Peking university 2014 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 2

1.令 \(f(x)=\prod\limits_{i=1}^{2013} (x-i)^2+2014\), \(f(x)\) 在有理域内可约吗? 证明你的结论.

2. \(M\), \(N\) 都是 \(n\) 阶矩阵, \(n\geq2\). 如果 \(MNMN \) 为零矩阵, 那么 \(NMNM\) 是否也一定是零矩阵? 证明你的结论.

3. \(n\geq2\). 除了单位矩阵, 还有别的埃尔米特矩阵 \(M\) 满足下面的条件吗？

\[4M^5+2M^3+M=7E_n,\]

其中, \(M\) 是与 \(E_n\) 同阶的矩阵.

4. \(\mathbf V\) 是 \(n\) 维线性空间. 线性变换 \(\mathcal A\) 的最小多项式是 \(n\) 次.
(1) 证明存在向量 \(\alpha\), 使得 \(\alpha\), \(\mathcal A\alpha\), \(\dotsc\), \(\mathcal A^{n-1}\alpha\) 是 \(\mathbf V\)  的一组基;
(2) 任何与 \(\mathcal A\) 可交换的线性变换, 可表示为 \(\mathcal A\) 的多项式.

5. \(\mathbf V=\Bbb C_{n\times n}\) 是所有 \(n\)  阶复矩阵组成的向量空间. 求所有形如  \(MN-NM\) 的矩阵组成的向量空间的维数并给出证明.

6. 欧式空间 \(\mathbf V\) 中, 对称线性变换 \(\mathcal{A}\) 称为“正的”, 若对 \(\forall \alpha \in \mathbf V\), 都有\((\alpha, \mathcal A(\alpha))\geq 0\) 成立, 且等号当且仅当 \(\alpha =\mathbf 0\) 时成立.
(a)证明若线性变换 \(\mathcal A\) 是正的，则 \(\mathcal A\) 可逆;
(b)证明若线性变换 \(\mathcal B\) 是正的, \(\mathcal A-\mathcal B\) 也是正的，则 \(\mathcal B^{-1}-\mathcal A^{-1}\) 是正的;
(c)证明对于正的线性变换 \(\mathcal A\), 总存在正的线性变换 \(\mathcal B\) 使得 \(\mathcal A=\mathcal B^2\).

7. 求单叶双曲面

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]

垂直的直母线交点的轨迹.

8.保距变换

\[\begin{split}
x’& = a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z\\
y’& = a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z\\
z’& = a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z
\end{split}\]

可以看做绕不动直线旋转一个角度而得到.
(a)求不动直线的方向向量;
(b)求旋转角 \(\theta\).
(原题\(a_{11},\cdots,a_{33}\)皆为具体数字, 现已记不清, 用字母代替之)

9.点 \(A(a_{1},a_{2},a_{3})\), \(B(b_{1},b_{2},b_{3})\) 在直线

\[\frac{x+a}{2}=\frac{y+b}{2}=\frac{z}{3}\]

上的投影为 \(A_{1}, B_{1}\), 求 \(A_{1}, B_{1}\) 坐标以及两点间距离.
(原题\(a_{1},\dotsc,b_{3},a,b\)皆为具体数字，现已记不清, 用字母代替之)