北京时间 2019 年 12 月 22 日上午数学基础考试 1
1. 设 \(f(x)\) 是闭区间 \([a, b]\) 的上半连续函数, 即任意 \(x_0\in[a, b]\), 有 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\leqslant f(x_0)\)(在区间端点, 只考虑单侧极限).
请问: \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 达到最大值? 证明或者举出反例.
2. 函数 \(f(x)=\dfrac{x}{1+x\cos^2x}\) 在区间 \([0, +\infty)\)否一致连续?
3. 函数 \(f(x)\) 是定义在区间 \([1, +\infty)\) 上的连续函数, \(f(x)\geqslant 0\), 并且 \(\forall x, y\in [1, +\infty)\), 有
\[f(x+y)\leqslant f(x)+f(y).\]
请问: \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) 是否一定存在? 证明你的结论或给出反例.
4. 函数 \(f(x)\) 在区间 \([0, 1]\) 连续, \(f(x)\gt 0\) 并且单调递增. 记
\[s=\frac{\int_0^1xf(x) \mathrm dx}{\int_0^1f(x)\mathrm dx}.\]
(1) 证明 \(s\geqslant \frac12\); (2) 比较 \(\int_0^sf(x)\mathrm dx\) 和 \(\int_s^1 f(x)\mathrm dx\) 的大小(可以利用几何或物理直观).
5. 已知 \(\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}\mathrm dx=\dfrac\pi2\). 计算
\[\int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}\mathrm dx.\]
6. 设曲面 \(S\) 是 \(z=f(x, y)\), 其中 \(f(x, y) ((x, y)\in D)\) 是二阶连续可微函数, 而 \(D\) 是由 \(x=\alpha(t), y=\beta(t), t\in[a, b]\) 围成的
简单闭曲线. \(R(x, y, z)\) 是二阶连续可微函数. 假定平面的 Green公式成立, 证明如下特殊形式的 Stokes 公式
\[\oint_\Gamma R(x, y, z)\mathrm dz =\iint_S \frac{\partial R}{\partial y}\mathrm dy\mathrm dz – \frac{\partial R}{\partial x}\mathrm dx\mathrm dx \]
7. \(f(x, y)\) 在全平面二阶连续可微, \(f(0, 0)=0\), 并且
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=x^2+y^2.\]
设 \(C_r\) 是以原点为心, 半径为 \(r\) 的圆周, 计算
\[\int_{C_r} f(x, y)\mathrm ds,\]
这里 \(ds\) 是沿 \(C_r\) 的第一型曲线积分.
8. 设 \(0\lt p\lt 1\). \(f(x)=\cos px\), \(x\in[-\pi, \pi]\), 并且 \(f(x) \) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续函数.
(1) 计算 \(f(x) \) 的 Fourier Series; (2) 证明 \(B(x, 1-x)=\dfrac{\pi}{\sin\pi x}\), 这里 \(B\) 是 Beta 函数.
9. 对满足 \(1\lt q\lt p\) 的正整数 \(q\), \(p\), 定义如下的三角多项式
\[T_{p, q}(x)=\frac{\cos (p-1)x}{1}+\frac{\cos (p-2)x}{2}+\dotsb+\frac{\cos (p-q)x}{q}- \frac{\cos (p+1)x}{1}-\frac{\cos (p+2)x}{2}-\dotsb-\frac{\cos (p+q)x}{q}. \]
对 \(k\geqslant 1\), 取正整数 \(p_k\), \(q_k\), 及 \(a_k\gt0\), 使
\[p_k+q_k\lt p_{k+1}-q_{k+1}, \sum_{k=1}^\infty a_k\lt+\infty, \sum_{k=1}^\infty a_k\ln q_k=+\infty.\]
(这样的 \(p_k\), \(q_k\), \(a_k\) 是存在的, 比如 \(q_k=2^{k^3}, p_k=2^{k^3+1}, a_k=\frac1{k^2}\) ). (1) 证明 \(f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k T_{p_k, q_k}(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续函数;
(2) \(f(x)\) 的 Fourier Series 在 \(x=0\) 处是否收敛? 证明你的结论.
与考场的试卷原始试题可能的误差: 题 6 的题设条件和要证明的结论可能都有那么一点出入, 题 7 只是要证明的结论可能不准确;
而考卷上的题 9 的条件 \( \sum\limits_{k=1}^\infty a_k\ln q_k\) 有可能是 \( \sum\limits_{k=1}^\infty a_k\ln p_k\), 或者 \(\lt+\infty\), 条件 \(p_k+q_k\lt p_{k+1}-q_{k+1}\) 可能是 \(q_k+q_{k+1}\lt p_{k+1}-p_k\)