Dec 272018
 

北京时间 2018 年 12 月 23 日下午初试的高等代数与解析几何

\(\Bbb R\) 表示实数域; \(\Bbb C\) 表示复数域; \( A^T\) 表示 \(A\) 的转置; \(E_{ij}\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为 \(1\) 其余为 \(0\) 的矩阵.

1. \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\) 是 \(\Bbb R^n\) 上线性无关的列向量组,\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\) 是 \(\Bbb R^m\) 上线性无关的列向量组. 若有实数 \(c_{ij}\) 使得

\[\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^tc_{ij}\alpha_i\beta_j^{T}=\textbf{0}.\]

证明系数 \(c_{ij}\) 全为 \(0\).

2.实数域上的 \(3\) 阶方阵 \(A\) 满足 \(AA^T=A^TA\), 且 \(A\neq A^T\).
(1) 证明存在正交矩阵 \(P\) 使得
\[P^TAP=
\begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & c \\
0 & -c & b \\
\end{pmatrix},\]

其中 \(a\), \(b\), \(c\) 都是实数.

(2) 若 \(A=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3a_{ij}E_{ij}\), \(AA^T=A^TA=I_3\), 且 \(|A|=1\).证明 \(1\) 是 \(A\) 的一个特征值, 且求属于特征值\(1\) 的特征向量.

3. \(A\) 是复数域上的一个 \(n\) 阶方阵, \(A\) 的特征值为\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\). 定义 \(M_n(\Bbb C)\) 上的变换 \(T\) 为

\[\begin{split}T\colon M_n(\Bbb C)&\longrightarrow M_n(\Bbb C)\\
B&\longmapsto AB-BA , \forall B\in M_n(\Bbb C)\end{split}\]

(1) 求变换 \(T\) 的特征值;
(2) 若 \(A\) 可对角化, 证明 \(T\) 也可对角化.

4. \(A\) 为 \(n\) 级实对称矩阵,令

\[S=\{X|X^TAX=0, X\in \Bbb R^n.\}\]

(1)求 \(S\) 为 \(\Bbb R^n\) 中的一个子空间的充要条件并证明;
(2)若 \(S\) 为 \(\Bbb R^n\) 中的一个子空间, 求 \(\dim S\).

5. 给定任意实数 \(\varepsilon\gt0\), 证明对任意的 \(n\) 阶实矩阵 \(A\), 存在一个 \(n\) 阶对角矩阵 \(D\), 每个对角元为 \(\varepsilon\) 或 \(-\varepsilon\) 中的一个,使得
\[|A+D|\ne 0.\]

6. 给了空间中两条异面直线的方程(不记得了),求两条直线的距离和公垂线方程.

7. 在空间中有三条直线两两异面,且不平行于同一个平面, 证明空间中与这三条直线都共面的直线集是一个单叶双曲面.

8. 证明平面与双曲抛物面的交线不可能是一个椭圆.

Dec 252018
 

北京时间 2018 年 12 月 23 日上午数学基础考试1

1. 讨论数列 \(a_n=\sqrt[n]{1+ \sqrt[n]{2+ \sqrt[n]{3+\dotsm+ \sqrt[n]n } } }\) (\(n\) 个根号) 的敛散性.

2. 设 \(f(x)\in C[a,b]\) 且 \(f(a)=f(b)\), 证明: \(\exists x_n\), \(y_n\in[a,b]\)s.t. \(\lim\limits_{n\to\infty}\big(x_n-y_n\big)=0\) 且 \(f(x_n)=f(y_n)\), \(\forall n\in \Bbb N\).

3. 证明 \(\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kC_n^k\frac1{k+m+1}=
\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kC_m^k\frac1{k+n+1} \), 其中 \(m\), \(n\) 是正整数.

4. 无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^\infty(1+a_n)\) 收敛, 是否级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛? 若是, 给出证明; 若不是, 举出例子.

5. 设 \(f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty x^n\ln x \), 计算 \(\int_0^1 f(x) \mathrm dx\).

6. 设函数 \(f(x)\) 在 \((0, +\infty)\) 二阶可导, 且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) 存在,  \(f^{\prime\prime}(x)\) 有界. 证明: \(\lim\limits_{x\to+\infty}f^{\prime}(x)=0\).

7. 设数列 \(\{x_n\}\) 有界,  \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n+1}-x_n)=0\), 且 \(\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=l\), \(\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=L\)(\(l\lt L\)). 证明: \([l, L]\) 中的每一个点都是数列 \(\{x_n\}\) 的某一子列的极限.

