北京时间 2019 年 12 月 22 日下午数学基础考试 2
说明: 设 \(\varphi\) 是域 \(F\) 上的线性空间 \(U\) 到 \(V\) 的线性映射, \(\ker \varphi=\{\alpha\in U|\varphi(\alpha)=0 \} \), \(\Im\varphi=\{\varphi(\alpha)|\alpha\in U \} \).
1. 设 \(V_0=\{0\}\), \(V_1\), \(V_2\), \(\dotsc\), \(V_n\), \(V_{n+1}=\{0\}\) 都是域 \(F\) 上的有限维线性空间, 设 \(\varphi_i\) 是 \(V_i\) 到 \(V_{i+1}\) 的线性映射
\[V_0\stackrel{\varphi_0}{\longrightarrow} V_1\stackrel{\varphi_1}{\longrightarrow}\cdots\stackrel{\varphi_{n-1}}{\longrightarrow} V_n\stackrel{\varphi_n}{\longrightarrow} V_{n+1},\]
并且 \(\Im \varphi_i=\ker \varphi_{i+1}\), \(i=0, 1, 2, \dotsc, n-1\). 证明
\[\sum_{k=1}^n (-1)^k \dim V_k=0.\]
2. \(k\geqslant1\). 证明对任意 \(k+1\) 个复数 \(c_0\), \(c_1\), \(c_2\), \(\dotsc\), \(c_k\), 存在唯一的一个不超过 \(k\) 次的复系数多项式 \(p(x)\), 使
\[p(0)=c_0, p(1)=c_1, p(2)=c_2, \dotsc, p(k)=c_k. \]
3. 设 \(\eta\) 是 \(n\) 维欧式空间 \(V\) 内的一个单位向量, 定义 \(V\) 内一个线性变换如下
\[\boldsymbol A\alpha=\alpha-2(\eta, \alpha)\eta\qquad (\alpha\in V).\]
(1) 证明 \(\boldsymbol A\) 是第二类的正交变换(镜面反射);
(2) 证明 \(n\) 维欧式空间中任一正交变换都可以写成一系列镜面反射的乘积.
4. \(A\) 是一个秩为 \(k\) 的 \(n\) 阶实对称矩阵. 证明 \(A\) 有不为 \(0\) 的 \(k\) 阶主子式, 并且
\(A\) 的所有不是 \(0\) 的 \(k\) 阶主子式都同号.
5. \(\boldsymbol A\) 是复数域上的 \(n\) 维线性空间上的线性变换, \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\dotsc\), \(\lambda_m\) 是 \(\boldsymbol A\) 的全部的互不相同的特征值.
证明 \(\boldsymbol A\) 可对角化的充分必要条件是对每个 \(\lambda_k\), 有 \(\dim(\Im(\lambda_k id-\boldsymbol A))=\dim(\Im(\lambda_k id-\boldsymbol A)^2)\), 这里 \(id\) 是恒等变换.
6. \(n\geqslant2\). \(A\) 是复数域上的 \(n\) 阶矩阵, \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\dotsc\), \(\lambda_m\) 是 \( A\) 的全部的互不相同的特征值. 对每个 \(\lambda_k\),
设 \(\alpha_{k1}\), \(\alpha_{k2}\), \(\dotsc\), \(\alpha_{kt_k}\) 是属于 \(\lambda_k\) 的特征子空间的一组基. 求 \(A\) 的伴随矩阵的全部的特征值和对应的全部特征向量.
7. \(\boldsymbol u\), \(\boldsymbol v\), \(\boldsymbol w\) 是三个向量, \(|\boldsymbol u| = |\boldsymbol v|= |\boldsymbol w| =1\), \(\boldsymbol u\cdot \boldsymbol v= \boldsymbol v\cdot \boldsymbol w= \boldsymbol w\cdot \boldsymbol u\). 设有向量 \(\boldsymbol x\) 及实数 \(a\), \(b\), \(c\) 使得
\(\boldsymbol x\times \boldsymbol u= a \boldsymbol u+b\boldsymbol v+c \boldsymbol w\), \(\boldsymbol x\times\boldsymbol v= a \boldsymbol v+b\boldsymbol w+c \boldsymbol u\). 证明
\[\boldsymbol x\times\boldsymbol w= a \boldsymbol w+b\boldsymbol u+c \boldsymbol v.\]
8. 平面直角坐标系的一个曲线上有一个曲线 \(\pi\) 方程是 \(x^2+2y^2+6xy+8x+10y+6=0\).
(1) 证明这个曲线是双曲线；
(2) 求这个曲线的长短轴方程和长短轴长, 并且指出哪个轴与 \(\pi\) 相交.
9. 在平面直角坐标系的一个椭圆方程是 \(x^2+8y^2+4xy+6x+20y+4=0\). 求这个椭圆的内接三角形(三个顶点都在椭圆上的三角形)的面积的最大值.
与考场的试卷原始试题可能的误差: 题 7 从 “设有向量” 之后的三个等式不敢断定是完全正确, 后面的向量 \(\boldsymbol x\) 及实数 \(a\), \(b\), \(c\)是这样的,
只是不绝对保证三个等式的正确无误. 结论也可能是 \(\boldsymbol x\cdot \boldsymbol u= a \boldsymbol u\cdot \boldsymbol v+b\boldsymbol v\cdot \boldsymbol w+c \boldsymbol w\cdot \boldsymbol u\), \(\boldsymbol x\cdot \boldsymbol v= a \boldsymbol v\cdot \boldsymbol w+b\boldsymbol w\cdot \boldsymbol u+c \boldsymbol u\cdot \boldsymbol v\). 证明
\[\boldsymbol x\cdot \boldsymbol w= a \boldsymbol w\cdot \boldsymbol u+b\boldsymbol u\cdot \boldsymbol v+c \boldsymbol v\cdot \boldsymbol w.\]