Jul 042020
 

​6月17日,人教版数学八年级下册自读课本写到爱因斯坦用相对论中的质能方程论证勾股定理,但是摆了乌龙的消息刷屏。这里不去讨论这个错误的证明,虽然在官方教科书出现这种低级错误实在不该。

下面的两个图来自这本书 Manfred Schroeder, Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise, 3-4

简言之,爱因斯坦利用了欧氏几何中相似三角形的两条性质:

  1. ​ 相似三角形的面积之比等于相似比的平方;
  2.  相似三角形的面积与某条对应边边长平方之比为一个常数。

将最初的直角三角形作斜边上的高,分成两个小直角三角形,三个直角三角形是两两相似的,并且各自的面积分别除以自己斜边边长的平方,三者的商相等,以 m 表之。将原来的直角三角形的三边长分别记为 \(a, b, c\),  于是三个直角三角形的斜边长分别 \(c, a\) 和 \(b\)。至此,便有等式

\[mc^2=ma^2+mb^2.\]

最后,两端约去非零的系数 \(m\) ,便出来了我们熟悉的勾股定理。

采用相似来证明勾股定理的途径有很多,但是爱因斯坦的这个方法以优雅和简洁而出类拔萃,这个论证揭示了长度和面积的联系是勾股定理的核心!爱因斯坦本人并没有记载这个他的证明。现在看到的证明是,可能是他的朋友后来记下的.

据爱因斯坦的自传,他在12岁阅读一本欧氏平面几何的小书,经过一番努力发现了勾股定理的新证明,这是一种完全不同的体验正如希腊人揭示的man is capable at all to reach such a degree of certainty and purity in pure thinking.