8. 对 \(p\gt0\) 讨论级数  \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin\frac{n\pi}4}{n^p+\sin\frac{n\pi}4}\) 的绝对收敛性和收敛性.

9. 求函数 \(f(x)=\dfrac{2x\sin\theta}{1-2x\cos\theta+x^2}\) 在 \(x=0\) 点的 Taylor 展式, 其中 \(\theta\in\Bbb R\) 是常数, 并计算积分 \(\int_0^\pi\ln(1-2x\cos\theta+x^2) \mathrm d\theta\).

10. 证明 \(\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x} \mathrm dx=\dfrac\pi2\), 并计算 \(\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin^2 yx}{x^2} \mathrm dx \).

Feb 122018
 

北京时间 2017 年 12 月 24 日上午的数学分析

下面的试题, 除了第 3 与第 5 题与实际考卷稍有出入, 其余的题与考场上卷子的用词句子甚至排版都是完全一模一样的!

1. 证明如下极限:

(1)  \(\lim\limits_{n\to\infty}\Big(1+\int_0^1\dfrac{\sin^n x}{x^n}\;dx\Big)^n=+\infty\);
(2)  \(\lim\limits_{n\to\infty}\Big(\int_0^1\dfrac{\sin x^n}{x^n}\;dx\Big)^n=\prod\limits_{k=1}^{+\infty}e^{\frac{(-1)^k}{2k(2k+1)!}}\);
(3) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\ln\Big(1+\dfrac{k^2-k}{n^2}\Big)=\ln 2-2+\dfrac\pi2\).

2. \(f\in C(0,1)\), \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\alpha\lt\beta=\dfrac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}\), 这里 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\in(0, 1)\). 证明: 对任意 \(\lambda\in(\alpha, \beta)\), 存在 \(x_5\), \(x_6\in(0, 1)\), 使得 \(\lambda=\dfrac{f(x_6)-f(x_5)}{x_6-x_5}\).

3. 设 \(\gamma\) 是联结 \(\Bbb R^3\) 中两点 \(A\), \(B\) 的长度为 \(L\) 的光滑曲线, \(U\) 是包含 \(\gamma\) 的 \(\Bbb R^3\) 中的开集, \(f\) 在 \(U\) 中的两个偏导数存在且在 \(\gamma\) 上连续. 梯度 \(\nabla f\) 的长度在 \(\gamma\) 上的界为 \(M\). 证明:

\[|f(A)-f(B)|\leqslant ML.\]

4. \(f\) 在 \((0, 0)\) 点局部三阶连续可微, \(D_R\) 表示圆盘: \(x^2+y^2\leqslant R^2\). 计算:

\[\lim_{R\to0^+}\dfrac1{R^4}\iint_{D_R}\Big(f(x, y)-f(0, 0)\Big) dxdy.\]

5. \(\varphi(x)\) 在 \(0\) 处可导, \(\varphi(0)=0\), \(f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 点局部 \(2\) 阶连续可微, \(f\) 的两个偏导数在 \((x,\varphi(x) )\) 上恒为 \(0\). \(\big(\partial_{ij}f(0, 0)\big)_{2\times2}\) 为半正定非 \(0\) 阵. 证明 \(f\) 在 \((0, 0)\) 为取极小值.

6. 证明: \(e^{-x}+\cos2x+x\sin x=0\)
在区间 \(\big((2n-1)\pi, (2n+1)\pi\big)\) 恰有两个根 \(x_{2n-1}\lt x_{2n}\),
\(\forall n=1\), \(2\), \(3\), \(\dotsc\).
证明如下极限存在并求之: \(\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^{n-1}n(x_n-n\pi)\).

7. 证明: \(\lim\limits_{x\to0}\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\cos nx}n=+\infty\).

8. \(\forall x\in[1,+\infty)\), \(f(x)\gt0\), \(f^{\prime\prime}(x)\leqslant0\), 且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). 证明如下极限存在并求之:

\[\lim_{s\to0+}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{f^s(n)}.\]

Dec 252016
 

北京时间 25 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析

1.(10分) 证明: \(\lim\limits_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx=0.\)

2.(10分) 证明: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }\) 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是 \(\alpha \gt \frac12\).

3.(10分) 设\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛. 证明 \(\lim\limits_{s\rightarrow 0+}\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_nn^{-s}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\).

