Dec 252016
 

北京时间 25 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析

1.(10分) 证明: \(\lim\limits_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx=0.\)

2.(10分) 证明: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }\) 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是 \(\alpha \gt \frac12\).

3.(10分) 设\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛. 证明 \(\lim\limits_{s\rightarrow 0+}\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_nn^{-s}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\).

4.(10分) 称 \(\gamma (t)=(x(t),y(t))\)(\(t\in \) 属于某个区间\(I\)) 是 \(\Bbb R^2\)上\(C^1\) 向量场 \((P(x,y),Q(x,y))\) 的积分曲线, 若 \({x}'(t)=P(\gamma (t))\), \({y}'(t)=Q(\gamma (t)),\forall t\in I\), 设 \(P_x+Q_y\) 在 \(\Bbb R^2\) 上处处非零, 证明向量场 \((P,Q)\) 的积分曲线不可能封闭(单点情形除外).

5.(20分) 设 \(x_0=1,x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1}, n=1,2,\dotsc \). 证明: 当 \(x\rightarrow \infty \) 时, \(x_n-\frac{\pi }{2}=o(\frac{1}{n^n})\).

6.(20分) 设 \(f\in C[0,1],\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\alpha \lt \beta =\lim\limits_{x\rightarrow 1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\). 证明: \(\forall \lambda \in (\alpha ,\beta),\exists x_1,x_2\in [0,1]\), 使得 \( \lambda =\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\).

7. (20分) 设 \(f\) 是 \((0,+\infty)\) 上的凸(或凹)函数且 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\) 存在有限, 则 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf'(x)=0\) (仅在 \(f\) 可导的点考虑极限过程).

8. (20分)设 \(\phi\in C^3(\mathbb{R}^3)\), \(\phi\) 及其各个偏导数 \(\partial_i\phi(i=1,2,3)\) 在点 \(x_0\in \mathbb{R}^3\) 处取值都是 \(0\). \(x_0\) 点的 \(\delta\) 邻域记为 \(U_\delta(\delta>0)\). 如果 \(\left(\partial_{ij}^2\phi(X_0)\right)_{3\times 3}\) 是严格正定的, 则当 \(\delta\) 充分小时, 证明如下极限存在并求之:

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } t^{\frac32}\iiint_{{U _\delta }} {{e^{ – t\phi\left( {x_1,x_2,x_3} \right)}}\,dx_1dx_2dx_3} .\]

9. (30分) 将\((0,\pi)\)上常值函数 \(f(x)=1\) 进行周期 \(2\pi\) 奇延拓并展为正弦级数:

\[f(x)\sim \frac4\pi\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n-1}\sin (2n-1)x.\]

该 Fourier 级数的前\(n\)项和记为\(S_n(x)\), 则 \(\displaystyle \forall x\in (0,\pi), S_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin 2nt}{\sin t}dt\), 且 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n(x)=1\). 证明 \(S_n(x)\) 的最大值点是 \(\displaystyle \frac\pi{2n}\) 且 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\left(\frac\pi{2n}\right)=\frac 2\pi \int_0^\pi\frac{\sin t}t dt\).

Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 1

Dec 282015
 

北京时间 27 日下午举行的硕士研究生初试的高等代数与解析几何

1. 在 \(\Bbb R^3\)上定义线性变换 \(A\), \(A\) 在自然基

\[\varepsilon_1=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0\end{array}\right),\varepsilon_2=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right),\varepsilon_3=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1\end{array}\right)\]

下的矩阵为

\[\left(\begin{array}{ccc}
0&1&-1\\
0&0&1\\
0&0&0\end{array}\right)\]

求 \(\Bbb R^3\) 的一组基,使得 \(A\) 在这组基下具有 Jordan 标准型.

