Jul 112014
 

张益唐暑假在北京.

7 月他在母校北京大学的北京国际数学研究中心 (BICMR) 有一个系列的学术报告: Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function I, II, III. 这个报告分三场, 原定时间是 July 8, 10, 15,  2014 16:00-17:00, 地点是镜春园 78 号院的 77201 室.

BICMR 官网上这个报告的 Abstract 是这么写的:

The distribution of prime numbers is one of the most important subjects in number theory.

There are many interesting problems in this field. It may not be difficult to understand the problems themselves, but the solutions are extremely difficult.

In this series of talks we will describe the application of certain analytic tools to the distribution of prime numbers. In particular, the role played by the Riemann zeta function will be discussed. We will also describe some early and current researches on the Riemann Hypothesis.

These talks are open to everyone in the major of mathematics, including undergraduate students.

Yitang Zhang at BICMR Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

Yitang Zhang at BICMR :Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

8 日下午 4 点, 田刚现身. 因为人比较多, 改为在镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅进行. 主持人刘若川是 1999 年的 IMO 金牌(他本来也是 1998 年中国国家队的队员).

报告从复分析开始, 解析开拓,  zeta 函数的定义, 留数定理, 伯努利数, 然后

\[\zeta(2k)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{2k}}=(-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}\]

的两个证明:一个是欧拉给的, 一个来自 Riemann.

张大师说: 欧拉的算功无双, 本来可以证明 \(\zeta(3)\) 是无理数的, 他错过了这个证明.

听报告的人, 会知道张大师非常强调复变函数的极端重要性! 复变不行的人, 没法玩解析数论.

10 日下午 4 点的第二场, 依旧在镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅. 不过, 15 日的一场会在镜春园 78 号院的 77201 室, 16:30 开始.

大量的使用复变, 满黑板的解析数论公式. 今天的主要任务是质数定理的证明, 以及黎曼假设在质数分布的作用.

15 日下午 4:30 的最后一场, 要深入一点. 田刚坐在教室最后一排, 刘若川, 许晨阳坐在教室左边的走廊.张大师谈到有 Goldston, Pintz and Yildirim 的工作, 说他自己最大的贡献是把 \(c\) 改进为 \(\dfrac14+\dfrac1{1168}\). 

Aug 152013
 

Harnack’s inequality 是关于调和函数的一个不等式, 被 A. Harnack 在 1887 年引进. 随后又被其他人重新发现, 比如 J. Serrin 和 J. Moser. 有不少重要的数学家对 Harnack’s inequality 做出各种推广. 通过Nash-Moser迭代, 人们发现在较为一般的散度型椭圆方程和抛物方程正解都具有这种性质. 从此, Harnack 不等式在偏微分方程解性质研究中发挥了巨大作用. 上世纪八十年代, P.Li 和丘成桐给出了Harnack不等式的另一种认识途径, 即所谓微分Harnack 估计. Li-Yau 对 Harnack不等式的新认识对 Ricci 流发展有重要影响. 经典椭圆型偏微分方程和抛物方程中的Harnack不等式在几何流中, 有很多应用. Perelman 证明 Poincaré conjecture, 就使用了 R. Hamilton 的一个 Harnack’s inequality 的推广形式. Harnack’s inequality 在偏微分方程有很多重要应用.

Harnack’s inequality  Let  \(D=\{z:|z|<1\}\). suppose \(f(z)\) is analytic on \(D\), \(\mathrm{Re}f(z)\geqslant0,\forall z\in D, f(0)>0\), then

  • \(|\mathrm{Im}f(z)|\leqslant f(0)\dfrac{2|z|}{1-{|z|^2}};\)
  • \(f(0)\dfrac{1-|z|}{1+|z|}\leqslant \mathrm{Re}f(z)\leqslant |f(z)| \leqslant f(0)\dfrac{1+|z|}{1-|z|},\)

and that equality holds if and only if  \(f(z)=w_0\dfrac{1+e^{i\alpha}z}{1-e^{i\alpha}z}\)(\(w_0,\alpha\in\Bbb R\), and \(w_0>0\)).