4.(10分) 称 \(\gamma (t)=(x(t),y(t))\)(\(t\in \) 属于某个区间\(I\)) 是 \(\Bbb R^2\)上\(C^1\) 向量场 \((P(x,y),Q(x,y))\) 的积分曲线, 若 \({x}'(t)=P(\gamma (t))\), \({y}'(t)=Q(\gamma (t)),\forall t\in I\), 设 \(P_x+Q_y\) 在 \(\Bbb R^2\) 上处处非零, 证明向量场 \((P,Q)\) 的积分曲线不可能封闭(单点情形除外).

5.(20分) 设 \(x_0=1,x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1}, n=1,2,\dotsc \). 证明: 当 \(x\rightarrow \infty \) 时, \(x_n-\frac{\pi }{2}=o(\frac{1}{n^n})\).

6.(20分) 设 \(f\in C[0,1],\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\alpha \lt \beta =\lim\limits_{x\rightarrow 1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\). 证明: \(\forall \lambda \in (\alpha ,\beta),\exists x_1,x_2\in [0,1]\), 使得 \( \lambda =\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\).

7. (20分) 设 \(f\) 是 \((0,+\infty)\) 上的凸(或凹)函数且 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\) 存在有限, 则 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf'(x)=0\) (仅在 \(f\) 可导的点考虑极限过程).

8. (20分)设 \(\phi\in C^3(\mathbb{R}^3)\), \(\phi\) 及其各个偏导数 \(\partial_i\phi(i=1,2,3)\) 在点 \(x_0\in \mathbb{R}^3\) 处取值都是 \(0\). \(x_0\) 点的 \(\delta\) 邻域记为 \(U_\delta(\delta>0)\). 如果 \(\left(\partial_{ij}^2\phi(X_0)\right)_{3\times 3}\) 是严格正定的, 则当 \(\delta\) 充分小时, 证明如下极限存在并求之:

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } t^{\frac32}\iiint_{{U _\delta }} {{e^{ – t\phi\left( {x_1,x_2,x_3} \right)}}\,dx_1dx_2dx_3} .\]

9. (30分) 将\((0,\pi)\)上常值函数 \(f(x)=1\) 进行周期 \(2\pi\) 奇延拓并展为正弦级数:

\[f(x)\sim \frac4\pi\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n-1}\sin (2n-1)x.\]

该 Fourier 级数的前\(n\)项和记为\(S_n(x)\), 则 \(\displaystyle \forall x\in (0,\pi), S_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin 2nt}{\sin t}dt\), 且 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n(x)=1\). 证明 \(S_n(x)\) 的最大值点是 \(\displaystyle \frac\pi{2n}\) 且 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\left(\frac\pi{2n}\right)=\frac 2\pi \int_0^\pi\frac{\sin t}t dt\).

Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 1

Dec 282015
 

北京时间 27 日下午举行的硕士研究生初试的高等代数与解析几何

1. 在 \(\Bbb R^3\)上定义线性变换 \(A\), \(A\) 在自然基

\[\varepsilon_1=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0\end{array}\right),\varepsilon_2=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right),\varepsilon_3=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1\end{array}\right)\]

下的矩阵为

\[\left(\begin{array}{ccc}
0&1&-1\\
0&0&1\\
0&0&0\end{array}\right)\]

求 \(\Bbb R^3\) 的一组基,使得 \(A\) 在这组基下具有 Jordan 标准型.

2. \(3\) 阶实矩阵 \(A\) 的特征多项式为 \(x^3-3x^2+4x-2\). 证明 \(A\) 不是对称阵, 也不是正交阵

3. 在所有 \(2\) 阶实方阵上, 定义二次型 \(f\colon X \rightarrow Tr(X^2)\). 求 \(f\) 的秩和符号差.

4. 设 \(V\) 是有限维线性空间, \(A\), \(B\)是 \(V\) 上线性变换满足下面条件
(1) \(AB=O\), 这里 \(O\) 是 \(0\) 变换;
(2) \(A\) 的任意不变子空间也是 \(B\) 的不变子空间;
(3) \(A^5+A^4+A^3+A^2+A=O\).
证明 \(BA=O\).

5. 设 \(V\) 是全体次数不超过 \(n\) 的实系数多项式组成的线性空间, 定义线性变换 \(A\colon f(x)\rightarrow f(1-x)\). 求 \(A\) 的特征值和对应的特征子空间.

