Dec 272018
 

北京时间 2018 年 12 月 23 日下午初试的高等代数与解析几何

\(\Bbb R\) 表示实数域; \(\Bbb C\) 表示复数域; \( A^T\) 表示 \(A\) 的转置; \(E_{ij}\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为 \(1\) 其余为 \(0\) 的矩阵.

1. \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\) 是 \(\Bbb R^n\) 上线性无关的列向量组,\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\) 是 \(\Bbb R^m\) 上线性无关的列向量组. 若有实数 \(c_{ij}\) 使得

\[\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^tc_{ij}\alpha_i\beta_j^{T}=\textbf{0}.\]

证明系数 \(c_{ij}\) 全为 \(0\).

2.实数域上的 \(3\) 阶方阵 \(A\) 满足 \(AA^T=A^TA\), 且 \(A\neq A^T\).
(1) 证明存在正交矩阵 \(P\) 使得
\[P^TAP=
\begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & c \\
0 & -c & b \\
\end{pmatrix},\]

其中 \(a\), \(b\), \(c\) 都是实数.

(2) 若 \(A=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3a_{ij}E_{ij}\), \(AA^T=A^TA=I_3\), 且 \(|A|=1\).证明 \(1\) 是 \(A\) 的一个特征值, 且求属于特征值\(1\) 的特征向量.

3. \(A\) 是复数域上的一个 \(n\) 阶方阵, \(A\) 的特征值为\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\). 定义 \(M_n(\Bbb C)\) 上的变换 \(T\) 为

\[\begin{split}T\colon M_n(\Bbb C)&\longrightarrow M_n(\Bbb C)\\
B&\longmapsto AB-BA , \forall B\in M_n(\Bbb C)\end{split}\]

(1) 求变换 \(T\) 的特征值;
(2) 若 \(A\) 可对角化, 证明 \(T\) 也可对角化.

4. \(A\) 为 \(n\) 级实对称矩阵,令

\[S=\{X|X^TAX=0, X\in \Bbb R^n.\}\]

(1)求 \(S\) 为 \(\Bbb R^n\) 中的一个子空间的充要条件并证明;
(2)若 \(S\) 为 \(\Bbb R^n\) 中的一个子空间, 求 \(\dim S\).

5. 给定任意实数 \(\varepsilon\gt0\), 证明对任意的 \(n\) 阶实矩阵 \(A\), 存在一个 \(n\) 阶对角矩阵 \(D\), 每个对角元为 \(\varepsilon\) 或 \(-\varepsilon\) 中的一个,使得
\[|A+D|\ne 0.\]

6. 给了空间中两条异面直线的方程(不记得了),求两条直线的距离和公垂线方程.

7. 在空间中有三条直线两两异面,且不平行于同一个平面, 证明空间中与这三条直线都共面的直线集是一个单叶双曲面.

8. 证明平面与双曲抛物面的交线不可能是一个椭圆.

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