射影性质与射影几何定理的几个基本实例
第二节 直线之间 (或直线束之间) 的射影对应
第三节 锥线的射影性质
习题

第八章 圆的几何与保角变换
第一节 圆的反射对称与极投影映射
第二节 复坐标、交叉比与保圆变换群
第三节 圆系与圆丛
习题

结语

作者: 项武义 王申怀 潘养廉
丛书名: 现代数学基础
出版社: 高等教育出版社
ISBN: 9787040395020
出版日期: 2014 年 4 月
开本: 16 开
页码: 184
版次: 1-1

 Posted by at 2:48 pm
Aug 202013
 

鸡爪定理及其逆定理

鸡爪定理其实是较为常见的. Euler 的 \(OI^2=R^2-2Rr\) 的最流行的证明, 就是先把鸡爪定理证一通. 这也算是鸡爪定理最显著的应用. 那么, 到底何谓鸡爪定理?

记 \(I\) 是 \(\triangle ABC\) 的内心, \(I_a\) 是顶点 \(A\) 所对的旁心, \(AI_a\) 交 \(\triangle ABC\) 的外接圆于点 \(M\), 则 \(MI=MB=MC=MI_a\).

因 \(MI,MB,MC\) 以及 \(MI_a\) 组成的图形形似鸡爪, 故形象地称其为’鸡爪定理’.

Chicken claws theorem

Chicken claws theorem

我们的重点是把逆定理能彻底说明白.

\(\triangle ABC\) 中, \(\angle A\) 的角平分线交 \(\triangle ABC\) 的外接圆于点 \(M\), 我们有以下事实:

  • 线段 \(AM\) 上的一点 \(I\), 使得 \(MI=MB\), 则 \(I\) 即为 \(\triangle ABC\) 的内心;
  • 线段 \(AM\) 的延长线上一点 \(I_a\), 使得 \(MI_a=MB\), 则 \(I_a\) 就是 \(\triangle ABC\) 的顶点 \(A\) 所对的旁心.

容易忽略的是: 设 \(\angle B\) 的外角平分线与 \(\triangle ABC\) 的外接圆的(除 \(B\) 之外的)另一个交点是 \(P\). 点 \(I_a\) 在直线 \(BP\) 上, \(I_a,C\) 在 \(AB\) 同侧, 并且 \(PI_a=PC\), 则 \(I_a\) 就是 \(\triangle ABC\) 的顶点 \(A\) 所对的旁心.

 Posted by at 12:18 am
Aug 142013
 

匡继昌的不等式著作”常用不等式(Applied Inequalities)”名头很大. 我拥有的第一本是第二版, 由湖南教育出版社出版, 是 \(32\) 开, 不是后来第三版, 第四版的 \(16\) 开. 第二版的页码好像比第三部, 第四版要少那么一点.

当年我阅读这书, 几何不等式这一章, 有这么一个不等式(也就是第四版 \(244\) 页的 \(76\)), 是 Bandila. V. 在 1985 年提出:

\begin{equation}\frac Rr\geqslant\frac bc+\frac cb,\end{equation}

这里 \(R,r\) 分别表示三角形 \(ABC\) 的外接圆半径, 内切圆半径; \(a,b,c\) 为边长.

我当初没有想出证明,  但留下的印象是如此的深刻. 几年过去了, 一些关于三角形的公式对于我, 已然陌生.

设 \(S\) 为 \(\triangle ABC\) 的面积; \(p=\dfrac{a+b+c}2\) 是半周长; \(A,B,C\) 为内角; \(t_a,t_b,t_c\) 为内角平分线长; \(h_a,h_b,h_c\) 为高.

先做一点准备工作.

Lemma 1  \(\dfrac Rr=\dfrac{abc}{4(p-a)(p-b)(p-c)}\).

这结论容易建立. \(S=\dfrac{abc}{4R},S=pr\), 以及 Heron’s formula \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) 是熟知的. 经过一点很简单的计算, 可得引理 1.