6. 计算如下的行列式,各行底数为等差数列,各列底数也为如此,所有指数都是 \(50\):

\[\left|\begin{array}{ccccc}
1^{50}&2^{50}&3^{50}&\cdots &100^{50}\\
2^{50}&3^{50}&4^{50}&\cdots &101^{50}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
100^{50}&101^{50}&102^{50}&\cdots& 199^{50}\\\end{array}\right|\]

7.设 \(V\) 是复数域上有限维线性空间 \(A\) 是 \(V\) 上线性变换, \(A\) 在一组基下矩阵为 \(F\).
(1) 若 \(A\) 可对角化对任意 \(A\) 的不变子空间 \(U\), 存在 \(U\) 的一个补空间 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间;
(2) 若对任意 \(A\) 的不变子空间 \(U\),存在 \(U\) 的一个补空间 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间,证明 \(F\) 可对角化.

8. 平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆(或圆).详细论证这一点

9. 平面 \(Ax+By+Cz+D=0\) 与双曲抛物面 \(2z=x^2-y^2\) 交于两条直线
证明 \(A^2-B^2-2CD=0\).

10. 正十二面体有12个面, 每个面为正五边形, 每个顶点连接3条棱. 有一个半径为 \(r\) 的球与它的各个面都相切, 有一个半径为 \(R\) 的中心在原点的球通过它的所有顶点. 求 \(\dfrac rR\).

Dec 272015
 

北京时间 27 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析

1. 用开覆盖定理证明闭区间上的连续函数必一致连续.

2.  \(f(x)\) 是 \([a,b]\) 上的实函数. 叙述关于 Riemann 和

\[\sum_{k=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})\]

的Cauchy准则(不用证明), 并用你叙述的Cauchy准则证明闭区间上的单调函数可积.

3. \((a,b)\) 上的连续函数 \(f(x)\) 有反函数.证明反函数连续

4. \(f(x_1,x_2,x_3)\)是 \(C^2\)映射,

\[\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,x_2^0,x_3^0)\not =0\]

证明关于 \(f\) 的隐函数定理 \(x_1=x_1(x_2,x_3)\). 证明 \(x_1=x_1(x_2,x_3)\) 二次可微并求出 \(\frac{\partial^2 x_1}{\partial x_2\partial x_3}\) 的表达式.

5. \(n\ge m\), \(f\colon U\subseteq R^n\rightarrow R^m\) 是 \(C^1\) 映射, \(U\) 为开集且 \(f\) 的 Jacobi 矩阵秩处处为 \(m\). 证明 \(f\) 将 \(U\) 中的开集映为开集.

6. \(x_1=\sqrt{2}\), \(x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\), \(n=1\), \(2\), \(\dotsc\). 证明 \(\{x_n\}\) 收敛并求极限值.

7. 证明 \(\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x \mathrm dx\) 收敛, 并求值(写出计算过程)

8. (A)证明若 \([a,b]\)上的多项式序列 \(p_n(x)\)使得 \(\int_a^b p_n^2(x)dx=1\), \(\int_a^b p_m(x)p_n(x)dx=0\), \(m\ne n\), 并使得对于 \([a,b]\) 上的连续函数 \(f(x)\) 若 \(\int_a^b f(x)p_n(x)dx=0,\forall n\) 必有\(f\equiv 0\). (B)设 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 平方可积, \(g\) 关于 A 中 \(p_n\) 的展式系数为 \(g(x)\sim\int_a^b g(x)p_n(x)dx\)问 \(\int_a^b g^2(x)dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left[\int_a^b g(x)p_n(x)dx\right]^2\)是否成立?

9. 正项级数 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n\) 收敛, \(\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=0\). \(c_n=a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots +a_nb_1\). 证明 \(\{c_n\}\) 收敛并求 \(\lim\limits_{n\to +\infty}c_n\).

10. 幂级数 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nx^n\) 收敛半径为 \(R\), \(0\lt R\lt+\infty\). 证明 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nR^n\) 收敛的充要条件为 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nx^n\) 在 \([0,R)\)一致收敛.

Aug 232015
 

第二届“北大中学生数学奖夏令营” 已于 8 月 15 日至 8 月 19 日在北京大学举办. 10 个考试题目不错, 虽然陈题特别多. 主要是为了最后的那个题, 才来写这个解答.

1.  一椭圆和双曲线有公共焦点, 双曲线上一点沿该点切线方向射出一条光线. 求证: 这条光线经椭圆反射后与双曲线相切.

椭圆 \(C_1\) 与双曲线 \(C_2\) 有相同的焦点. 点 \(P\) 在 \(C_2\) 上, 且 \(A\) 在 \(C_1\) 内部. 过 \(A\) 作 \(C_2\) 的切线 \(l\).
求证: \(l\) 经 \(C_1\) 反射一次后仍与 \(C_2\) 相切.

这个漂亮的证明来自贴吧网友拨弦转轴三两声.

