“苟日新，日日新，又日新”

Ahlfors《复分析》最精彩的部分在于提供了一个从拓扑角度看完全清晰而现代的Cauchy积分定理。他毫不掩饰自己的分析学家趣味，自得其乐地(当然同时也让读者受益无穷)讨论着函数的各种表示，函数空间内的收敛性，椭圆函数论以及超几何函数论。这些论题覆盖了经典函数论的绝大部分内容，又出之以现代观点，使得此书在数十年间一直保持着第一参考书的地位。这是3本书中我读得最早也最钟爱的一本，虽然我并不强求它是完美的：在不引入Riemann面的情况下引入层论是相当勉强的，除了让叙述稍显摩登之外没有什么意义。

Cartan的《解析函数论》则处于一种尴尬的境地。他试图把Weierstrass观点摆到图像的中心，但这里有一个天然的(？)的限制：从积分表示构造幂级数表示要比从幂级数表示构造积分表示自然得多。因而他不得不在两种观点间来回跳跃，远不如Ahlfors宏大而一致。当然他的牺牲也获得了某种回报：Weierstrass观点可以毫不费力地推广到多变元(Cauchy的大部分函数论定理也仍然正确；高维的困难之处本质上是几何的)。

Theorem. There does not exist a group whose commutator subgroup is isomorphic to $$S_4$$.

The relevant facts are that $$S_4$$ is a complete group(no outer automorphisms, trivial center) which is not perfect(that is, the commutator subgroup of $$S_4$$ is not $$S_4$$ itself). Any group which has these properties is never a commutator subgroup of anything. Here’s why.

Lemma. If $$K$$ is a complete group and $$K\lhd G$$, then $$G$$ is the direct product $$K\times H$$ of $$K$$ by its centralizer $$H=C_G(K)$$.

In other words, a complete group can be a normal subgroup only in the most trivial fashion: the large group is just a direct product of the normal group by something.

Proof of the lemma. Let $$H=C_G(K)$$ be the centralizer of $$K$$ in $$G$$, namely the set of all elements which commute with all elements of $$K$$. $$H$$ is a normal subgroup of $$G$$, and $$H\cap K=Z(K)=1$$ since $$K$$ has trivial center. Any element $$g\in G$$ induces an automorphisms $$\phi_g$$ of $$K$$ by conjugation: $$\phi_g(k)=g^{-1}kg$$. But $$K$$ has no outer automorphisms, so $$\phi_g$$ must equal some inner automorphism of $$K$$, that is, for some $$k\in K$$, $$\phi_g=\phi_k$$. Now conjugation by $$gk^{-1}$$ does nothing to $$K$$, so $$gk^{-1}=h\in H$$. In other words $$g=kh$$: every element of $$G$$ is expressible as product of an element of $$K$$ and an element of $$H$$. Since $$H$$ and $$K$$ commute, $$G$$ is the direct product of $$H$$ and $$K$$.            $$\Box$$

Proof. Now suppose that $$G$$ is some group such that $$K=G^\prime=[G,G]$$, the commutator subgroup, is such that $$K$$ is complete and non-perfect. By the lamma, $$G=K\times A$$ where $$A\cong G/K$$ is an abelian group. So any element of $$G$$ can be writeen as $$ka$$ with $$k\in K$$ and $$a\in A$$, and moreover, $$ka=ak$$ for any $$k\in K$$, $$a\in A$$.

Consider a commutator $$c=xyx^{-1}y^{-1}$$ in $$G$$. Write $$x=ka$$ and $$y=lb$$. Since $$K$$ and $$A$$ commute, $$c=aba^{-1}b^{-1}xyx^{-1}y^{-1}$$. Since $$A$$ is abelian, the first part vanishes and $$c=xyx^{-1}y^{-1}$$. So any commutator of $$G$$ lies in the commutator sungroup of $$K$$, and it follows that $$G^\prime=K^\prime$$. Since $$K^\prime\ne K$$, $$G^\prime\ne K$$, as well.

It remains to show that $$S_4$$ is complete and non-perfect.

