Sep 162013
 

Abstract algebra(抽象代数)是本科生的基础课. 这里列出一些不错的参考书, 也写出评价. 这里, 暂时不涉及更深入的书.

非常值得一读的一本历史著作是 Israel Kleiner,  A History of Abstract Algebra, 2007, Birkhauser

首先是中文书籍.

1. 熊全淹, 近世代数

这是朕读过的第一本这科目的书, 是武汉大学出版社, 1991年第三版. 这是这里谈到这本书的第一个原因. 这本书现在还可以买到, 武大出版社 2004 年重印, 369 页, 与朕手中的那本是一样的.

熊老师是那种真心热爱数学, 用生命来做教学的人. 熊全淹是傅种孙教授的弟子. 熊全淹把数学当终身职业, 与傅先生之关怀与诱导有莫大关系. 熊全淹在武汉大学读书的时候, 从肖君绛教授那里学习了代数. 肖君绛教授是在中国介绍 Van der Waerden 的经典著作 Moderne Algebra的第一人.

这本书不是中国大陆出版的第一本关于近世代数的书, 但应该是属于较早出现的书之一. 该书第一版是 1963 年由上海科技出版社推出的. 据张寿武的经历, 他 1981 年在中山大学读二年级, 给数学系的老师讲抽象代数. 可见, 当时还没有几个数学系开设这个课程.

此外, 该书的体系, 大致类似 Van der Waerden 的书. 熊全淹在前言交待的很清楚了.

这书在每章的最后, 列出长长的参考文献. 这对于喜爱钻研的读者, 是非常重要的.

本书的内容, 大体就是本科生应该掌握的. 遗憾的是, 有些非常重要的概念, 在本书完全没有踪迹. 比如说, 群在集合的作用. 重要的 Sylow 定理, 没有写出证明, 也没有介绍完整.

可能没有哪本书是完美的, 这书当然不能例外. 本书语言有点晦涩, 描述性的话语相当多. 这对于数学书, 不是好的现象.

2. 聂灵沼, 丁石孙, 代数学引论

这是一本影响较大的书, 被很多学校拿来做教科书. 北大数学系多年来抽象代数的教学都遵循了这书. 虽然, 近几年北大的老师又写出了另外的两本书, 并且使用了新书, 但聂和丁的书, 依然是最重要的参考资料之一.

有一种说法是, 本书的内容, 大体相当于 N. Jacobson 的三卷 Lectures in abstract algebra.

一般来说, 本科生只在课堂学到这里面内容的前四章, 加上第七, 八章的部分. 本书的一个特点是, 习题很多. 不少题目都是论文的结论, 因此很有难度. 如果你想搞定所有的习题, 要花一番功夫才行.

3. 丘维声, 抽象代数基础, 高等教育出版社

丘维声的书, 不论是他最擅长的线性代数, 还是解析几何教材, 或者表示论, 都是很一般的, 切不中要害, 观点一般. 不过, 拿来参考一下, 还是可以的. 这本抽象代数基础, 还行. 需要指出的是, 这书的自由群那一节的定理的证明是有错误的.

据说, 丘维声当年考大学的时候, 全国统一阅卷, 他是状元. 他在北大被多次评为十佳教师. 他在黑板的板书, 工工整整. 可是, 他教了十几次线性代数, 写了好几本线性代数的书, 处理行列式的定义, 依然乱七八糟.

4. 赵春来, 徐明曜, 抽象代数, I, II. 北京大学出版社

如果要在中文书里选出一本来入门抽象代数, 那么, 本书就是朕想推荐的.

本书分为 I,II 两册, II 是研究生教材, 而 I 适合本科生. II 的出版时间, 比 I 早一年半. 两本书的作者都是徐明曜和赵春来, 只是署名顺序不同.

5.  冯克勤, 李尚志, 章璞, 近世代数引论, 第三版, 中国科技大学出版社

中规中矩的一本教材. 不论是内容, 还是处理, 都没有特点. 作者还有一本配套的习题解答: 近世代数三百题, 高等教育出版社.