2. \(3\) 阶实矩阵 \(A\) 的特征多项式为 \(x^3-3x^2+4x-2\). 证明 \(A\) 不是对称阵, 也不是正交阵

3. 在所有 \(2\) 阶实方阵上, 定义二次型 \(f\colon X \rightarrow Tr(X^2)\). 求 \(f\) 的秩和符号差.

4. 设 \(V\) 是有限维线性空间, \(A\), \(B\)是 \(V\) 上线性变换满足下面条件
(1) \(AB=O\), 这里 \(O\) 是 \(0\) 变换;
(2) \(A\) 的任意不变子空间也是 \(B\) 的不变子空间;
(3) \(A^5+A^4+A^3+A^2+A=O\).
证明 \(BA=O\).

5. 设 \(V\) 是全体次数不超过 \(n\) 的实系数多项式组成的线性空间, 定义线性变换 \(A\colon f(x)\rightarrow f(1-x)\). 求 \(A\) 的特征值和对应的特征子空间.

6. 计算如下的行列式,各行底数为等差数列,各列底数也为如此,所有指数都是 \(50\):

\[\left|\begin{array}{ccccc}
1^{50}&2^{50}&3^{50}&\cdots &100^{50}\\
2^{50}&3^{50}&4^{50}&\cdots &101^{50}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
100^{50}&101^{50}&102^{50}&\cdots& 199^{50}\\\end{array}\right|\]

7.设 \(V\) 是复数域上有限维线性空间 \(A\) 是 \(V\) 上线性变换, \(A\) 在一组基下矩阵为 \(F\).
(1) 若 \(A\) 可对角化对任意 \(A\) 的不变子空间 \(U\), 存在 \(U\) 的一个补空间 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间;
(2) 若对任意 \(A\) 的不变子空间 \(U\),存在 \(U\) 的一个补空间 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间,证明 \(F\) 可对角化.

8. 平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆(或圆).详细论证这一点

9. 平面 \(Ax+By+Cz+D=0\) 与双曲抛物面 \(2z=x^2-y^2\) 交于两条直线
证明 \(A^2-B^2-2CD=0\).

10. 正十二面体有12个面, 每个面为正五边形, 每个顶点连接3条棱. 有一个半径为 \(r\) 的球与它的各个面都相切, 有一个半径为 \(R\) 的中心在原点的球通过它的所有顶点. 求 \(\dfrac rR\).

Dec 272015
 

北京时间 27 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析

1. 用开覆盖定理证明闭区间上的连续函数必一致连续.

2.  \(f(x)\) 是 \([a,b]\) 上的实函数. 叙述关于 Riemann 和

\[\sum_{k=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})\]

的Cauchy准则(不用证明), 并用你叙述的Cauchy准则证明闭区间上的单调函数可积.

3. \((a,b)\) 上的连续函数 \(f(x)\) 有反函数.证明反函数连续

4. \(f(x_1,x_2,x_3)\)是 \(C^2\)映射,

\[\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,x_2^0,x_3^0)\not =0\]

证明关于 \(f\) 的隐函数定理 \(x_1=x_1(x_2,x_3)\). 证明 \(x_1=x_1(x_2,x_3)\) 二次可微并求出 \(\frac{\partial^2 x_1}{\partial x_2\partial x_3}\) 的表达式.

5. \(n\ge m\), \(f\colon U\subseteq R^n\rightarrow R^m\) 是 \(C^1\) 映射, \(U\) 为开集且 \(f\) 的 Jacobi 矩阵秩处处为 \(m\). 证明 \(f\) 将 \(U\) 中的开集映为开集.

6. \(x_1=\sqrt{2}\), \(x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\), \(n=1\), \(2\), \(\dotsc\). 证明 \(\{x_n\}\) 收敛并求极限值.