Proof   Without loss of generality, we assume \(f(0)=1\). Let

\[ h(z) =\frac{1+z}{1-z} \]

be the standard linear fractional map of \(D\) onto the right half plane. \(\forall r, 0\leqslant r<1\),  \(h(z)\) maps \(\{z: |z|\leqslant r\}\)  to the disc

\[E_r=\{w:|w-\frac{1+r^2}{1-r^2}|\leqslant\frac{2r}{1-r^2}\}.\]

According to Schwartz  lemma , it follows that

\[\left |\frac{f(z)-1}{f(z)+1}\right| \leqslant |z|,\]

Thus we are led to the conclusion that

\[ |h^{-1}(f(z))|\leqslant |z|.\]

this implies \(f(z)\in E_{|z|}\).        \(\Box\)

Aug 112013
 

这里指的是复分析中关于幂级数的 Abel’s theorem, 目的是讨论幂级数在收敛圆周的性态.

\( D=\{z\in\Bbb C:|z|<1\} \). Let \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n(a_n,z\in\Bbb C)\)be a power series, and the radius of convergence of \(f(z)\) is \(1\), \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n =s\). we cannot conclude that

\[\lim_{D\ni z\to1 }f(z)= s.\]

这个事情说来话长.

In 1916, Sierpiński constructed a power series with radius of convergence equal to \(1\), also converging on every point of the unit circle, but with the property that \(f\) is unbounded near \(z=1\).

Sierpiński 的例子很复杂, 在一本法文书上可以找到.

For odd \(n\) let  \(p_n = 1\cdot 3\cdot 5\cdots n\), For even \(n\) set \(p_n=2p_{n-1}\). Define

\[ f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}nz^{p_n}. \]

Apr 072013
 

这节的目的是 Cauchy–Riemann 方程. 注意, 我们是在不涉及导数, 解析函数的前提下做这件事.

Cauchy–Riemann 方程

大名鼎鼎的 Cauchy–Riemann equations:

\[\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.\end{cases}\]

这是一个偏微分方程组, 是复分析的核心.

Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations

Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations 是有联系的.

Mar 232013
 

Fundamental theorem of algebra(FTA)   Every polynomial of degree \(n\geqslant1\) with complex coeficients has a zero in \(\Bbb C\).

我们尝试使用 Cauchy 积分公式来证明代数基本定理. 其实有几个大同小异的证明, 基本的想法是一致的. 第一个证明属于 Anton R. Schep.

Proof. Let \(p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb+a_1z+a_0\) be a polynomial of degree \(n\geqslant1\) and assume that \(p(z)\ne0\) for all \(z\in\Bbb C\). Then the function defined by \(\frac1{p(z)}\) is entire. By Cauchy’s theorem,

\[\int_{|z|=r}\dfrac{\mathrm dz}{zp(z)}=\dfrac{2\,\mathrm\pi i}{p(0)}\ne 0.\]

Since

\[|p(z)| \geqslant |z|^n\left(1-\frac{|a_{n-1}|}{|z|}-\dotsb-\frac{|a_0|}{|z|^n}\right) > \frac12|z|^n\]

for \(z\) sufficiently large, so

\[\left|\int_{|z|=r}\dfrac{\mathrm dz}{zp(z)}\right| \leqslant 2\,\mathrm\pi r \cdot \max_{|z|=r}\dfrac1{|zp(z)|} = \dfrac{2\,\mathrm\pi }{\min\limits_{|z|=r}|p(z)|}\to0(r\to\infty),\]

which is a contradiction, and therefore \(p(z)\) has a zero.   \(\Box\)

这个证明还可以另一种面目表现出来: 使用关于解析函数的 Mean-Value Property(MVP).

第二个证明   依旧是反证法. 我们可以假定 \(z\in\Bbb R\) 时, \(p(z)\) 是实数(否则, 考虑 \(p(z)\overline{p}(z)\), 这里 \(\overline{p}(z)=z^n+\overline{a_{n-1}}z^{n-1}+\dotsb+\overline{a_1}z+\overline{a_0}\)). 既然, \(\forall x\in\Bbb R, p(x)\ne0\), 于是可有

\[\int_0^{2\,\mathrm\pi}\dfrac{\mathrm d\theta}{p(2\cos \theta)}\ne 0.\]

但是, 这个积分显然等于

\[\frac1i\int_{|z|=1}\frac{\mathrm dz}{zp(z+\frac1z)}=\frac1i\int_{|z|=1}\frac{z^{n-1}\,\mathrm dz}{q(z)},\]

这里 \(q(z)=z^np(z+\frac1z)\) 是一个多项式. 显然 \(z\ne0\) 时, \(q(z)\ne 0\), 而且 \(q(0)=1\), 于是 \(\dfrac{z^{n-1}}{q(z)}\) 是整函数. 据 Cauchy 定理, 上面的积分是 \(0\). 矛盾!

