Sep 242017
 

1971 IMO P1   Prove that the following assertion is true for \(n = 3\) and \(n = 5\), and that it is false for every other natural number \(n\gt2\):

If \(x_1\), \(x_2\), \(\dotsc\), \(x_n\) are arbitrary real numbers, then

\begin{equation}A_n(x)= \sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}\Big(x_i-x_j\Big)\geqslant 0.\end{equation}

Anneli Lax  and Peter Lax 1978 年在 [1] 指出: \(A_5(x)\) 不能表成二次型的平方和.

说明 \(A_5(x)\geqslant0\) 是不难的. 几个网站和无数的竞赛辅导书给的答案都是一致的:

无妨 \(x_1\geqslant x_2\geqslant x_3\geqslant x_4\geqslant x_5\). \((1)\) 的前两项的和

\begin{equation}\begin{split}&\hspace3.25ex(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)+(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)\\&=(x_1-x_2)\Big((x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)-(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)\Big)\\&\geqslant0,\end{split}\end{equation}

最后的不等式是因为 \(x_1-x_j\geqslant x_2-x_j\geqslant0\), \(j=3\), \(4\), \(5\).

同理, \((1)\) 的最后两项的和亦然 \(\geqslant0\).

至于 \((1)\) 的中间那项

\begin{equation}(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)(x_3-x_5)\geqslant0,\end{equation}

因了 \((x_3-x_1)(x_3-x_2)\geqslant0\), \((x_3-x_4)(x_3-x_5)\geqslant0\).

证明 \(A_5(x)\geqslant0\) 的途径不止这一种: 左边展开再证明局部的不等式应该也是可以的, 不过需要耐心; 使用导数是解决此类问题的普遍办法.

定理 4.1

  • 设 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\), \(x_5\) 是实数, 有 \(A_5(x)\geqslant0\) 为真 ;
  • \(A_5(x)\) 不能写成多项式的平方和.

依据定理 2.2, 假定 \(A_5\) 能写成

\begin{equation}A_5=\sum Q_j^2,\end{equation}

此处的 \(Q_j\) 都是二次型. 显而易见, 当 \(A_5=0\) 时, \( Q_j=0\) 皆真.

\begin{equation}x_1=x_2,\;\; x_3=x_4=x_5,\end{equation}

或者对 \((5)\) 的指标进行置换得到的条件为真的时刻, 就符合每个 \(x_j\) 与其余的一个 \(x_k\) 相等.

Lemma 4.2  二次型 \(Q\), 只要条件 \((5)\) 或者 \((5)\) 的指标进行置换得到的条件任何一个为真, 总能导致 \(Q=0\), 那么二次型 \(Q\equiv0\).

若 Lemma 成立, 结合在\(A_5=0\) 蕴涵 \( Q_j=0\) 皆真, 我们知道 \((4)\) 中的 \(Q_j\equiv0\). 故而, \((4)\) 不能成立, 从而也就证明了定理 4.1.

Proof of the Lemma  记

\begin{equation}Q(x)=\sum c_{jk}x_jx_k,\;\; c_{jk}=c_{kj}.\end{equation}

根据假定, 当 \(x_1=x_2=y\), \(x_3=x_4=x_5=z\) 时,

\begin{equation}\begin{split}Q&=(c_{11}+2c_{12}+c_{22})y^2\\&+2(c_{13}+c_{14}+c_{15}+c_{23}+c_{24}+c_{25})yz\\&+(c_{33}+c_{44}+c_{55}+2c_{34}+2c_{35}+c_{45})z^2=0.\end{split}\end{equation}

既然无论 \(y\), \(z\) 为谁, 此皆为真, 于是

\begin{equation}c_{11}+2c_{12}+c_{22}=0;\end{equation}

\begin{equation}c_{13}+c_{14}+c_{15}+c_{23}+c_{24}+c_{25}=0;\end{equation}

\begin{equation}c_{33}+c_{44}+c_{55}+2c_{34}+2c_{35}+c_{45}=0.\end{equation}

这几个式子的指标置换得到的关系式也是成立的, 从 \((8)\) 式, 使用置换 \((12345)\to(34125)\), 则

\begin{equation}c_{33}+2c_{34}+c_{44}=0.\end{equation}

从 \((10)\) 式减去 \((11)\) 式,

\begin{equation}c_{55}+2c_{35}+2c_{45}=0.\end{equation}

考虑所有保持 \(5\) 不动的置换, 从 \((12)\) 式得到的关系式也是对的, 从而

\begin{equation}c_{j5}+c_{k5}=-\frac12 c_{55}\end{equation}

当 \(j\ne k\) 且 \(j\), \(k\ne5\). 进而

\begin{equation}c_{15}=c_{25}=c_{35}=c_{45}.\end{equation}

交换 \(1\) 和 \(5\), 以及 \(2\) 和 \(5\), 从 \((14)\) 式可得

\begin{equation}c_{51}=c_{21}=c_{31}=c_{41}.\end{equation}

\begin{equation}c_{12}=c_{52}=c_{32}=c_{42}.\end{equation}

根据 \( c_{jk}\) 的对称性, 从而

\begin{equation}c_{1j}=c_{2j}=c_{12}\qquad    j=3, 4,5.\end{equation}

带入 \((9)\) 式, 导致 \(6c_{12}=0\), 亦即 \(c_{12}=0\).  既然 \(1\), \(2\) 这一对数能换成别的任意的数, 于是

\begin{equation}c_{jk}=0 \qquad    j\ne k.\end{equation}

带入 \((12)\) 式, 定出 \(c_{55}=0\).  既然 \(5\) 能换成别的任意的数, 于是

\begin{equation}c_{jj}=0.\end{equation}

这便完成了引理的证明.

References

  1. Anneli Lax, Peter Lax, On sums of squares, Linear Algebra and its applications, 20, 71-75 (1978)

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