7. 证明 \(\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x \mathrm dx\) 收敛, 并求值(写出计算过程)

8. (A)证明若 \([a,b]\)上的多项式序列 \(p_n(x)\)使得 \(\int_a^b p_n^2(x)dx=1\), \(\int_a^b p_m(x)p_n(x)dx=0\), \(m\ne n\), 并使得对于 \([a,b]\) 上的连续函数 \(f(x)\) 若 \(\int_a^b f(x)p_n(x)dx=0,\forall n\) 必有\(f\equiv 0\). (B)设 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 平方可积, \(g\) 关于 A 中 \(p_n\) 的展式系数为 \(g(x)\sim\int_a^b g(x)p_n(x)dx\)问 \(\int_a^b g^2(x)dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\int_a^b g(x)p_n(x)dx\right]^2\)是否成立?

9. 正项级数 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n\) 收敛, \(\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=0\). \(c_n=a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots +a_nb_1\). 证明 \(\{c_n\}\) 收敛并求 \(\lim\limits_{n\to +\infty}c_n\).

10. 幂级数 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nx^n\) 收敛半径为 \(R\), \(0\lt R\lt+\infty\). 证明 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nR^n\) 收敛的充要条件为 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nx^n\) 在 \([0,R)\)一致收敛.

Aug 232015
 

第二届“北大中学生数学奖夏令营” 已于 8 月 15 日至 8 月 19 日在北京大学举办. 10 个考试题目不错, 虽然陈题特别多. 主要是为了最后的那个题, 才来写这个解答.

1.  一椭圆和双曲线有公共焦点, 双曲线上一点沿该点切线方向射出一条光线. 求证: 这条光线经椭圆反射后与双曲线相切.

椭圆 \(C_1\) 与双曲线 \(C_2\) 有相同的焦点. 点 \(P\) 在 \(C_2\) 上, 且 \(A\) 在 \(C_1\) 内部. 过 \(A\) 作 \(C_2\) 的切线 \(l\).
求证: \(l\) 经 \(C_1\) 反射一次后仍与 \(C_2\) 相切.

这个漂亮的证明来自贴吧网友拨弦转轴三两声.

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 1

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 1

设 \(B\) 和 \(C\) 是椭圆与双曲线共有的两个焦点. 设 \(l\) 交椭圆于点 \(D\); \(l\) 的反射光线是 \(l^\prime\). 记 \(B\) 关于 \(l^\prime\) 的对称点是 \(F\); \(CF\) 与 \(l^\prime\) 的交点记作 \(G\). 于是 \(\triangle BDG\cong\triangle FDG\). 记 \(C\) 关于 \(AD\) 的对称点是 \(H\), 于是 \(\triangle CDA\cong\triangle HDA\).

椭圆的光学性质表明 \(\angle BDG=\angle CDA\); 双曲线的光学性质表明 \(H\) 落在 \(BA\) 上.

由 \(\angle BDG=\angle FDG=\angle CDA=\angle HGA\) 导出 \(\angle BDH=\angle FDC\). 再注意 \(DB=DF\), \(DH=DC\), 所以

\[\triangle BDH\cong\triangle FDC.\]

于是 \(BH=FC\).

然后,

\[GC-GB=\Big(GF+FC\Big)-GF=FC,\]

\[AB-AC=\Big(AH+HB\Big)-AH=BH.\]

至此, \(GC-GB=AB-AC\) 说明 \(G\) 也在双曲线上.

\(\angle BGD=\angle CGD\) 道出了 \(GD\), 即反射光线 \(l^\prime\), 与双曲线相切.

2.  \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), \(b_4\in\Bbb R\), \(p\in(0, 1)\).
\(a_1\leq a_2\leq a_4\), \(a_1\leq a_3\leq a_4\), \(b_1\leq b_2\leq b_4\), \(b_1\leq b_3\leq b_4\).