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 1

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 1

设 \(B\) 和 \(C\) 是椭圆与双曲线共有的两个焦点. 设 \(l\) 交椭圆于点 \(D\); \(l\) 的反射光线是 \(l^\prime\). 记 \(B\) 关于 \(l^\prime\) 的对称点是 \(F\); \(CF\) 与 \(l^\prime\) 的交点记作 \(G\). 于是 \(\triangle BDG\cong\triangle FDG\). 记 \(C\) 关于 \(AD\) 的对称点是 \(H\), 于是 \(\triangle CDA\cong\triangle HDA\).

椭圆的光学性质表明 \(\angle BDG=\angle CDA\); 双曲线的光学性质表明 \(H\) 落在 \(BA\) 上.

由 \(\angle BDG=\angle FDG=\angle CDA=\angle HGA\) 导出 \(\angle BDH=\angle FDC\). 再注意 \(DB=DF\), \(DH=DC\), 所以

\[\triangle BDH\cong\triangle FDC.\]

于是 \(BH=FC\).

然后,

\[GC-GB=\Big(GF+FC\Big)-GF=FC,\]

\[AB-AC=\Big(AH+HB\Big)-AH=BH.\]

至此, \(GC-GB=AB-AC\) 说明 \(G\) 也在双曲线上.

\(\angle BGD=\angle CGD\) 道出了 \(GD\), 即反射光线 \(l^\prime\), 与双曲线相切.

2.  \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), \(b_4\in\Bbb R\), \(p\in(0, 1)\).
\(a_1\leq a_2\leq a_4\), \(a_1\leq a_3\leq a_4\), \(b_1\leq b_2\leq b_4\), \(b_1\leq b_3\leq b_4\).

求证:
\begin{equation}\begin{split}&\hspace3.75ex a_1b_1(1-p)^2+(a_2b_2+a_3b_3)p(1-p)+a_4b_4p^2\\&\geq\Big[a_1(1-p)^2+(a_2+a_3)p(1-p)+a_4p^2\Big]\Big[b_1(1-p)^2+(b_2+b_3)p(1-p)+b_4p^2\Big]\end{split}\end{equation}

我们先来证明一个加权的 Chebyshev’s inequlity:

设 \(x_1\leq x_2\), 且 \(y_1\leq y_2\), 和任意的 \(p\), \(0\leq p\leq1\), 都有

\begin{equation}(1-p)x_1y_1+px_2y_2\geq\big((1-p)x_1+px_2\big)\big((1-p)y_1+py_2\big).\end{equation}

事实上, 由 Chebyshev’s inequlity,

\begin{equation}\begin{split}(1-p)x_1y_1+px_2y_2&=\Big((1-p)^2x_1y_1+p(1-p)x_1y_1\Big)+\Big(p(1-p)x_2y_2+p^2x_2y_2\Big)\\&=(1-p)^2x_1y_1+p(1-p)\Big(x_1y_1+x_2y_2\Big)+p^2x_2y_2\\&\geq (1-p)^2x_1y_1+p(1-p)\Big(x_1y_2+x_2y_1\Big)+p^2x_2y_2\\&= (1-p)^2x_1y_1+p(1-p)x_1y_2+p(1-p)x_2y_1+p^2x_2y_2\\&=\big((1-p)x_1+px_2\big)\big((1-p)y_1+py_2\big). \end{split}\end{equation}

然后, 使用这个加权的 Chebyshev’s inequlity 两次:

\begin{equation}\begin{split}&\hspace3.75ex a_1b_1(1-p)^2+(a_2b_2+a_3b_3)p(1-p)+a_4b_4p^2\\&=(1-p)\Big((1-p)a_1b_1+pa_2b_2\Big)+p\Big((1-p)a_3b_3+pa_4b_4\Big)\\&\geq (1-p)\Big((1-p)a_1+pa_2\Big)\Big((1-p)b_1+pb_2)\Big)+p\Big((1-p)a_3+pa_4\Big)\Big((1-p)b_3+pb_4\Big)\\&\geq\Big[(1-p)\Big((1-p)a_1+pa_2\Big)+p\Big((1-p)a_3+pa_4\Big)\Big]\Big[(1-p)\Big((1-p)b_1+pb_2\Big)+p\Big((1-p)b_3+pb_4\Big)\Big]\\&=\Big[a_1(1-p)^2+(a_2+a_3)p(1-p)+a_4p^2\Big]\Big[b_1(1-p)^2+(b_2+b_3)p(1-p)+b_4p^2\Big].\end{split}\end{equation}

3.  \(\alpha\), \(\beta\in\Bbb R\). 求证: 存在无穷多个 \(n\in\Bbb N\), 使得 \(\sin^2n\alpha+\sin^2n\beta\lt\dfrac{2\pi^2}n\).