(i) $$S_4$$ has trivial center: this is obvious. No permutation commutes with all other permutations.

(ii) $$S_4$$ has no outer automorphisms. This is true for all $$S_n$$ except $$n=2$$, $$6$$. It’s a standard result.

(iii) $$S_4$$ is not perfect. This is also ovious: for any two permutations $$\sigma$$, $$\tau\in S_n$$, the commutator $$\sigma^{-1}\tau^{-1}\sigma\tau$$ is an even permutation, so the commutator subgroup is contained in the alternating group $$A_n$$. In fact the commutator group eauals $$A_n$$, but we don’t need that here.

This completes the proof the theorem.                                  $$\Box$$

Remark. a simple modification: $$K^\prime\subset G^\prime$$ is clear, and the other direction follows since $$G/K^\prime=K/{K^\prime\times A}$$ is abelian.

Here is a proof not using those well-known facts about $$S_4$$. (though it’s easy to derive them with it)

Proof. $$S_4$$ has exactly $$4$$ Sylow  $$3$$-subgroups

$P_1=\langle(234)\rangle, P_2=\langle(134)\rangle, P_3=\langle(124)\rangle, P_4=\langle(123)\rangle,$

where $$P_i$$ is the only Sylow $$3$$-subgroup of the stabilizer of $$i$$ in $$S_4$$ for $$i=1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$. So $$\sigma P_i\sigma^{-1}=P_{\sigma(i)}$$ for all $$\sigma\in S_4$$ and $$i=1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$.

Assume $$G^\prime=S_4$$ and take $$g\in G$$. The conjugation with $$g$$ permutes $$P_1$$, $$P_2$$, $$P_3$$, $$P_4$$, so we find $$\rho\in G$$ with $$g P_ig^{-1}=P_{\rho(i)}=\rho P_i\rho^{-1}$$ for $$i=1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$. So $$h\colon \rho^{-1}g\in G$$ satisfies $$h P_ih^{-1}=P_i$$ for $$i=1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$.

Then for all $$\sigma\in S_4$$ we have also $$h^{-1}\sigma h\in S_4$$ and

$$\begin{split}P_{h^{-1}\sigma h(i)}&=(h^{-1}\sigma h)P_i(h^{-1}\sigma h)^{-1}\\&=h^{-1}\sigma hP_ih^{-1}\sigma^{-1}h\\&=h^{-1}\sigma P_i\sigma^{-1}h\\&= h^{-1} P_{\sigma(i)}h=P_{\sigma(i)}.\end{split}$$

and therefore $$h^{-1}\sigma h(i)=\sigma(i)$$ for $$i=1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$.

This gives $$h\in C_G(S_4)$$ and $$g=\rho h\in S_4C_G(S_4)$$ for all $$g\in G$$. So $$G=S_4C_G(S_4)$$ and $$|G\colon A_4C_G(S_4)|\leqslant2$$. But then $$A_4C_G(S_4)\trianglelefteq G$$ with abelian factor, so $$S_4=G^\prime\leq A_4C_G(S_4)$$, and by Dedekind we get

$S_4=A_4C_G(S_4)\cap S_4=A_4(C_G(S_4)\cap S_4)=A_4Z(S_4)=A_4$

since $$Z(S_4)=1$$, as $$\sigma\in Z(S_4)$$ would give $$P_i=\sigma P_i\sigma^{-1}=P_{\sigma(i)}$$ and $$i=\sigma(i)$$ for $$i=1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$. Contradiction!

Darboux (14 August 1842-23 February 1917) 是法国数学家.

Darboux’s theorem 是单变量微分学的一个简单的定理, 但大学一年级的分析的教科书上通常却没有这个结果. 这里指的是分析(analysis)中的 Darboux’s theorem, 而不是微分几何(Differential geometry)中关于微分形式(Differential form)的那个Darboux’s theorem.

Darboux’s theorem  函数 $$f(x)$$ 在区间 $$I$$ 上可导, 则导数 $$f^\prime(x)$$ 具有介值性质.