求证:
\begin{equation}\begin{split}&\hspace3.75ex a_1b_1(1-p)^2+(a_2b_2+a_3b_3)p(1-p)+a_4b_4p^2\\&\geq\Big[a_1(1-p)^2+(a_2+a_3)p(1-p)+a_4p^2\Big]\Big[b_1(1-p)^2+(b_2+b_3)p(1-p)+b_4p^2\Big]\end{split}\end{equation}

我们先来证明一个加权的 Chebyshev’s inequlity:

设 \(x_1\leq x_2\), 且 \(y_1\leq y_2\), 和任意的 \(p\), \(0\leq p\leq1\), 都有

\begin{equation}(1-p)x_1y_1+px_2y_2\geq\big((1-p)x_1+px_2\big)\big((1-p)y_1+py_2\big).\end{equation}

事实上, 由 Chebyshev’s inequlity,

\begin{equation}\begin{split}(1-p)x_1y_1+px_2y_2&=\Big((1-p)^2x_1y_1+p(1-p)x_1y_1\Big)+\Big(p(1-p)x_2y_2+p^2x_2y_2\Big)\\&=(1-p)^2x_1y_1+p(1-p)\Big(x_1y_1+x_2y_2\Big)+p^2x_2y_2\\&\geq (1-p)^2x_1y_1+p(1-p)\Big(x_1y_2+x_2y_1\Big)+p^2x_2y_2\\&= (1-p)^2x_1y_1+p(1-p)x_1y_2+p(1-p)x_2y_1+p^2x_2y_2\\&=\big((1-p)x_1+px_2\big)\big((1-p)y_1+py_2\big). \end{split}\end{equation}

然后, 使用这个加权的 Chebyshev’s inequlity 两次:

\begin{equation}\begin{split}&\hspace3.75ex a_1b_1(1-p)^2+(a_2b_2+a_3b_3)p(1-p)+a_4b_4p^2\\&=(1-p)\Big((1-p)a_1b_1+pa_2b_2\Big)+p\Big((1-p)a_3b_3+pa_4b_4\Big)\\&\geq (1-p)\Big((1-p)a_1+pa_2\Big)\Big((1-p)b_1+pb_2)\Big)+p\Big((1-p)a_3+pa_4\Big)\Big((1-p)b_3+pb_4\Big)\\&\geq\Big[(1-p)\Big((1-p)a_1+pa_2\Big)+p\Big((1-p)a_3+pa_4\Big)\Big]\Big[(1-p)\Big((1-p)b_1+pb_2\Big)+p\Big((1-p)b_3+pb_4\Big)\Big]\\&=\Big[a_1(1-p)^2+(a_2+a_3)p(1-p)+a_4p^2\Big]\Big[b_1(1-p)^2+(b_2+b_3)p(1-p)+b_4p^2\Big].\end{split}\end{equation}

3.  \(\alpha\), \(\beta\in\Bbb R\). 求证: 存在无穷多个 \(n\in\Bbb N\), 使得 \(\sin^2n\alpha+\sin^2n\beta\lt\dfrac{2\pi^2}n\).

这与实数的联立有理逼近(simultaneous approximation)的经典问题有关. 工具是经典的 Dirichlet’s approximation theorem 的 Simultaneous 版本:

设 \(\vartheta_1\), \(\vartheta_2\), \(\dotsc\), \(\vartheta_n\) 是 \(n\) 个实数, 并且不全是有理数. 那么, 存在无穷多整数组 \((p_1, p_2,\dotsc, p_n, q)\), 其中 \(q\) 是正整数, 使得

\[\Big|\vartheta_i-\frac{p_i}q\Big|\lt\frac1{q^{1+\frac1n}},\; i=1, 2, \dotsc, n.\]

4.  \(f(x)\) 是定义在 \([0, 2015]\) 上的连续函数, 且 \(f(0)=f(2015)\). 求满足下列条件的实数对 \((x, y)\) 的个数的最小值: (1) \(f(x)=f(y)\); (2) \(x-y\in\Bbb N_+\).

大学新生很流行的题目, 可以在很多书上找到. 这里只是把 \(n\) 换成了 \(2015\).

不用归纳法, 也可以证明满足要求的实数对 \((x, y)\) 的个数至少是 \(n\): 构造辅助函数, 使用连续函数的介值定理即可.