6. 姚慕生, 抽象代数学, 复旦大学出版社, 第二版

这本书反响不错.

7. 孟道骥 , 陈良云, 白瑞蒲, 抽象代数1:代数学基础, 科学出版社

8. 吴品三, 近世代数, 人民教育出版社

再来, 是 English book.

9. David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd Edition

本书被广泛使用, 受到很高的评价. 这可能是最详尽的入门教科书了.

本书习题不算多, 难度适当. 读者完全可以自己独立作答. 实在遇到困难, 网上很容易找到全部的答案.

10. Joseph Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 8th

这本书也很详细, 作者还写了一本习题解答.

本书最新是第八版. 不过, 其实即便第五版, 与第八版相比, 只在习题设置有些许差别.

11. Michael Artin, Algebra, second edition

 Posted by at 2:12 pm
Sep 012013
 

先看一个随便打开一本初步的群论书籍都很可能见到的习题, 例如 Serge Lang 的 “Algebra(Revised third edition)” 的 \(75\) 页:

Let \(H,K\) be finite subgroups of a group \(G\). Show that
\[|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}.\]

常见的至少两种做法, 这里就不重复了. 现在我们尝试使用 group action 这个武器来进攻.

考察映射

\[\pi\colon (H\times K)\times HK\to HK\]

\[((h,k),x)\mapsto hxk^{-1}.\]

容易验证, 这确是群 \(H\times K\) 在集合 \(HK\) 上的一个作用.

注意, \(e\in HK\), 以及 \(\pi((h,k^{-1}),e)=hk\), 因之 \(Orb(e)=HK\). 此外, \(\pi((h,k),e)=e\) 意味着 \(hk^{-1}=e\). 于是, \(Stab(e)=\{(h,h)\mid h\in H \cap K \}\), 进而 \(|Stab(e)|=|H\cap K|\).

然后, 由 the Orbit-Stabilizer theorem 就得到了想要的结果.     \(\Box\)

换个做法也可以.

考虑群 \(H\) 在齐性空间 \((G/K)_l\)(群 \(G\) 中, 子群 \(K\) 的所有左陪集组成的集合) 上的左平移

\[H\times (G/K)_l\to (G/K)_l\]

\[(h,xK)\mapsto hxK.\]

注意 \(Orb(K)=\{hK\mid h\in H\}\). 当然 \(\cup \{hK\mid h\in H\}=HK\). 此外, \(|hK|=|K|\), 结合 \(hK\ne h^\prime K\) 时, \(hK \cap h^\prime K=\emptyset\), 给出

\[|Orb(K)|=\frac{|HK|}{|K|}.\]

此外, \(Stab(K)=\{h\in H\mid hK=K\}\). 明显的是, \(hK=K\) 当且仅当 \(h\in K\), 于是 \(Stab(K)=H\cap K\).

综合起来, the Orbit-Stabilizer theorem 给出

\[\frac{|HK|}{|K|}=\frac{|H|}{|H\cap K|},\]

这就是我们梦寐以求.    \(\Box\)

 Posted by at 12:10 am
Aug 292013
 

Group action(the action of a group on a set, 群在集合上的作用) 是任何一本像样的群论入门书都会讲到的概念. 这概念是如此的重要, 在几何, 拓扑, 分析, 数论中用处广泛, 更不论代数了.

需要说明的是, 不仅仅有群在集合上的作用, 也有群在群上的作用. 这里, 我们只关注前者. 1998 Fields Medalist Timothy Gowers 曾以此为主题, 写过一个系列. 我这里东施效颦.

Let \(G\) be a group and let \(X\) be a set. Let \(S(X)\) be the group of all permutations of \(X\). An action or an operation of \(G\) on \(X\) is a homomorphism

\[\pi\colon G\to S(X)\]

of \(G\) into \(S(X)\).

 Posted by at 11:15 am