Sam B. Nadler, Jr 在 [1] 给出的一个证明揭示了一些 Darboux’s theorem 没能反映的性质. 为了突出函数的斜率, 我们把关于连续函数的斜率写成单独的引理:

Lemma 1 设 $$I$$  是一个区间, $$f\in C(I)$$. 令 $$C$$ 表示所有连接 $$f$$ 的图像上(不同)点的弦的斜率的集合, 即

$$C=\bigg\{\frac{f(s)-f(r)}{s-r}: s, r\in I\;\;\text{and}\;\; s\ne r\bigg\}.$$

Proof  固定 $$p\in C$$,

$$p=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}, \; a\lt b, \; \;a, b\in I.$$

$$q=\frac{f(c)-f(d)}{c-d}, \; c\lt d, \;\;c, d\in I.$$

$$\varphi(t)=\frac{f((1-t)a+tc)-f((1-t)b+td)}{((1-t)a+tc)-((1-t)b+td)},\;\;\; t\in[0, 1].$$

$$\varphi$$ 给出了将点 $$(a, f(a))$$ 和 $$(b, f(b))$$ 关于 $$x$$ 轴”线性地”, 沿着 $$f$$ 的图像滑动到点 $$(c, f(c))$$ 和 $$(d, f(d))$$ 而得到的弦的斜率; $$\varphi$$ 是连续的. 由价值定理, $$\varphi([0, 1])$$ 是一个区间. 从 $$\varphi(0)=p$$, $$\varphi(1)=q$$, 我们已经证明了 $$p$$ 和 $$C$$ 中的每一点 $$q$$ 可被 $$C$$ 中的一个区间连接. 至此, 可以判定 $$C$$ 是一个区间.

$$D=\big\{f^\prime(x): x\in I\big\}.$$

$$\alpha(t)=\begin{cases}a,&a\leqslant t \leqslant c\\2t-b,&c\leqslant t \leqslant b\end{cases}$$

$$\beta(t)=\begin{cases}2t-a,&a\leqslant t \leqslant c\\b,&c\leqslant t \leqslant b\end{cases}$$

$$\alpha(t)$$ 与 $$\beta(t)$$ 都是区间 $$[a, b]$$ 上的连续函数; 当 $$a\lt t\lt b$$, 有 $$a\leqslant\alpha(t)\lt\beta(t)\leqslant b$$.

$$g(t)=\begin{cases}f^\prime(a),&t=a\\ \dfrac{f(\beta(t))-f(\alpha(t))}{\beta(t)-\alpha(t)},&a\lt t\lt b\\ f^\prime(b),&t=b\end{cases}$$

##### References
1. Sam B. Nadler, Jr. A proof of Darboux’s Theorem, The Amer Math Monthly, Vol 117(2010), No.2, 174-175

•  结合律: 对于 $$G$$ 中任意元素 $$a$$, $$b$$, $$c$$, 有 $$(ab)c=a(bc)$$;
• 存在(左)单位元: $$G$$ 中有一个 $$e$$, 使得对于 $$G$$ 中任意元素 $$a$$, 有 $$ea=a$$;
• 存在(左)逆元: 对 $$G$$ 中任意元素 $$a$$, 存在 $$G$$ 中元素 $$b$$, 使得有 $$ba=e$$,

Colonel Johnson 在 A mixed non-group, The American Mathematical Monthly, Vol. 71, No. 7, pp. 785,  举了一个例子来说明, 非空集合 $$G$$ 上的二元运算满足结合律, 并且每个元素有左单位元和右逆元, 然而 $$G$$ 不一定是一个群.

$M=\left(\begin{array}{cc}x&y\\x&y\end{array}\right),$

$J=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}0&\frac1{x+y}\\0&\frac1{x+y}\end{array}\right)$

### 群的早期历史

Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，专门为它写一篇长文好像有点多余：这方面的教材讲义实在是太多了！一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢？

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$T:\quad v_n\rightarrow v_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow v_1\rightarrow0.$

$J_0=\begin{pmatrix}0&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&0&1\\&&&0\end{pmatrix}.$

$$J_0$$ 叫做特征值为 0 的 Jordan 块。注意 $$T$$ 是一个幂零算子：$$T^n=0$$ ，它仅有唯一的特征值 $$0$$.