要说明 \(n\) 确实是最小值, 还需要一个例子.

\[f(x)=\Big| x-\frac n2\Big|\]

即可.

5.  已知 \(x_1\), \(x_2\) 是方程 \(x^3-3x+1=0\) 的某两个不同的根. 是否存在有理数 \(a\), \(b\), \(c\), 使得 \(x_1=ax_2^2+bx_2+c\)? 若存在, 请求出所有这样的 \((a, b, c)\); 若不存在, 请说明理由.

很多人都应该见过或者在考场做过这么一个几何证明:

在 \(\triangle ABC\) 中, \(AB=AC\), \(\angle A=100^\circ\). \(\angle B\) 的平分线 \(BD\) 交 \(AC\) 于点 \(D\). 那么, \(BC=BD+AD\).

不知道有没有人算过 \(BC\) 到底是多少?

假定 \(AB=1\). 设 \(BC=a\). 内角平分线性质定理给出 \(AD=\dfrac1{a+1}\), \(CD=\dfrac a{a+1}\). Stewart 定理给出了 \(BD\) 的长度:

\[BD^2=\frac{a^2}{a+1}+\frac a{a+1}-\frac a{(a+1)^2}=a-\frac a{(a+1)^2}.\]

于是, 我们可有

\begin{equation}\sqrt{a-\frac a{(a+1)^2}}+\frac1{a+1}=a.\end{equation}

\begin{equation}\sqrt{a-\frac a{(a+1)^2}}=a-\frac1{a+1}.\end{equation}

两边平方, 整理, 可得

\begin{equation}a^3-3a+1=0.\end{equation}

这告诉我们, \(a\) 是 \(x^3-3x+1=0\) 的一个正根. 显然, \(a\gt1\). 容易看出, 这方程在开区间 \((0, 1)\) 有一个根. 至于第三个实根, 当然 \(\lt-1\), 因为这方程三个根的和是 \(0\).

\(\angle ABC=\angle ACB=40^\circ\). 很容易知道

\[a=2\cos 40^\circ.\]

\(x^3-3x+1=0\) 在开区间 \((0, 1)\) 的那个根是多少? 有了上面的启发, 考虑一个等腰三角形. \((6)\) 的右边如果变号, 也就是 \((5)\) 如果是下面这样

\begin{equation}\sqrt{a-\frac a{(a+1)^2}}+a=\frac1{a+1},\end{equation}

一样可以得到 \((7)\).

那么, 什么样的等腰三角形符合要求? 在 \(\triangle ABC\) 中, \(AB=AC\). \(\angle B\) 的平分线 \(BD\) 交 \(AC\) 于点 \(D\)., \(AD=BD+BC\). 那么 \(\angle A\) 是多少?

答案是: \(20^\circ\).

如何证明?

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 5.1

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 5.1

在 \(CB\) 的延长线上取点 \(E\), 使得 \(EC=ED\).

显然, \(E\) 即是线段 \(CD\) 的中垂线与 \(BC\) 的交点, 即直线 \(BC\) 上使得 \(\angle EDC=\angle C\) 的那个点,  为什么 \(E\) 必定在\(CB\) 的延长线上呢? \(AD\gt BD\) 蕴涵 \(\angle DBA\gt\angle A\). 于是,

\[\angle BDC=\angle DBA+\angle A\lt2\angle DBA=\angle C.\]

过 \(D\) 作 \(DF\parallel BC\), 交 \(AB\) 于点 \(F\). 四边形 \(BCDF\) 是等腰梯形; \(CD=BF=FD\). \(\triangle ECD\) 和 \(\triangle AFD\) 是底角相同的等腰三角形: \(\angle ECD=\angle ADF\). 至此, \(\triangle ECD\cong \triangle AFD\).  \(EC=AD\), 即 \(EB+BC=BD+BC\), 所以 \(EB=BD\). 换言之, \(\triangle BDE\) 也是等腰三角形.