这与实数的联立有理逼近(simultaneous approximation)的经典问题有关. 工具是经典的 Dirichlet’s approximation theorem 的 Simultaneous 版本:

设 \(\vartheta_1\), \(\vartheta_2\), \(\dotsc\), \(\vartheta_n\) 是 \(n\) 个实数, 并且不全是有理数. 那么, 存在无穷多整数组 \((p_1, p_2,\dotsc, p_n, q)\), 其中 \(q\) 是正整数, 使得

\[\Big|\vartheta_i-\frac{p_i}q\Big|\lt\frac1{q^{1+\frac1n}},\; i=1, 2, \dotsc, n.\]

4.  \(f(x)\) 是定义在 \([0, 2015]\) 上的连续函数, 且 \(f(0)=f(2015)\). 求满足下列条件的实数对 \((x, y)\) 的个数的最小值: (1) \(f(x)=f(y)\); (2) \(x-y\in\Bbb N_+\).

大学新生很流行的题目, 可以在很多书上找到. 这里只是把 \(n\) 换成了 \(2015\).

不用归纳法, 也可以证明满足要求的实数对 \((x, y)\) 的个数至少是 \(n\): 构造辅助函数, 使用连续函数的介值定理即可.

要说明 \(n\) 确实是最小值, 还需要一个例子.

\[f(x)=\Big| x-\frac n2\Big|\]

即可.

5.  已知 \(x_1\), \(x_2\) 是方程 \(x^3-3x+1=0\) 的某两个不同的根. 是否存在有理数 \(a\), \(b\), \(c\), 使得 \(x_1=ax_2^2+bx_2+c\)? 若存在, 请求出所有这样的 \((a, b, c)\); 若不存在, 请说明理由.

很多人都应该见过或者在考场做过这么一个几何证明:

在 \(\triangle ABC\) 中, \(AB=AC\), \(\angle A=100^\circ\). \(\angle B\) 的平分线 \(BD\) 交 \(AC\) 于点 \(D\). 那么, \(BC=BD+AD\).

不知道有没有人算过 \(BC\) 到底是多少?

假定 \(AB=1\). 设 \(BC=a\). 内角平分线性质定理给出 \(AD=\dfrac1{a+1}\), \(CD=\dfrac a{a+1}\). Stewart 定理给出了 \(BD\) 的长度:

\[BD^2=\frac{a^2}{a+1}+\frac a{a+1}-\frac a{(a+1)^2}=a-\frac a{(a+1)^2}.\]

于是, 我们可有

\begin{equation}\sqrt{a-\frac a{(a+1)^2}}+\frac1{a+1}=a.\end{equation}

\begin{equation}\sqrt{a-\frac a{(a+1)^2}}=a-\frac1{a+1}.\end{equation}

两边平方, 整理, 可得

\begin{equation}a^3-3a+1=0.\end{equation}

这告诉我们, \(a\) 是 \(x^3-3x+1=0\) 的一个正根. 显然, \(a\gt1\). 容易看出, 这方程在开区间 \((0, 1)\) 有一个根. 至于第三个实根, 当然 \(\lt-1\), 因为这方程三个根的和是 \(0\).

\(\angle ABC=\angle ACB=40^\circ\). 很容易知道

\[a=2\cos 40^\circ.\]

\(x^3-3x+1=0\) 在开区间 \((0, 1)\) 的那个根是多少? 有了上面的启发, 考虑一个等腰三角形. \((6)\) 的右边如果变号, 也就是 \((5)\) 如果是下面这样

\begin{equation}\sqrt{a-\frac a{(a+1)^2}}+a=\frac1{a+1},\end{equation}

一样可以得到 \((7)\).

那么, 什么样的等腰三角形符合要求? 在 \(\triangle ABC\) 中, \(AB=AC\). \(\angle B\) 的平分线 \(BD\) 交 \(AC\) 于点 \(D\)., \(AD=BD+BC\). 那么 \(\angle A\) 是多少?

答案是: \(20^\circ\).

如何证明?

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 5.1

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 5.1

在 \(CB\) 的延长线上取点 \(E\), 使得 \(EC=ED\).