Mar 102013
 

下面的定义在多值函数中起着重要作用:

定义 设 \(f(z)\) 是一个连续复函数, \(\gamma\) 是在 \(f(z)\) 的定义域中有意义的一简单闭曲线. 设

1) \(a\) 在曲线 \(\gamma\) 上;

2) \(f(z)\) 不经过 \(0\), 即 \(0\notin f(\gamma)\);

3) 取 \(f(a)\) 辐角的一个值, 记为 \(\alpha_1\);

4) 沿着曲线 \(\gamma\), \(f(z)\) 的辐角连续变化;

5) 沿着曲线 \(\gamma\) 一圈, 第一次回到 \(a\), 这个时候\(f(a)\) 的辐角, 记为 \(\alpha_2\),

我们把

\[\Delta_{\gamma}\arg f(z)\equiv\alpha_2-\alpha_1\]

称为 \(f(z)\) 沿 \(\gamma\) 的辐角变化总量.

下面我们用这个想法来证明代数基本定理. 这仅是一个思路, 要严格写出来, 估计要不少篇幅.

设 \(f(z)=a_nz^n+\dotsc+a_1z+a_0\).

记 \(\gamma_1\) 是圆心在原点的半径为 \(R\) 的圆. 当 \(R\) 充分大的时候, \(f(z)\) 沿 \(\gamma_1\) 的辐角变化量是 \(2n\pi\);

另一方面, 当 \(a_0\ne0\) 时, 当 \(r\) 充分小的时候, \(f(z)\) 沿 \(\gamma_2\) 的辐角变化量是 \(0\), 这里 \(\gamma_2\) 是圆心在 \(a_0\) 的半径为 \(r\) 的圆.

这两方面的矛盾说明, \(f(z)\) 必定在某个 \(z_0\) 使得 \(f(z_0)=0\).

Feb 282013
 

到底什么是 \(\sqrt{-1}\)? 它存在吗? 要回答这些问题, 我们先要搞清楚: 何谓数学中的”存在”?

数学中的存在性

我们从非欧几何说起. 非欧几何还会在后面被提及.

欧几里得的”几何原本”出现以后, 第五公设一直被众多数学家广为诟病. 很多人希望用前四条公设证明平行公设, 但不能成功. 这样经过长达 2000 年努力后, 数学家开始尝试另外的道路. 1820年代, 罗巴切夫斯基用一个和平行公理矛盾的命题来代替第五公设, 然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统, 展开一系列的推理, 得出了一个又一个在直觉上匪夷所思, 但在逻辑上不矛盾的命题. 这种几何是为罗巴切夫斯基几何. 从罗巴切夫斯基创立的几何学, 得出一个极为重要的, 具有普遍意义的结论: 逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学.

现在我们可以说: 数学中的存在性, 指的就是逻辑上的无矛盾性.

\(\sqrt{-1}\)的合理性

这个问题的答案, 其实就在 Ahlfors 的经典名作 “Complex analysis” 的开篇 1.3.

简单点说, 就是有一个域, \(\Bbb R\) 是其子域(或者有子域与 \(\Bbb R\) 同构), 在这个域里有一个元素 \(x\), 满足 \(x^2+1=0\).

然后, Ahlfors 用例子说明了如何构造这样的一个域.

Frobenius 有个著名的定理是这么说的: 实数域上的有限维可除代数只有 \(\Bbb R\), \(\Bbb C\), 和 \(\Bbb H\).

至于证明, 可以参考, 比如, Jacobson 的 Basic Algebra I 的第七章.

Feb 262013
 

从今天开始, 我们将有一系列的关于复分析(Complex analysis) 的笔记, 首先当然是单复分析. 单复分析是数学系本科生的一门必修的基础课.