设 \(\angle CED=\alpha\). 于是 \(\angle BAC=\alpha\), \(\angle CBD=2\alpha\), \(\angle ABC=4\alpha\). 故而

\[\alpha+4\alpha\times2=180^\circ.\]

\(\alpha=20^\circ\).

反过来, 在 \(\triangle ABC\) 中, \(AB=AC\), \(\angle A=20^\circ\). \(\angle B\) 的平分线 \(BD\) 交 \(AC\) 于点 \(D\). 那么, \(AD=BD+BC\).

6. \(\triangle ABC\) 中, \(O\) 是外心. \(\triangle ABC\) 内部存在点 \(P_A\), \(P_B\), \(P_C\), 使得

\[\triangle P_AAB\sim\triangle P_ACA,\; \triangle P_BBC\sim\triangle P_BAB,\; \triangle P_CCA\sim\triangle P_CBC.\]

求证: \(O\), \(P_A\), \(P_B\), \(P_C\) 四点共圆.

下面的图来自贴吧网友 Clifford_0

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 6

Peking University math summer camp for middle school 2015 problem 6

\(AC\), \(AB\) 分别是 \(\triangle ABP_A\), \(\triangle ACP_A\) 的外接圆的切线. 设 \(\triangle ABP_A\), \(\triangle ACP_A\) 的外心分别是 \(O_1\), \(O_2\), 则 \(O_1A\perp AC\), \(O_2A\perp AB\), 并且 \(OO_1\), \(OO_2\) 分别是 \(AB\), \(AC\) 的中垂线. 于是, 四边形 \(AO_1OO_2\) 是平行四边形. 注意 \(O_1O_2\) 是 \(AP_A\) 的中垂线, 因此, 四边形 \(O_1OP_AO_2\) 是等腰梯形, 进而 \(OP_A\parallel O_1O_2\), \(OP_A\perp O_1O_2\).

\[\frac{\sin\angle BAP_A}{\sin\angle CAP_A}=\frac{\sin\angle BAP_A}{\sin\angle ABP_A}=\frac{P_AB}{P_AA}=\frac{AB}{AC}.\]

同样可得另外两个式子. 于是

\[\frac{\sin\angle BAP_A}{\sin\angle CAP_A}\cdot\frac{\sin\angle CBP_B}{\sin\angle ABP_B}\cdot\frac{\sin\angle ACP_C}{\sin\angle BCP_C}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{BC}{AB}\cdot\frac{AC}{BC}=1.\]

这表明, \(AP_A\), \(BP_B\), \(CP_C\) 三线交于一点, 设为 \(K\)(共轭重心). 然后, \(OP_A\perp O_1O_2\) 蕴涵 \(KP_AO=90^\circ\). 这也就是说, \(P_A\) 落在以 \(OK\) 为直径的圆上. 类似, \(P_B\), \(P_C\) 都在这个圆上.

7.  给定整数 \(n\geq2\). 求正实数 \(t\) 的取值范围, 使得对于所有的 \(x_1+x_2+\dotsb+x_n=n\), \(x_i\geq0\)(\(i=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(n\)), 均有

\[\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{x_i^2+t}\leq\frac n{1+t}\]

成立.

8.  \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_n\in\Bbb N_+\), \(\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\dotsb+\dfrac1{a_n}=1\). 求证: \(\max\{a_1, a_2, \dotsc, a_n\}\leq n^{2^{n-1}}\).

9.  \(s\), \(k\) 是给定的正整数, \(\Bbb F\) 是一些 \(k\) 元集合构成的集族.

是否存在正整数 \(c\), 使得只要 \(\Bbb F\) 中的元素个数不小于 \(c\), 则必存在 \(\Bbb F\) 中的 \(s\) 个 \(k\) 元集合 \(A_1\), \(A_2\), \(\dotsc\), \(A_s\), 满足: 对任意 \(1\leq i\), \(j\), \(p\), \(q\leq s\), \(i\ne j\), \(p\ne q\), 均有 \(A_i\cap A_j=A_p\cap A_q\)?

