Oct 122017
 

齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性.

在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱.

实数域上的的 \(n\) 元多项式环, 以 \(\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 表之.

Hilbert 限制在齐次多项式.

定义 5.1 设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 把 \(n+1\) 元 \(d\) 次齐次多项式

\begin{equation}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n)=x_0^dp\Big(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dotsc, \frac{x_n}{x_0}\Big)\end{equation}

称为是 \(p\) 的齐次化(Homogenization). 具体来说, 当  \(p=\sum cx_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n}\), 那么

\begin{equation}\begin{split}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n )&=x_0^d\sum c\Big(\frac{x_1}{x_0}\Big)^{d_1}\Big(\frac{x_2}{x_0}\Big)^{d_2} \dotsm \Big(\frac{x_n}{x_0}\Big)^{d_n}\\&=\sum cx_0^{d-d_1-d_2-\dotsb-d_n}x_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n} \\&=\sum cx_0^{d_0}x_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n},\end{split}\end{equation}

这里 \(d_0=d-d_1-d_2-\dotsb-d_n\).

定理 5.2  设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 如果 \(d\) 为偶数, 那么

  • \(p\) 非负当且仅当 \(\overline{p}\)  非负;
  • \(p\) 是多项式的平方和当且仅当 \(\overline{p}\)  能表成 \(\frac d2\) 次齐次多项式的平方和.

引理 5.3  假定 \(p\), \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_k\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 都是多项式, \(p=p_1^2+p_2^2+\dotsm+p_k^2\).  如果 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_k\) 不全是零多项式, 那么

  1. \(p\ne0\);
  2. \(\deg(p)=2\max\{\deg(p_l)|l=1, 2, \dotsc, k\}\);
  3. 如果 \(p\) 是 \(d\) 次齐次多项式, 则诸 \(p_l\) 皆是 \(\dfrac d2\) 次齐次多项式.

Proof   不妨 \(p_1\ne0\). 于是, 存在 \(x\in\Bbb R^n\), 使得 \(p_1(x)\ne0\). 然后

\[p(x)=p_1^2(x)+p_2^2(x)+\dotsm+p_k^2(x)\ge0\]

蕴涵 \(p(x)\ne0\).

写 \(p_l\) 为 \(p_l=p_{l0}+p_{l1}+p_{l2}+\dotsb+p_{ld}\), 这里 \(p_{li}\) 是 \(p_l\) 的 \(i\) 次齐次成分, \(d=\max\{\deg(p_l)|l=1, 2, \dotsc, k\}\). 很明显, \(\deg(p)\leqslant2d\); 1 表明 \(p\) 的 \(2d\) 次齐次成分 \(p^2_{1d}+p^2_{2d}+\dotsb+p^2_{kd}\ne0\), 因为有某 \(l\) 使得 \(p_{ld}\ne0\).

第 3 部分的证明与 2 完全类似, 考虑诸 \(p_l\) 的最低次齐次成分即可.  \(\Box\)

Proof   当 \(p\) 非负之时, 要证明 \(\overline{p}\) 非负, 若 \(x_0\ne0\), 由 \((1)\) 式即可; 若 \(x_0=0\), 由

\begin{equation}\overline{p}(0, x_1,\dotsc, x_n)=\lim_{h\to0}\overline{p}(h, x_1,\dotsc, x_n)\end{equation}

立得.

当 \(\overline{p}\) 非负之时, 只要注意

\begin{equation}p(x_1,\dotsc, x_n)=\overline{p}(1, x_1,\dotsc, x_n)\end{equation}

即知 \(p\) 非负.

如果\(p\) 是多项式的平方和, \(p=\sum\limits_{l=1}^kp_l^2\), 那么依据引理 5.3, \(\deg(p_l)\leqslant\dfrac d2\). 然后

\begin{equation}\overline{p}=\sum_{l=1}^k\Bigg(x_0^{\frac d2}p_l\Big(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dotsc, \frac{x_n}{x_0} \Big)\Bigg)^2 \end{equation}

说明  \(\overline{p}\)  能表成 \(\frac d2\) 次齐次多项式的平方和.

如果  \(\overline{p}\)  能表成多项式的平方和, \(\overline{p}=\sum\limits_{l=1}^kh_l^2\),

\begin{equation}p=\overline{p}(1, x_1,\dotsc, x_n)=\sum_{l=1}^k\Big(h_l(1, x_1,\dotsc, x_n)\Big)^2\end{equation}

说明 \(p\)  能表成多项式的平方和.       \(\Box\)

现在, 很容易的, 我们顺便建立二次多项式非负与平方和的联系.

定理 5.4 设二次多项式 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 非负, 那么 \(p\) 能写成多项式的平方和.

有了定理 5.2, 这个定理就是很显然的了: 只需要考虑与 \(p\) 对应的二次齐次多项式 \(\overline{p}\) 就够了. \(\overline{p}\) 是二次型. 依据高等代数的正定二次型的理论, 我们断言定理 5.4 为真.

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