Jan 122013
 

2013 年中国数学奥林匹克

 第一天

2013 年 1 月 12 日    8:00-12:30    辽宁  沈阳

 一.  如图, 两个半径不相等的圆 \(K_1\) 与 \(K_2\) 交于 \(A, B\) 两点, \(C, D\) 两点分别在\(K_1, K_2\) 上, 且线段 \(CD\) 以 \(A\) 为中点; 延长 \(DB\) 交 \(K_1\) 于点 \(E\), 延长 \(CB\) 交 \(K_2\) 于点 \(F\). 设线段 \(CD, EF\) 的中垂线分别为 \(l_1, l_2\). 证明:
(1)   \(l_1\) 与 \( l_2\) 相交;
(2)   若 \(l_1\) 与 \( l_2\) 的交点为 \(P\), 则三条线段 \(CA,AP,PE\) 能构成一个直角三角形.

CMO 2013 problem 1

CMO 2013 problem 1

二. 确定所有由整数构成的非空集合 \(S\), 满足: 若 \(m,n\in S\)(\(m,n\) 可以相同), 则 \(3m-2n\in S\).

三. 求一切正实数 \(t\), 具有下述性质: 存在一个由实数组成的无限集合 \(X\), 使得对任意 \(x,y,z\in X\)(这里 \(x,y,z\) 可以相同), 以及任意实数 \(a\) 与正实数 \(d\), 均有

\[\max\{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>td.\]

 第二天

2013 年 1 月 13 日    8:00-12:30    辽宁  沈阳

四. 给定整数 \(n\geqslant2\). 设 \(n\) 个非空有限集 \(A_1,A_2,\dotsc,A_n\) 满足: 对任意 \(i,j\in\{1,2,\dotsc,n\}\), 有 \(|A_i\bigtriangleup A_j|=|i-j|\). 求 \(|A_1|+|A_2|+\dotsb+|A_n|\) 的最小值.
(这里, \(|X|\) 表示有限集合 \(X\) 的元素个数; 对于集合 \(X,Y\), 规定 \(X\bigtriangleup Y=\{a|a\in X,a\not\in Y\}\cup\{a|a\in Y,a\not\in X\}\).)

五. 对正整数 \(n\) 及整数 \(i(0\leqslant i \leqslant n)\), 设 \(C_n^i\equiv c(n,i)\pmod 2\), 其中 \(c(n,i)\in\{0,1\}\), 并记

\[f(n,q)=\sum_{i=0}^nc(n,i)q^i.\]

设 \(m,n,q\) 为正整数且 \(q+1\) 不是 \(2\) 的方幂. 证明: 若 \(f(m,q)|f(n,q)\), 则对任意正整数 \(r\), 有 \(f(m,r)|f(n,r)\).

六. 给定正整数 \(m,n\), 求具有下述性质的最小整数 \(N(\geqslant m)\): 若一个 \(N\) 元整数集含有模 \(m\) 的完全剩余系, 则它有一个非空子集, 其元素和被 \(n\) 整除.

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