Jan 232014
 

The derivative \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) is not a ratio.

Leibniz 引进了符号 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\), 人们认为它是商: \(x\) 的改变导致的 \(y\) 的无穷小改变与 \(x\) 的无穷小改变的商.

但实际上, \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 仅仅是一个符号, 用来表示导数, 其定义是一个极限. 我们不能把 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 解释为”比”.

诚然, Leibniz 的符号非常有启发性, 也很有用. 比如, 反函数定理是这么说的:

\[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} = \frac1{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}.\]

这非常自然, 如若把导数理解为分数. 再如, 复合函数求导的链式法则(the Chain Rule):

\[\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}.\]

这”显而易见”, 如果观众认为导数是分数. 这些事实显示: 导数, 其行为在许多方面来说, 又仿佛是商. 就是因为这符号如此美好, 所以才能在被保留, 并得到了广泛的使用. 但是, 我们必须记住: 导数实际不是商, 仅仅是一个极限. 隐函数定理告诉大家,

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}.\]

嗯, 这很有说服力! 我们书写 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\), 似乎是分数, 其行为也很像分数, 但确确实实不是分数.

首先, 实数有一个重要的性质, 所谓的 Archimedean Property: 对任意实数 \(\epsilon\gt0\), \(M\gt0\), 总存在正整数 \(n\), 使得 \(n\epsilon\gt M\). 但是, 对于”无穷小”, 不存在这样的特点.

其次, 对于曲线的切线,

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Jan 212014
 

2014 年第 2 期的 “The American Mathematical Monthly” 文章较多, 一共有 17 篇, 其中至少 5 篇是对旧定理–诸如 Stirling’s Formula, 余弦定理, Clairaut’s Theorem(Symmetry of second derivatives 二阶导数的对称性)这样的经典结论–的新证明.

Symmetry of second derivatives If \(f_{xy}\) and \(f_{yx}\) are continuous at any given point, then they are equal at the point.

显而易见, 每一本多元微积分的入门教科书都会论述二阶导数的对称性.

Lemma  Let \(f_{xy}\) and \(f_{yx}\) be continuous on rectangle \(R=[a,b]\times[c,d]\). Then

\[\iint_Rf_{xy}\,\mathrm dA=\iint_Rf_{yx}\,\mathrm dA=f(b,d)-f(b,c)-f(a,d)+f(a,c).\]

这是显然的, 因为

\[\iint_Rf_{xy}\,\mathrm dA=\int_a^b\left(\int_c^d f_{xy}(x,y)\,\mathrm dy\right)\,\mathrm dx.\]

由微积分基本定理, 就得到了引理.             \(\Box\)

回到我们的最终目标. Proof by contraduction.

Suppose they are not identically equal. Then at some point \((a, b)\), they differ; say

\[f_{xy}(a, b)-f_{yx}(a, b)=l\gt0.\]

Note that, since \(f_{xy}\) and \(f_{yx}\) are continuous, there is some small \(\triangle x\times\triangle y\) rectangle, centered at \((a, b)\), on which

\[f_{xy}(x, y)-f_{yx}(x, y)\geqslant\frac l2,\]

Hence,

\[\iint_R\left(f_{xy}-f_{yx}\right)\,\mathrm dA\geqslant\iint_R \frac l2\,\mathrm dA=\frac l2\triangle x\triangle y\gt0.\]

this contradicts the lemma.                 \(\Box\)

这个证明真是简洁非常! 开始提到的美国数学月刊的新解法, 没这么漂亮.

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Dec 162013
 

若正项级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛, 证明: 级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\) 也收敛.

这是[1]下册 16 页例题 13.2.6. 这书很赞的, 非常给力!

我们先来简单的复述下这书给出的证明的要点:

说穿了, 这个证明的目的, 就是建立

\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}}\leqslant4\sum_{n=1}^\infty a_n.\end{equation}

为此, 我们可以认为正数数列 \(\{a_n\}\) 单调递减. 这是因为 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\), 因之可把数列 \(\{a_n\}\) 按照从大到小重排. 此时 \(\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}\) 不能增加, 进而 \((1)\) 左边的 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n{\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}}\) 不会减少.

其次, 注意到下面这个简单的事实

\[\sum_{k=1}^{2n}\frac1{a_k}\gt \sum_{k=1}^{2n-1}\frac1{a_k}\geqslant\sum_{k=n}^{2n-1}\frac1{a_k}\geqslant\frac n{a_n}\]

可导出

\[\frac{2n-1}{\sum\limits_{k=1}^{2n-1} \frac1{a_k}}+\frac{2n}{\sum\limits_{k=1}^{2n} \frac1{a_k}}\leqslant\frac{2n-1}{\frac n{a_n}}+\frac{2n}{\frac n{a_n}}\lt4a_n,\]

于是, \((1)\) 也就是顺理成章的事情了.

有趣的事情, 总是发生在下回分解: [1] 给出了这个证明, 接下来的一个注释引出了我们的故事. 这个注是这样的:

我们不知道不等式 \((1)\) 右边的系数 \(4\) 是否可以减少, 若可以的话, 其最优值又是多少(参见下一个例题).

这是这套书上下两册最没有经过大脑的一段话, 显然没有经过思考: 下一个例题是 Carleman’s inequality. 这著名的不等式很清楚的表明: 把不等式 \((1)\) 右边的系数 \(4\) 改为 \(\mathrm e\) 也是可以的. 问题是, 使得

\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\leqslant k\sum_{n=1}^\infty a_n\end{equation}

成立的最小的实数 \(k\) 应该是 \(\mathrm e\) 吗?

Hardy’s inequality 在 \(p\leqslant1\) 时, 一般是不成立的. 但是, 若 \(p=-1\), 则

\[\left(\frac p{p-1}\right)^p=2.\]

这使得我们可以猜测: 使得 \((2)\) 成立的最小的实数 \(k\) 可能是 \(2\). 此外, 对于正可测函数 \(f(x)\), 有

\begin{equation}\int_0^\infty \frac x{\int_0^x\frac1{f(t)}\,dt}\,dx\leqslant 2\int_0^\infty f(x)\,dx.\end{equation}

因之可以确信: 我们寻找的最小实数就是 \(2\)! 换句话说, 成立

\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\leqslant2\sum_{n=1}^\infty a_n,\end{equation}

并且右边的系数 \(2\) 不可改进.

References

  1. 谢惠民, 恽自求, 易法槐, 钱定边, 数学分析习题课讲义, 高等教育出版社, 2004
  2. 匡继昌, 常用不等式(第四版), 山东科学技术出版社, 2010
 Posted by at 7:56 am