Feb 262013
 

从今天开始, 我们将有一系列的关于复分析(Complex analysis) 的笔记, 首先当然是单复分析. 单复分析是数学系本科生的一门必修的基础课.

复分析在数学的核心地位, 毋庸置疑! 现代数学, 无论多么显著的成就, 都可以在复分析找到其思想的源头.
学复变之前, 最好是懂那么一点抽象代数, 点集拓扑, 哪怕一点点双曲几何.
自学的话, 也许不可得其神韵!

单复分析 = Cauchy- Riemann 方程

Cauchy- Riemann 方程是一个偏微分方程组. Cauchy 标志一个时代的结束, 而 Riemann 则预示新时代的开启! 这句话形象的表达了复分析在数学的地位!

三个大师的复分析

Ahlfors,  Complex Analysis
Henri Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables
Kodaira, Complex Analysis
Ahlfors 不是这个星球的人物,  他的基础数学的学生必看的书是 “思想”的书, 几何与拓扑的办法, 观点现代.
Cartan 借用拓扑与代数的概念, 使用的是 Weierstrass 的观点. 有高等教育的中译本《解析函数论初步》
Kodaira 本人用分析做代数几何. 他的书观点更接近 Riemann, 准确反映了复分析发展的原动力.

除此,下面几个书应该提到:
A. I. Markushevich, Theory of Functions of a Complex Variable 超过 1100 页
Siegel, Topics in Complex Function Theory, vol 1, 2, 3

其实, 现在 使用较多的几个教材是(意思是不见得都非常好)
Elias M. Stein &Rami Shakarchi,
Theodore Gamelin
Serge Lang( Shakarchi 写有这书的解答)
俄文的 《复分析导论》
要特别提一下的是, 较少人注意, 刚引进影印的一套书 Eberhard Freitag, 也非常赞的!

中文
1. 龚升, 简明复分析
2. 史济怀,  复变函数
3. 李忠,  复分析导引
4: 张南岳 , 陈怀惠, 复变函数论选讲
5. 余家荣, 路见可,复变函数专题选讲
中文的书, 在我暂时的看法, 1, 2 应该是最好的.
简明复分析, 受到广泛的赞扬. 这书的英文版比中文版多两章. 想了解复分析和别的领域的联系, 数学如何是一个整体, 这书必看. Cauchy- Riemann 方程是一个偏微分方程组, 但这书没有涉及复分析与偏微分方程的联系.
后三本不适合刚接触复分析的学生, 是用来深入的.

方企勤的《复变函数》, 本身没有任何特点, 很多内容都是照搬别的书(书末的参考文献), 因此不推荐. 顺便提一下, 第三章习题 33 最后的答案有一个错误。
钟玉泉 复变函数论, 发行很多, 有一些数学系使用这个书. 非常容易上手, 细节也很详细, 也有配套的辅导书.  大致可以了解单复分析有些啥基本内容. 不建议. 但如果找最容易入门的书, 这个可以拿来.

我们主要的参考书是:

  1. Lars V. Ahlfors, Complex analysis, third edition(有中译本)
  2. Kunihiko Kodaira, Complex analysis
  3. Henri Cartan, Elementary Theory of analytic functions of one or several complex variables(解析函数论初步, 有余家荣的中译本, 高等教育出版社)
  4. Elias M.Stein&Rami Shakarchi, Complex analysis
  5. Raghavan Narasimhan&Yves Nievergelt, Complex analysis in complex variable, second edition
  6. John B. Conway, Functions of one complex variable, second edition(有中译本)
  7. John B. Conway, Functions of one complex variable II
  8. M. A. Lavrentieff & B. V. Shabat, Methods of  Functions of a complex variable, Sixth Edition(有中译本)
  9. Mats Andersson, Topics in complex analysis
  10. Serge Lang, Complex analysis
  11. Peter D. Lax&Lawrence Zalcman, Complex proofs of real theorems
  12. Sheng Gong(龚升), Concise complex analysis(简明复分析), second edition(有中英版本)
  13. Tristan Needham, Visual complex analysis(复分析:可视化方法, 有齐民友的中译本)
  14. 史济怀, 刘太顺, 复变函数,中国科技大学出版社,1998
  15. 李忠,复分析导引,北京大学出版社,2004
  16. 张南岳,陈怀惠, 复变函数论选讲,北京大学出版社,1995
  17. 余家荣,路见可, 复变函数专题选讲, 高等教育出版社, 1993初版, 2012再版