$J_\lambda=\begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\lambda&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}$

Jordan 标准形定理：设 $$T$$ 是 $$\mathbb{C}$$ 上有限维向量空间 $$V$$ 上的线性变换，则存在 $$V$$ 的一组基使得 $$T$$ 在这组基下的矩阵为 Jordan 块的直和：

$T=J_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus J_{\lambda_r}.$

$T=J_{\mu_1}\oplus\cdots\oplus J_{\mu_s},$

$f(x)=(x-\lambda_1)^{n_1}\cdots(x-\lambda_k)^{n_k},$

$V=V_1\oplus\cdots\oplus V_m.$

$v=\pi(T)v=\pi_1(T)v+\cdots+\pi_k(T)v.$

$\pi_i(T)v_1+\cdots+\pi_i(T)v_k=\pi_i(T)v_i=v_i=0,$

$v\rightarrow Nv\rightarrow \cdots \rightarrow N^kv\rightarrow 0.$

\begin{equation*}\begin{split}&v_{1,1}\rightarrow v_{1,2}\rightarrow\cdots\rightarrow v_{1,n_1}\rightarrow 0.\\&v_{2,1}\rightarrow v_{2,2}\rightarrow\cdots\rightarrow v_{2,n_2}\rightarrow 0.\\&\cdots\cdots\cdots\\& v_{q,1}\rightarrow v_{q,2}\rightarrow\cdots\rightarrow v_{q,n_q}\rightarrow 0.\end{split}\end{equation*}

\begin{equation*}\begin{split}&w_1\rightarrow v_{1,1}\rightarrow v_{1,2}\rightarrow\cdots\rightarrow v_{1,n_1}\rightarrow 0.\\&w_2\rightarrow v_{2,1}\rightarrow v_{2,2}\rightarrow\cdots\rightarrow v_{2,n_2}\rightarrow 0.\\&\cdots\cdots\cdots\\&w_q\rightarrow v_{q,1}\rightarrow v_{q,2}\rightarrow\cdots\rightarrow v_{q,n_q}\rightarrow 0.\end{split}\end{equation*}

$\{ v_{1,n_1},\cdots,v_{q,n_1}\}\cup \{ w_{q+1},\cdots,w_{K}\}\quad K=\dim\ker N.$

\begin{equation*}\begin{split}\mathbf{w_1\rightarrow} v_{1,1}\rightarrow v_{1,2}\rightarrow\cdots\rightarrow v_{1,n_1}\rightarrow 0.&\\ \mathbf{w_2\rightarrow} v_{2,1}\rightarrow v_{2,2}\rightarrow\cdots\rightarrow v_{2,n_2}\rightarrow 0.&\\ \cdots\cdots\cdots&\\ \mathbf{w_q\rightarrow} v_{q,1}\rightarrow v_{q,2}\rightarrow\cdots\rightarrow v_{q,n_q}\rightarrow 0.&\\ \mathbf{w_{q+1}\rightarrow} 0.&\\ \cdots\cdots&\\ \mathbf{w_K\rightarrow0}.\end{split}\end{equation*}

$\cdots+(c_0w_i+c_1v_{i,1}+\cdots+c_{n_i}v_{i,n_i})+\cdots+\sum_{j=q+1}^K d_jw_j=0,$

$\cdots+(c_0v_{i,1}+c_1v_{i,2}+\cdots+c_{n_i-1}v_{i,n_i})+\cdots=0.$

$\cdots+c_{n_i}v_{i,n_i}+\cdots+\sum_{j=q+1}^K d_jw_j=0.$

$J_0=\begin{pmatrix}0&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&0&1\\&&&0\end{pmatrix}_{n\times n}$