设 \(x=p-a,y=p-b,z=p-c\), 于是

\[\frac Rr=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{4xyz}.\]

我们想证明 \((1)\), 只要证明, 当 \(x,y,z\gt0\) 时, 有

\[\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{4xyz}\geqslant\frac{x+z}{x+y}+\dfrac{x+y}{x+z}.\]

也就是说, 指出

\begin{equation}(x+y)^2(y+z)(z+x)^2\geqslant 4xyz[(x+z)^2+(x+y)^2]\end{equation}

即可.

\((x+y)^2z\geqslant4xyz\) 导出
\[z(x+y)^2(z+x)^2\geqslant 4xyz(z+x)^2.\]
同样, 由 \(y(z+x)^2\geqslant4xyz\) 可得
\[y(x+y)^2(z+x)^2\geqslant 4xyz(x+y)^2.\]

我们的目标 \((2)\), 立马呈现在眼前.    \(\Box\)

这个证明是传统的. 有更巧妙的途径建立 \((1)\).

为此, 我们需要一个关于内角平分线的不等式.

Lemma 2   \(t_a\leqslant\sqrt{p(p-a)}.\)       (“常用不等式”第四版 \(270\) 页)

注意 \(t_a=\dfrac2{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}\) 即可.

显然

\[h_b^2+h_c^2\leqslant t_b^2+t_c^2\leqslant p(p-b)+p(p-c)=pa.\]

另一方面,

\[h_b^2+h_c^2=4S^2(\frac1{b^2}+\frac1{c^2})=\frac{abc}R\cdot pr\cdot(\frac1{b^2}+\frac1{c^2})=\frac rR\cdot pa\cdot bc(\frac1{b^2}+\frac1{c^2}).\]

综合两方面, 就得到了 \((1)\).     \(\Box\)

需要指出的是, \((1)\) 可以进一步推广成非常普遍的形式.

\(r\leqslant2R\sin\frac A2 (1-\sin\frac A2)\)

顺便, 我们解决掉如下不等式:

\begin{equation}r\leqslant2R\sin\frac A2(1-\sin\frac A2),\end{equation}

仅当 \(b=c\) 时, 等号成立. (“常用不等式”第四版 \(245\) 页)

先把引理 1 改头换面成一个等价形式:

Lemma 1′   \(\dfrac r{4R}=\sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2\).

这引理的正确, 由下述事实立马保证:

Lemma 3   \(\sin\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{bc}}\).

利用余弦定理和半角公式即可. 事实上, 因为 \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\), 所以

\[\sin\frac A2=\sqrt{\frac{1-\cos A}2}=\sqrt{\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}}=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{bc}}.\]

于是, 要说明 \((3)\), 只要验证 \(2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2\leqslant1-\sin\dfrac A2\).

这真是再容易不过了: 积化和差. 事实上,

\[2\sin\frac B2\sin\frac C2=\cos\frac{B-C}2-\cos\frac{B+C}2\leqslant1-\sin\frac A2.          \Box\]

比外接圆更大的圆

现在考虑 Euler’s inequality 另一种形式的推广.  下面的 \((4)\) 和 \((5)\) 是 Federico Ardila 的工作.

把三角形 \(ABC\) 放进一个更大的圆 \(\omega\): \(A,B,C\) 三点在这圆内或圆周上. 设圆 \(\omega\) 的半径是 \(R^\prime\). 那么

\begin{equation}R^\prime\geqslant2r. \end{equation}

这结果显然可以导出 Euler’s inequality, 而不是相反: \(\triangle ABC\) 是钝角三角形的时候, \(R^\prime\lt R\) 是可能的.

设 \(\omega\) 的中心是 \(O\). 显然, \(3R^\prime\geqslant OA+OB+OC\). 因此, 只要证明 \(OA+OB+OC\geqslant 6r\).

设 \(O\) 关于 \(BC,CA,AB\) 的对称点分别是 \(D,E,F\).

如果 \(O\) 在 \(\triangle ABC\) 内或边上, 那么, 六边形 \(AFBDCE\) 的周长是 \(2(OA+OB+OC)\), 面积是 \(2S\). 根据等周不等式, 周长相等的六边形, 以正六边形的面积最大. 于是 \(\dfrac{\sqrt3\left(OA+OB+OC\right)^2}6\geqslant2S\).