复分析在数学的核心地位, 毋庸置疑! 现代数学, 无论多么显著的成就, 都可以在复分析找到其思想的源头.
学复变之前, 最好是懂那么一点抽象代数, 点集拓扑, 哪怕一点点双曲几何.
自学的话, 也许不可得其神韵!

单复分析 = Cauchy- Riemann 方程

Cauchy- Riemann 方程是一个偏微分方程组. Cauchy 标志一个时代的结束, 而 Riemann 则预示新时代的开启! 这句话形象的表达了复分析在数学的地位!

三个大师的复分析

Ahlfors,  Complex Analysis
Henri Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables
Kodaira, Complex Analysis
Ahlfors 不是这个星球的人物,  他的基础数学的学生必看的书是 “思想”的书, 几何与拓扑的办法, 观点现代.
Cartan 借用拓扑与代数的概念, 使用的是 Weierstrass 的观点. 有高等教育的中译本《解析函数论初步》
Kodaira 本人用分析做代数几何. 他的书观点更接近 Riemann, 准确反映了复分析发展的原动力.

除此,下面几个书应该提到:
A. I. Markushevich, Theory of Functions of a Complex Variable 超过 1100 页
Siegel, Topics in Complex Function Theory, vol 1, 2, 3

其实, 现在 使用较多的几个教材是(意思是不见得都非常好)
Elias M. Stein &Rami Shakarchi,
Theodore Gamelin
Serge Lang( Shakarchi 写有这书的解答)
俄文的 《复分析导论》
要特别提一下的是, 较少人注意, 刚引进影印的一套书 Eberhard Freitag, 也非常赞的!

中文
1. 龚升, 简明复分析
2. 史济怀,  复变函数
3. 李忠,  复分析导引
4: 张南岳 , 陈怀惠, 复变函数论选讲
5. 余家荣, 路见可,复变函数专题选讲
中文的书, 在我暂时的看法, 1, 2 应该是最好的.
简明复分析, 受到广泛的赞扬. 这书的英文版比中文版多两章. 想了解复分析和别的领域的联系, 数学如何是一个整体, 这书必看. Cauchy- Riemann 方程是一个偏微分方程组, 但这书没有涉及复分析与偏微分方程的联系.
后三本不适合刚接触复分析的学生, 是用来深入的.

方企勤的《复变函数》, 本身没有任何特点, 很多内容都是照搬别的书(书末的参考文献), 因此不推荐. 顺便提一下, 第三章习题 33 最后的答案有一个错误。
钟玉泉 复变函数论, 发行很多, 有一些数学系使用这个书. 非常容易上手, 细节也很详细, 也有配套的辅导书.  大致可以了解单复分析有些啥基本内容. 不建议. 但如果找最容易入门的书, 这个可以拿来.

我们主要的参考书是:

  1. Lars V. Ahlfors, Complex analysis, third edition(有中译本)
  2. Kunihiko Kodaira, Complex analysis
  3. Henri Cartan, Elementary Theory of analytic functions of one or several complex variables(解析函数论初步, 有余家荣的中译本, 高等教育出版社)
  4. Elias M.Stein&Rami Shakarchi, Complex analysis
  5. Raghavan Narasimhan&Yves Nievergelt, Complex analysis in complex variable, second edition
  6. John B. Conway, Functions of one complex variable, second edition(有中译本)
  7. John B. Conway, Functions of one complex variable II
  8. M. A. Lavrentieff & B. V. Shabat, Methods of  Functions of a complex variable, Sixth Edition(有中译本)
  9. Mats Andersson, Topics in complex analysis
  10. Serge Lang, Complex analysis
  11. Peter D. Lax&Lawrence Zalcman, Complex proofs of real theorems
  12. Sheng Gong(龚升), Concise complex analysis(简明复分析), second edition(有中英版本)
  13. Tristan Needham, Visual complex analysis(复分析:可视化方法, 有齐民友的中译本)
  14. 史济怀, 刘太顺, 复变函数,中国科技大学出版社,1998
  15. 李忠,复分析导引,北京大学出版社,2004
  16. 张南岳,陈怀惠, 复变函数论选讲,北京大学出版社,1995
  17. 余家荣,路见可, 复变函数专题选讲, 高等教育出版社, 1993初版, 2012再版