$\begin{pmatrix}0&\cdots&1\\&\ddots&\vdots\\&&0\end{pmatrix},$

$n_m=\text{rank}(T-\lambda I)^{m-1}-2\cdot\text{rank}(T-\lambda I)^{m}+\text{rank}(T-\lambda I)^{m+1}.$

$T= \left(\bigoplus_{k\geq1}n_k J_{0,k}\right) \bigoplus_{\mu\ne0}J_\mu,$

$T^{m}= \left(\bigoplus_{k\geq1}n_k J_{0,k}^{m}\right) \bigoplus_{\mu\ne0}J_{\mu}^{m}.$

$\text{rank}T^m=n_{m+1}\cdot1+n_{m+2}\cdot2+\cdots +\text{rank}\bigoplus_{\mu\ne0}J_\mu^m.$

$\text{rank}T^{m+1}=n_{m+2}\cdot1+n_{m+3}\cdot2+\cdots +\text{rank}\bigoplus_{\mu\ne0}J_\mu^{m+1}.$

$\text{rank}T^m-\text{rank}T^{m+1}=n_{m+1}+n_{m+2}+\cdots,$

$\text{rank}T^{m-1}-\text{rank}T^{m}=n_{m}+n_{m+1}+\cdots,$

$n_m=\text{rank}T^{m-1}-2\cdot\text{rank}T^{m}+\text{rank}T^{m+1}.$

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$J_\lambda=\begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\lambda&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}_{n\times n}$

$J_\lambda^k = \begin{pmatrix}\lambda^k &k\lambda^{k-1}&\ddots &\\&\lambda^k&\ddots&\ddots\\&&\ddots&k\lambda^{k-1}\\&&&\lambda^k\end{pmatrix}.$

（你知道怎样计算 $$J_\lambda^k$$ 吗？记住这个技巧：把多项式 $$x^k$$ 在 $$\lambda$$ 处 Taloy 展开：

$x^k=(x-\lambda)^k+a_{k-1}(x-\lambda)^{k-1}+a_1(x-\lambda)+a_0,$

$\begin{pmatrix}\lambda^k&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\lambda^k&1\\&&&\lambda^k\end{pmatrix}_{n\times n}.$

$J_0:\quad v_n\rightarrow v_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow v_1\rightarrow 0.$

$J_0^k:\quad \left\{ \begin{array}{l} v_n\rightarrow v_{n-k}\rightarrow \cdots \rightarrow0,\\v_{n-1}\rightarrow v_{n-1-k}\rightarrow \cdots\rightarrow 0,\\\cdots\\v_{n-k+1}\rightarrow v_{n-2k+1}\rightarrow \cdots \rightarrow 0.\end{array}\right.$

$f=f_1f_2\cdots f_r,\quad \deg f_1=\cdots=\deg f_r.$

## 平面几何的准备

### 两圆正交

• 记 $$A$$ 是 $$\odot O_1$$ 与 $$\odot O_2$$ 的一个交点, 过 $$A$$ 分别作两圆的切线, 如果两切线垂直, 即 $$AO_1\perp AO_2$$, 则称这两圆为正交圆, 或称这两个圆正交.
• 一条直线如果经过一个圆的圆心, 称这直线与圆正交.

## 中文

1. 李忠, 周建莹, 双曲几何, 湖南教育出版社, 1991, 12
2. 项武义, 基础几何学, 人民教育出版社, 2004, 9
3. 项武义, 王申怀, 潘养廉, 古典几何学, 高等教育出版社, 2014, 5
4. 球面上的几何, 人民教育出版社, A 版, B 版
5. 李忠, 并不神秘的非欧几何, 高等教育出版社, 2010, 6
6. 王宗儒, 三角形的内角和等于 $$180^\circ$$ 吗?, 湖南人民出版社, 1981, 7

## 英文

1. Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on Hyperbolic Geometry, 2003, 7
2. Birger Iversen, Hyperbolic Geometry, Cambridge University Press, 1992, 12
3. J. W. Bruce, Linda Keen, Nikola Lakic, Hyperbolic Geometry from a Local Viewpoint. Cambridge University Press, 2007, 03