显然, \(E\) 即是线段 \(CD\) 的中垂线与 \(BC\) 的交点, 即直线 \(BC\) 上使得 \(\angle EDC=\angle C\) 的那个点,  为什么 \(E\) 必定在\(CB\) 的延长线上呢? \(AD\gt BD\) 蕴涵 \(\angle DBA\gt\angle A\). 于是,

\[\angle BDC=\angle DBA+\angle A\lt2\angle DBA=\angle C.\]

过 \(D\) 作 \(DF\parallel BC\), 交 \(AB\) 于点 \(F\). 四边形 \(BCDF\) 是等腰梯形; \(CD=BF=FD\). \(\triangle ECD\) 和 \(\triangle AFD\) 是底角相同的等腰三角形: \(\angle ECD=\angle ADF\). 至此, \(\triangle ECD\cong \triangle AFD\).  \(EC=AD\), 即 \(EB+BC=BD+BC\), 所以 \(EB=BD\). 换言之, \(\triangle BDE\) 也是等腰三角形.

设 \(\angle CED=\alpha\). 于是 \(\angle BAC=\alpha\), \(\angle CBD=2\alpha\), \(\angle ABC=4\alpha\). 故而

\[\alpha+4\alpha\times2=180^\circ.\]

\(\alpha=20^\circ\).

反过来, 在 \(\triangle ABC\) 中, \(AB=AC\), \(\angle A=20^\circ\). \(\angle B\) 的平分线 \(BD\) 交 \(AC\) 于点 \(D\). 那么, \(AD=BD+BC\).

6. \(\triangle ABC\) 中, \(O\) 是外心. \(\triangle ABC\) 内部存在点 \(P_A\), \(P_B\), \(P_C\), 使得

\[\triangle P_AAB\sim\triangle P_ACA,\; \triangle P_BBC\sim\triangle P_BAB,\; \triangle P_CCA\sim\triangle P_CBC.\]

求证: \(O\), \(P_A\), \(P_B\), \(P_C\) 四点共圆.

下面的图来自贴吧网友 Clifford_0

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 6

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 6

\(AC\), \(AB\) 分别是 \(\triangle ABP_A\), \(\triangle ACP_A\) 的外接圆的切线. 设 \(\triangle ABP_A\), \(\triangle ACP_A\) 的外心分别是 \(O_1\), \(O_2\), 则 \(O_1A\perp AC\), \(O_2A\perp AB\), 并且 \(OO_1\), \(OO_2\) 分别是 \(AB\), \(AC\) 的中垂线. 于是, 四边形 \(AO_1OO_2\) 是平行四边形. 注意 \(O_1O_2\) 是 \(AP_A\) 的中垂线, 因此, 四边形 \(O_1OP_AO_2\) 是等腰梯形, 进而 \(OP_A\parallel O_1O_2\), \(OP_A\perp O_1O_2\).

\[\frac{\sin\angle BAP_A}{\sin\angle CAP_A}=\frac{\sin\angle BAP_A}{\sin\angle ABP_A}=\frac{P_AB}{P_AA}=\frac{AB}{AC}.\]

同样可得另外两个式子. 于是

\[\frac{\sin\angle BAP_A}{\sin\angle CAP_A}\cdot\frac{\sin\angle CBP_B}{\sin\angle ABP_B}\cdot\frac{\sin\angle ACP_C}{\sin\angle BCP_C}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{BC}{AB}\cdot\frac{AC}{BC}=1.\]

这表明, \(AP_A\), \(BP_B\), \(CP_C\) 三线交于一点, 设为 \(K\)(共轭重心). 然后, \(OP_A\perp O_1O_2\) 蕴涵 \(KP_AO=90^\circ\). 这也就是说, \(P_A\) 落在以 \(OK\) 为直径的圆上. 类似, \(P_B\), \(P_C\) 都在这个圆上.

7.  给定整数 \(n\geq2\). 求正实数 \(t\) 的取值范围, 使得对于所有的 \(x_1+x_2+\dotsb+x_n=n\), \(x_i\geq0\)(\(i=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(n\)), 均有

\[\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{x_i^2+t}\leq\frac n{1+t}\]

成立.

8.  \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_n\in\Bbb N_+\), \(\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\dotsb+\dfrac1{a_n}=1\). 求证: \(\max\{a_1, a_2, \dotsc, a_n\}\leq n^{2^{n-1}}\).

9.  \(s\), \(k\) 是给定的正整数, \(\Bbb F\) 是一些 \(k\) 元集合构成的集族.

是否存在正整数 \(c\), 使得只要 \(\Bbb F\) 中的元素个数不小于 \(c\), 则必存在 \(\Bbb F\) 中的 \(s\) 个 \(k\) 元集合 \(A_1\), \(A_2\), \(\dotsc\), \(A_s\), 满足: 对任意 \(1\leq i\), \(j\), \(p\), \(q\leq s\), \(i\ne j\), \(p\ne q\), 均有 \(A_i\cap A_j=A_p\cap A_q\)?

