Sep 202017
 

T. Motzkin 1967 年举了一个例子: The Motzkin polynomial \(M(x, y, z)=x^4y^2+x^2y^4+z^6-3x^2y^2z^2\) 不能写成多项式的平方和. 后面的定理 5.2 说明这事与定理 2.1 的第二部分是等价的.

Theorem 2.1  Motzkin 多项式

\begin{equation} M(x, y) =x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2+1,\end{equation}

那么

  • \(M(x, y)\geqslant0\) 对任意实数 \(x\), \(y\) 成立;
  • \(M(x, y)\) 不能写成多项式的平方和;
  • \(M(x, y)\) 可以表示为有理函数的平方和.

\(M(x, y)\geqslant0\) 是显然的, 因为我们有算术几何平均不等式.

定理的第二部分, 如果 \(M(x, y)\) 是一些次数(至多)为 \(3\) 的多项式的平方和:

\begin{equation} M(x, y) =\sum_{l=1}^k\Big(a_l+b_lx+c_ly+d_lx^2+e_lxy+f_ly^2+g_lx^3+h_lx^2y+i_lxy^2+j_ly^3\Big)^2,\end{equation}

这里 \(a_l\), \(b_l\), \(c_l\), \(d_l\), \(e_l\), \(f_l\), \(g_l\), \(h_l\), \(i_l\), 和 \(j_l\) 都是实常数, \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

\((1)\) 没有 \(x^6\), \(y^6\) 项, 因此\((2)\) 的右边的 \(x^6\), \(y^6\) 项的系数都为 \(0\). 于是

\[\sum_{l=1}^kg_l^2=\sum_{l=1}^kj_l^2=0,\]

故 \(g_l=j_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

\((1)\) 没有 \(x^4\) 项导出

\begin{equation}\sum_{l=1}^k\Big(d_l^2+2b_lg_l\Big)=0.\end{equation}

由于 \(g_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\), 于是

\[\sum_{l=1}^kd_l^2=0.\]

至此, \(d_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

同理, \(f_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

\((1)\) 没有 \(x^2\) 项, 因此\((2)\) 的右边的 \(x^2\) 项的系数为 \(0\). 于是

\[\sum_{l=1}^k \Big(b_l^2+2a_ld_l\Big)=0,\]

故 \(b_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

同样的, \((1)\) 没有 \(y^2\) 项, 因此  \(c_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

注意 \((1)\) 中的 \(x^2y^2\) 项的系数是 \(-3\), 故

\[\sum_{l=1}^k\Big(e_l^2+2b_li_l+2c_lh_l+2d_lf_l\Big)=-3.\]

既然  \(b_l=c_l=d_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\),

\begin{equation}\sum_{l=1}^ke_l^2=-3.\end{equation}

这是不可能的! 故而 \(M(x, y)\) 不能写成多项式的平方和.

当然, 也可以采用类似的手段来直接证明 \(x^4y^2+x^2y^4+z^6-3x^2y^2z^2\) 不能写成多项式的平方和.

我们先指出

定理 2.2 设 \(G\), \(g_1\), \(g_2\), \(\dotsc\), \(g_m\in\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 且 \(G\) 是 \(t\) 次齐次多项式. 如果

\begin{equation}G=\sum_{i=1}^mg_i^2,\end{equation}

那么, \(t\) 是偶数, 且 \(g_1\), \(g_2\), \(\dotsc\), \(g_m\) 都是 \(\dfrac t2\) 次齐次多项式.

定理 2.2 其实是引理 5.3 的最后一部分.  我们用来推导 \(M(x, y, z)\) 不能写成多项式的平方和.

\begin{equation}M(x,y,z)=\sum\Big(A_lx^3+B_lx^2y+C_lx^2z+D_lxy^2+E_lxyz+F_lxz^2+G_ly^3+H_ly^2z+I_lyz^2+J_lz^3\Big)^2,\end{equation}

令 \(x=1\), \(y=z=0\), 得 \(A_l=0\). 再比较两端 \(x^4z^2\) 的系数, 得

\[\sum\Big(C_l^2+2A_lF_l\Big)=0.\]

于是, \(C_l=0\).

比较两端 \(x^2z^4\) 的系数, 得

\[\sum\Big(F_l^2+2C_lJ_l\Big)=0.\]

于是, \(F_l=0\).

同样的推导, \(G_l=H_l=I_l=0\).

此时, \((6)\) 已经是如下

\begin{equation}M(x,y,z)=\sum\Big(B_lx^2y+D_lxy^2+E_lxyz+J_lz^3\Big)^2.\end{equation}

比较两端 \(x^2y^2z^2\) 的系数即能得出矛盾!

至于, 定理 2.1 的最后部分

\begin{equation}\Big(x^2+1\Big) M(x, y)=x^2\Big(y^2-1\Big)^2+x^2y^2\Big(x^2-1\Big)^2+\Big(x^2y^2-1\Big)^2\end{equation}

或者, 稍微复杂

\begin{equation}\Big(x^2+y^2+1\Big) M(x, y)=x^2\Big(y^2-1\Big)^2+y^2\Big(x^2-1\Big)^2+\Big(x^2y^2-1\Big)^2+\frac14x^2y^2\Big(x^2-y^2\Big)^2+\frac34x^2y^2\Big(x^2+y^2-2\Big)^2\end{equation}

甚至, 直接

\begin{equation}M(x, y)=\frac{x^2y^2(x^2 + y^2 -2)^2(x^2 + y^2 +1) +(x^2 – y^2)^2}{(x^2 + y^2)^2}\end{equation}

说明 \(M(x, y)\) 可以写成有理函数的平方和.

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