Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 1

北京时间 25 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析

1.(10分) 证明: \(\lim\limits_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx=0.\)

2.(10分) 证明: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }\) 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是 \(\alpha \gt \frac12\).

3.(10分) 设\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛. 证明 \(\lim\limits_{s\rightarrow 0+}\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_nn^{-s}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\).

4.(10分) 称 \(\gamma (t)=(x(t),y(t))\)(\(t\in \) 属于某个区间\(I\)) 是 \(\Bbb R^2\)上\(C^1\) 向量场 \((P(x,y),Q(x,y))\) 的积分曲线, 若 \({x}'(t)=P(\gamma (t))\), \({y}'(t)=Q(\gamma (t)),\forall t\in I\), 设 \(P_x+Q_y\) 在 \(\Bbb R^2\) 上处处非零, 证明向量场 \((P,Q)\) 的积分曲线不可能封闭(单点情形除外).

5.(20分) 设 \(x_0=1,x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1}, n=1,2,\dotsc \). 证明: 当 \(x\rightarrow \infty \) 时, \(x_n-\frac{\pi }{2}=o(\frac{1}{n^n})\).

6.(20分) 设 \(f\in C[0,1],\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\alpha \lt \beta =\lim\limits_{x\rightarrow 1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\). 证明: \(\forall \lambda \in (\alpha ,\beta),\exists x_1,x_2\in [0,1]\), 使得 \( \lambda =\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\).

7. (20分) 设 \(f\) 是 \((0,+\infty)\) 上的凸(或凹)函数且 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\) 存在有限, 则 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf'(x)=0\) (仅在 \(f\) 可导的点考虑极限过程).

8. (20分)设 \(\phi\in C^3(\mathbb{R}^3)\), \(\phi\) 及其各个偏导数 \(\partial_i\phi(i=1,2,3)\) 在点 \(x_0\in \mathbb{R}^3\) 处取值都是 \(0\). \(x_0\) 点的 \(\delta\) 邻域记为 \(U_\delta(\delta>0)\). 如果 \(\left(\partial_{ij}^2\phi(X_0)\right)_{3\times 3}\) 是严格正定的, 则当 \(\delta\) 充分小时, 证明如下极限存在并求之:

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } t^{\frac32}\iiint_{{U _\delta }} {{e^{ – t\phi\left( {x_1,x_2,x_3} \right)}}\,dx_1dx_2dx_3} .\]

9. (30分) 将\((0,\pi)\)上常值函数 \(f(x)=1\) 进行周期 \(2\pi\) 奇延拓并展为正弦级数:

\[f(x)\sim \frac4\pi\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n-1}\sin (2n-1)x.\]

该 Fourier 级数的前\(n\)项和记为\(S_n(x)\), 则 \(\displaystyle \forall x\in (0,\pi), S_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin 2nt}{\sin t}dt\), 且 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n(x)=1\). 证明 \(S_n(x)\) 的最大值点是 \(\displaystyle \frac\pi{2n}\) 且 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\left(\frac\pi{2n}\right)=\frac 2\pi \int_0^\pi\frac{\sin t}t dt\).

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