10.  \(\alpha\gt0\). 求证: 存在无穷多个正整数 \(n\), 使得 \([n^2\alpha]\) 为偶数.

本题有两个做法.

第一个途径是指出 \(\{n^k\alpha\}\) 在 \([0, 1]\) 稠密, 这里 \(k\) 是正整数.

这个事实的证明, 又有两个办法.

第一个手段是 Weyl’s Criterion, 详细论证请参考 “An Invitation to Modern Number Theory” 第 12 章, Steven J. Miller and Ramin Takloo-Bighash; 第二个工具是 van der Waerden’s theorem, 可以参看 Terence Tao 的 The ergodic and combinatorial approaches to Szemerédi’s theorem, 但需要进一步的补充. 这值得单独写一篇文章, 请参考吴昊发在”中等数学”(2015 年 12月)的论文”\(\{n^k\alpha\}\) 稠密性的初等证明”(本站有此文 An Elementary Proof on dense of \(\{n^k\alpha\}\))

这里实际上 \(k=2\). 下面采用二进制. 下面的证明出自贴吧网友 huugvbkk 之笔:

若 \(\alpha=\dfrac pq\) (\(p\), \(q\) 为任意的正整数)为有理数, 则 \(n=2kq\)(\(k\) 为任意的正整数) 使得 \([n^2\alpha]\) 为偶数.

当 \(\alpha\) 为无理数. 用反证法.

假定不存在无穷多个正整数 \(n\), 使得 \([n^2\alpha]\) 为偶数. 于是, 存在正整数 \(N\), 使得任意正整数 \(n\gt N\), \([n^2\alpha]\) 为奇数.

正整数 \(n\gt N\), 命 \(n^2\alpha\) 的二进制表示为

\[\overline{a_ka_{k-1}\ldots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots}\]

显然, \(a_0=1\).

对任意的正整数 \(t\), \([2^{2t}n^2\alpha]\) 为奇数, 故此  \(a_0=a_{-2}=a_{-4}=\dotsb=a_{-2t}=1\).

于是,  \(n^2\alpha\) 的二进制为

\[\overline{\ldots 1.b_11b_21\ldots},\]

进而, \(8n^2\alpha\) 的二进制是

\[\overline{\ldots b_2.1b_41\ldots}.\]

设  \(9n^2\alpha=(3n)^2\alpha\) 的二进制为

\[\overline{\ldots 1.c_11c_21c_31\ldots}.\]

如果存在正整数 \(M\), 使得当 \(i\gt M\) 时, 总有 \(b_i=0\), 则 \(n^2\alpha\) 为有理数.

同样, 如果存在正整数 \(M\), 使得当 \(i\gt M\) 时, 总有 \(b_i=1\), 则 \(n^2\alpha\) 为有理数.

于是, 可取正整数 \(i\gt1\), 使得 \(b_i=1\), \(b_{i+1}=0\). 此时,

\[n^2\alpha=\dotsb+\frac{b_{i-1}}{2^{2i-3}}+\frac1{2^{2i-2}}+\frac1{2^{2i-1}}+x,\]

\[8n^2\alpha=\dotsb+\frac1{2^{2i-3}}+\frac1{2^{2i-1}}+y\]

这里, \(x\) 与 \(y\) 分别是 \(n^2\alpha\) 与 \(n^2\alpha\) 的小数点的从第 \(2i\) 位起, 以后的全部总和, 此时, \(x\), \(y\lt\frac1{2^{2i-1}}\)

