Jan 152013
 

一. (1) 显然

\[\angle CAE=\angle CBE=\angle DBF=\angle DAF,\]

结合 \(l_1\) 是 \( CD\) 的中垂线, 可得 \(l_1\) 是 \(\angle EAF\) 的角平分线, 这揭示 \(l_1\) 与 \(l_2\) 必有公共点. 因为圆 \(K_1\) 与 \(K_2\) 半径不相等, 因此 \(l_1\) 与 \(l_2\) 不可能重合, 其交点在 \(\triangle AEF\) 的外接圆上.

(2) 注意到

\begin{equation*}\begin{split}\angle EBF&=\angle EAF+\angle AEB+\angle AFB\\&=\angle EAF+\angle ACB+\angle ADB\\&=\angle EAF+180^\circ-\angle EBF,\end{split}\end{equation*}

所以 \(\angle EBF=90^\circ+\frac12\angle EAF\) 是钝角, 并且由

\[\angle EBF=90^\circ+\frac12\angle EAF=90^\circ+\frac12(180^\circ-\angle EPF)=180^\circ-\frac12\angle EPF\]

可以知道 \(P\) 点是 \(\triangle BEF\) 的外心.

\(D\) 在 \(\triangle BEF\) 的外接圆与圆 \(K_1\) 的根轴上, 所以

\[DP^2-PE^2=DC\cdot DA=2CA^2.\]

\(\triangle PAC, \triangle PAD\) 都是直角三角形, 并且 \(A\) 是 \(CD\) 中点, 我们有

\[CA^2+PE^2=DP^2-CA^2=DP^2-DA^2=AP^2,\]

所以 \( CA,AP,PE\) 能构成一个直角三角形.

二. 先来指出: 若整数 \(a,d\in S\), 那么对于任意的整数 \(n\), 有 \(a+3nd,a+(3n+1)d\in S\).

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