同样的道理, 周长相等的三角形中以正三角形的面积为最大, 因此, \(S\leqslant\dfrac{\sqrt3p^2}9\). 结合 \(S=pr\), 给出 \(p\geqslant3\sqrt3r\). 故 \(S=pr\geqslant3\sqrt3r^2\).

综合两方面, 得到我们的目标 \(OA+OB+OC\geqslant 6r\).

如果 \(O\) 在 \(\triangle ABC\) 外, 且 \(O,A\) 在 \(BC\) 异侧. 这时, 六边形  \(AFBOCE\) 的周长是 \(2(OA+OB+OC)\), 面积 \(\gt2S\). 同上面一样的道理, 可以完成证明. 如果 \(O\) 在射线 \(BA\) 与 \(CA\) 所形成的区域(即 \(A\) 在 \(\triangle OBC\) 内), 那么, 四边形 \(OBDC\) 的周长 \(\lt2(OA+OB+OC)\), 面积 \(\gt2S\). 把这四边形视为退化的六边形, 同上一样可以完成证明.    \(\Box\)

外接椭圆

我们继续往前走. 考虑经过 \(\triangle ABC\) 三顶点的椭圆. 假设这椭圆的两个焦点是 \(F_1,F_2\), 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常数 \(l\). 我们希望建立

\begin{equation}l\geqslant4r.\end{equation}

记 \(\omega_1\) 是以 \(A\) 为心, \(F_1A\) 为半径的圆. 类似地, 也有圆 \(\omega_2,\omega_3\). 延长 \(F_1A\) 交 \(\omega_1\) 于 \(A_1\). 同样定义 \(B_1,C_1\). 把以 \(F_2\) 为心, \(l\) 为半径的圆记为 \(\omega\). 于是, \(\triangle A_1B_1C_1\) 与 \(\triangle ABC\) 是位似图形, 位似中心是点 \(F_1\), 位似比为 \(2\), 所以 \(\triangle A_1B_1C_1\) 的内切圆半径是 \(2r\).

注意

\[F_2A_1\leqslant F_2A+AA_1=F_2A+F_1A=l,\]

故 \(A_1\) 在 \(\omega\) 内或圆周上. 对于 \(B_1,C_1\) 而言, 同样也是如此. (实际上, \(\omega_1,\omega_2\) 和 \(\omega_3\) 都与 \(\omega\) 内切.) 根据 \((4)\), 得 \(l\geqslant4r\).       \(\Box\)

References

  1. Federico Ardila, A generalization of Euler’s \(R\geqslant2r\).
Jul 082013
 

在平面几何中, 至少有两个 Van Aubel 定理. 第一个, 关于三角形的; 另一个, 是关于四边形的.

定理 1  \(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内一点, \(PA,PB,PC\) 分别交对边于 \(D,E,F\), 则

\[\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{EA}{EC}+\dfrac{FA}{FB}.\]

这个有些时候, 也被称为 Van Obel 定理的结论据说比较给力, 可以用来解决很多问题. 至于证明, 使用面积是最简单的.

记 \(S_a=S_{\triangle PBC}, S_b=S_{\triangle PCA}, S_c=S_{\triangle PAB}\), 则

\[\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{S_b+S_c}{S_a}.\]

此外, 注意到

\[\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{S_c}{S_a},\]

\[\dfrac{FA}{EB}=\dfrac{S_b}{S_a},\]

于是, 我们要得到的结果就是显然.                       \(\Box\)

Sep 092012
 

Geometric Transformations IV: Circular Transformations 应该有一个中文译本, 最主要的理由是:

  • 这是一本非常精彩的书, 很经典;
  • 读者主要是中学师生.

确实应该翻译这书, 姑且不论前三册已经有中文本, 只是因为内容太美好. 如果不是面对中学, 有个影印本就可以了.

重新出版的话, 最好是四册一起, 当然最重要是第四册. 前三册的翻译已经很好, 翻译第四册足以.

第四册的附录, 关于非欧几何(Non-Euclidean geometry), 是第三册附录的继续, 所以, 译者必须精通非欧几何.

或许, 我本人可以完成这个工作…