Oct 032012
 

Number theory will be understood, not as a collection of tricks and isolated results, but as a coherent and interconnected theory.

算术基本定理最早的准确表述与证明, 应该是出自 Gauss 的名著算术研究. 但是, 在这之前很久, 人们似乎就已经知道这个定理的具体内容, 并且已经广泛使用.

很明显, 这个结果是重要的! \(\sqrt2\) 是无理数的经典证法也依仗它! 当然, 定理也是漂亮的!

Green(与 Tao 合作 Green–Tao theorem 的那位)的(博士)导师 Gowers, 写了两篇关于此定理的文章: Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?  和 Proving the fundamental theorem of arithmetic.

定理不是显然的. 流行的证明, 大家都知道, 是利用 Bézout 恒等式还有归纳法. 罕见的一个证明来自英国大数学家 Hardy 的数论导引, 如今名为哈代数论, 的第二章的最后: 利用最小数原理.

陈省身说, 好的数学就是可以引导出很多后来发展的数学! 所以, 题外话是: 竞赛数学不是好的数学!

对于算术基本定理来说, 很遗憾, 在一般的数域中, 在更广泛的范围, 并不成立. 20世纪最伟大的数学家 Hilbert 曾经举个一个例子: 唯一分解在

\[H=\{1,5,9,13,17,\dotsc\}\]

中不成立. 众所周知的一个事情是: 如果唯一分解总是成立的的话, 著名的 Fermat 大定理就太 easy 了.

算术基本定理诱导了如唯一分解整环, Euclid 整环等等概念. Gauss 为了描述唯一分解成立的程度, 引进了类数的概念. 大致上, 类数越大, 一个数被分解成质数的分法个数就越多. 虚二次域 \(Q( \sqrt D)\) 的 Gauss 猜想已经解决, 但实二次域的情形, 现在还是木有证明的事情.

关于理想 ideal, 倒是有一个相应的唯一分解定理: \(O_k\) 的任意非零真理想可以唯一写成质理想的积, 不考虑顺序的话.

 Posted by at 11:44 am

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