Dec 252018
 

北京时间 2018 年 12 月 23 日上午数学基础考试1

1. 讨论数列 \(a_n=\sqrt[n]{1+ \sqrt[n]{2+ \sqrt[n]{3+\dotsm+ \sqrt[n]n } } }\) (\(n\) 个根号) 的敛散性.

2. 设 \(f(x)\in C[a,b]\) 且 \(f(a)=f(b)\), 证明: \(\exists x_n\), \(y_n\in[a,b]\)s.t. \(\lim\limits_{n\to\infty}\big(x_n-y_n\big)=0\) 且 \(f(x_n)=f(y_n)\), \(\forall n\in \Bbb N\).

3. 证明 \(\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kC_n^k\frac1{k+m+1}=
\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kC_m^k\frac1{k+n+1} \), 其中 \(m\), \(n\) 是正整数.

4. 无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^\infty(1+a_n)\) 收敛, 是否级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛? 若是, 给出证明; 若不是, 举出例子.

5. 设 \(f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty x^n\ln x \), 计算 \(\int_0^1 f(x) \mathrm dx\).

6. 设函数 \(f(x)\) 在 \((0, +\infty)\) 二阶可导, 且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) 存在,  \(f^{\prime\prime}(x)\) 有界. 证明: \(\lim\limits_{x\to+\infty}f^{\prime}(x)=0\).

7. 设数列 \(\{x_n\}\) 有界,  \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n+1}-x_n)=0\), 且 \(\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=l\), \(\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=L\)(\(l\lt L\)). 证明: \([l, L]\) 中的每一个点都是数列 \(\{x_n\}\) 的某一子列的极限.

8. 对 \(p\gt0\) 讨论级数  \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin\frac{n\pi}4}{n^p+\sin\frac{n\pi}4}\) 的绝对收敛性和收敛性.

9. 求函数 \(f(x)=\dfrac{2x\sin\theta}{1-2x\cos\theta+x^2}\) 在 \(x=0\) 点的 Taylor 展式, 其中 \(\theta\in\Bbb R\) 是常数, 并计算积分 \(\int_0^\pi\ln(1-2x\cos\theta+x^2) \mathrm d\theta\).

10. 证明 \(\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x} \mathrm dx=\dfrac\pi2\), 并计算 \(\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin^2 yx}{x^2} \mathrm dx \).

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