Jul 232014
 

2014 第 55 届 IMO 评注

楔子

第一次用超过一篇文章写 IMO 的解答. 前文 IMO 2014 solutions 已经很长, 不妨重新开始.

这续集不能仅仅只是解答, 希望有背景的讨论和更深入的研究. 要完成这样的目标, 我们需要查阅相关课题的研究文献, 也需要思考.

陶哲轩在 1999-2012 期间, 四个 mini-polymath discussions, 每年挑选一道当年的 IMO 试题, 供大家各抒己见. 这道题不一定是最难的(虽然常常如此), 但一定是最有 “内涵” 的. 去年夏天, 陶已经有两个 polymath projects 在进行, 所以没有继续讨论 IMO.

19 日, 1998 年的 Fields Medal 得主 Timothy Gowers 在他的 wordpress 博客开了一个 Mini-monomath, 讨论今年 IMO 的一道题. 很遗憾, Gowers 品尝的是第一题.

Problem 1

先看看 Gower 的解法. But frankly, it is difficult to understand what he said.

Without loss of generality, 可以假定 \(a_0=1\).

Problem 5

2000 IMO Problem 3

2000 年第 41 届 IMO 是在韩国(Republic of Korea)大田举办的. 这届赛事的第三题是这样的:

Problem 3. \(k\) is a positive real. \(N\) is an integer greater than \(1\). \(N\) points are placed on a line, not all coincident. A move is carried out as follows. Pick any two points \(A\) and \(B\) which are not coincident. Suppose that \(A\) lies to the right of \(B\). Replace \(B\) by another point \(B^\prime\) to the right of \(A\) such that \(AB^\prime = kBA\). For what values of \(k\) can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves?

3. 设 \(n\geqslant2\) 为正整数. 开始时,在一条直线上有 \(n\) 只跳蚤, 且它们不全在同一点. 对任意给定的一个正实数 \(\lambda\), 可以定义如下的一种 “移动”:
(1) 选取任意两只跳蚤, 设它们分别位于点 \(A\) 和 \(B\), 且 \(A\) 位于 \(B\) 的左边;
(2) 令位于点 \(A\) 的跳蚤跳到该直线上位于点 \(B\) 右边的点 \(C\), 使得 \(\dfrac{BC}{AB}=\lambda\).
试确定所有可能的正实数\(\lambda\), 使得对于直线上任意给定的点 \(M\) 以及这 \(n\) 只跳蚤的任意初始位置, 总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于 \(M\) 的右边.

中等数学 2000 年第 5 期的解答是比较长的. 我没有看过多少最近出版的竞赛辅导书, 剪刀浆糊写书的人估计都会复制这个答案. 单墫在修订他的 “数学竞赛研究教程”(应该是他最厚的书了)的时候, 把这题收录为最后的 50 个综合习题的第 19 道. 单老师在这书给的是另一种解法, 但我不得不说, 这解答很难认为是完美的: 我最初第一眼看到这题进行的尝试就是这种做法. 但我思考良久, 认为此种思路难以说的清清楚楚明明白白, 最终抛弃这个做法.

这个题其实有一个两句话的办法. 为什么是两句话, 而不是一句?

2014 IMO 题 5 的解答一为什么那么复杂?

提起 14 年前的考题, 意欲何为?

Lemma 4  设 \(m\)(\(\leq 2l\)) 是正整数, 把 \(m\) 表成 \(m=2^a\cdot b\), 这里 \(a\) 是非负整数, \(b\gt0\) 是奇数, 则 \(a\leq l\), \(b\leq 2l-1\).

首先说明, 若 \(x\) 是一个整数, 则

  • \(2^x\geq x+1\);
  • \(2^x\geq2x\).

这两个不等式实际是同一件事. 我们先看第一个:

在 \(x\leq-1\) 时, \(2^x\gt0\geq x+1\);

在 \(x=0\) 时,  不等式的等号成立: \(2^x=2^0=1\), \(x+1=0+1=1\);

若 \(x\gt0\), 据二项式定理

\[2^x=\dbinom x0+\dbinom x1+\dbinom x2+\dotsb+\dbinom xx\geq\dbinom x0+\dbinom x1=x+1.\]

第二个不等式容易由第一个推得: 第一个不等式的两边乘以 \(2\), 得

\[2\cdot2^x=2^{x+1}\geq2(x+1).\]

把 \(x\) 换成 \(x-1\), 可得第二个不等式.

现在,

\[2l\geq m=2^a\cdot b\geq2^a\geq2a\]

定出 \(l\geq a\).

然后,

\[2l\geq m=2^a\cdot b\geq b,\]

结合 \(b\) 是奇数, 即可导出 \(b\leq 2l-1\).

 Posted by at 5:34 pm  Tagged with:

  One Response to “IMO 2014 solutions II”

  1. 1. 从各个国家的得分情况来看, 本届IMO并不容易. 也许是答案太容易看懂导致的吧. 我指的是第六题.
    2. 绝大多数做出第五题的人用的不是您的过于复杂的方法.
    3. 说第五题曾经在中国被出过类似的纯属胡说. 陈永高所出的题目只是看起来与这题有点相似, 实际做法截然不同, 这个题明显难很多.
    4. 其实第五题本来是当成数论题出的……谌澜天在出考场时说, 他卡在第五题上了一段时间, 好奇为什么本届imo没有数论题, 然后意识到或许第五题就是, 然后用数论的角度去看把它解决了.

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