10.  \(\alpha\gt0\). 求证: 存在无穷多个正整数 \(n\), 使得 \([n^2\alpha]\) 为偶数.

本题有两个做法.

第一个途径是指出 \(\{n^k\alpha\}\) 在 \([0, 1]\) 稠密, 这里 \(k\) 是正整数.

这个事实的证明, 又有两个办法.

第一个手段是 Weyl’s Criterion, 详细论证请参考 “An Invitation to Modern Number Theory” 第 12 章, Steven J. Miller and Ramin Takloo-Bighash; 第二个工具是 van der Waerden’s theorem, 可以参看 Terence Tao 的 The ergodic and combinatorial approaches to Szemerédi’s theorem, 但需要进一步的补充. 这值得单独写一篇文章, 请参考吴昊发在”中等数学”(2015 年 12月)的论文”\(\{n^k\alpha\}\) 稠密性的初等证明”(本站有此文 An Elementary Proof on dense of \(\{n^k\alpha\}\))

这里实际上 \(k=2\). 下面采用二进制. 下面的证明出自贴吧网友 huugvbkk 之笔:

若 \(\alpha=\dfrac pq\) (\(p\), \(q\) 为任意的正整数)为有理数, 则 \(n=2kq\)(\(k\) 为任意的正整数) 使得 \([n^2\alpha]\) 为偶数.

当 \(\alpha\) 为无理数. 用反证法.

假定不存在无穷多个正整数 \(n\), 使得 \([n^2\alpha]\) 为偶数. 于是, 存在正整数 \(N\), 使得任意正整数 \(n\gt N\), \([n^2\alpha]\) 为奇数.

正整数 \(n\gt N\), 命 \(n^2\alpha\) 的二进制表示为

\[\overline{a_ka_{k-1}\ldots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots}\]

显然, \(a_0=1\).

对任意的正整数 \(t\), \([2^{2t}n^2\alpha]\) 为奇数, 故此  \(a_0=a_{-2}=a_{-4}=\dotsb=a_{-2t}=1\).

于是,  \(n^2\alpha\) 的二进制为

\[\overline{\ldots 1.b_11b_21\ldots},\]

进而, \(8n^2\alpha\) 的二进制是

\[\overline{\ldots b_2.1b_41\ldots}.\]

设  \(9n^2\alpha=(3n)^2\alpha\) 的二进制为

\[\overline{\ldots 1.c_11c_21c_31\ldots}.\]

如果存在正整数 \(M\), 使得当 \(i\gt M\) 时, 总有 \(b_i=0\), 则 \(n^2\alpha\) 为有理数.

同样, 如果存在正整数 \(M\), 使得当 \(i\gt M\) 时, 总有 \(b_i=1\), 则 \(n^2\alpha\) 为有理数.

于是, 可取正整数 \(i\gt1\), 使得 \(b_i=1\), \(b_{i+1}=0\). 此时,

\[n^2\alpha=\dotsb+\frac{b_{i-1}}{2^{2i-3}}+\frac1{2^{2i-2}}+\frac1{2^{2i-1}}+x,\]

\[8n^2\alpha=\dotsb+\frac1{2^{2i-3}}+\frac1{2^{2i-1}}+y\]

这里, \(x\) 与 \(y\) 分别是 \(n^2\alpha\) 与 \(n^2\alpha\) 的小数点的从第 \(2i\) 位起, 以后的全部总和, 此时, \(x\), \(y\lt\frac1{2^{2i-1}}\)

因此,
\begin{equation}\begin{split}n^2\alpha+8n^2\alpha&=\Big(\dotsb+\frac{b_{i-1}}{2^{2i-3}}+\frac1{2^{2i-2}}+\frac1{2^{2i-1}}+x\Big)+\Big(\dotsb+\frac1{2^{2i-3}}+\frac1{2^{2i-1}}+y\Big)\\
&=\dotsb+\frac{b_{i-1}+1+1}{2^{2i-3}}+\Big(x+y\Big).\end{split}\end{equation}

\(x+y\lt\frac1{2^{2i-2}}\) 蕴涵 \(n^2\alpha+8n^2\alpha \) 的小数点后第 \(2i-2\) 位是 \(0\). 但是, 事实上, \(9n^2\alpha\) 的小数点后第 \(2i-2\) 位不是 \(0\), 是 \(1\). 矛盾!