因此,
\begin{equation}\begin{split}n^2\alpha+8n^2\alpha&=\Big(\dotsb+\frac{b_{i-1}}{2^{2i-3}}+\frac1{2^{2i-2}}+\frac1{2^{2i-1}}+x\Big)+\Big(\dotsb+\frac1{2^{2i-3}}+\frac1{2^{2i-1}}+y\Big)\\
&=\dotsb+\frac{b_{i-1}+1+1}{2^{2i-3}}+\Big(x+y\Big).\end{split}\end{equation}

\(x+y\lt\frac1{2^{2i-2}}\) 蕴涵 \(n^2\alpha+8n^2\alpha \) 的小数点后第 \(2i-2\) 位是 \(0\). 但是, 事实上, \(9n^2\alpha\) 的小数点后第 \(2i-2\) 位不是 \(0\), 是 \(1\). 矛盾!

Dec 282014
 

北京时间 28 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析

1. 计算 \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt-x} {\sin x-x}\).

2. 论证积分 \(\int_1^{+\infty}\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\sin{\frac1x}\right]\,\mathrm dx\) 的敛散性.

3. 函数 \(f(x,y)=\begin{cases}\left(1-\cos\frac{x^2}y\right)\sqrt{x^2+y^2}, &y\ne0;\\0, & y=0.\end{cases}\) \(f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 是否可微? 说明理由.

4. 计算 \(\int_L e^x\left[\left(1-\cos y\right)\,\mathrm dx-\left(y-\sin y\right)\,\mathrm dy\right]\), 这里 \(L\) 是曲线 \(y=\sin x\) 从 \((0,0)\) 到 \((\pi,0)\).

5. 证明函数级数 \(\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1}\) 在 \((0,2\pi)\) 一致收敛, 并且在 \((0,2\pi)\) 有连续导数.

6. \(x_0=1\), \(x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n}\), \(n\geq 0\). 证明序列 \(\{x_n\}\) 收敛并求其极限.

7. 函数 \(f\in C^2(\Bbb R^2)\), 且对于任意 \((x,y)\in \Bbb R^2\), \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)\gt0\). 证明: \(f\) 没有极大值点.

8. \(f\) 在 \([a,b]\) 连续, 在 \((a,b)\) 可导, 且 \(f(b)\gt f(a)\). \(c=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). 证明: \(f\) 必具备下述两条性质中的一个:
(1) 任意 \(x\in[a,b]\), 有 \(f(x)-f(a)=c(x-a)\);
(2) 存在 \(\xi\in(a,b)\), 使得 \(f^\prime(\xi)\gt c\).

9. \(\mathbf F\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^2\) 是 \(C^1\) 映射, \(\mathbf F(x_0)=y_0\), \(x_0\in\Bbb R^3\), \(y_0\in\Bbb R^2\), 且 \(\mathbf F\) 在 \(x_0\) 处的 Jacobi 矩阵 \(\mathbf{DF}(x_0)\) 的秩为 \(2\). 证明: 存在 \(\varepsilon\gt0\), 以及 \(C^1\) 映射 \(\gamma(t)\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Bbb R^3\), 使得 \(\gamma^\prime(0)\) 是非零向量, 且 \(\mathbf F(\gamma(t))=y_0\).

10. \(U\subseteq\Bbb R^n\) 为开集, \(f\colon U\to\Bbb R^n\) 是同坯映射, 且 \(f\) 在 \(U\) 上一致连续. 证明: \(U=\Bbb R^n\).

Aug 092014
 

我本来也很自豪自己的奥赛经历, 直到有一天, 无意中在数学学院教务办公室门外听到两个老师谈起一个因为在中学参加过竞赛而觉得自己很优秀的学生时的刺耳的嘲笑……

楔子 姚一隽的说明

北京时间 2014-08-06 21:44, 就任数学竞赛吧吧主才 8 天的来自上海的北大数院本科生 eexplorer009 在数学竞赛吧贴出了一个说明, 关于第55届IMO中国国家队队员的一点说明. 帖子是今年中国的领队姚一隽委托吧主发的, 全文如下:

声明:该说明的来源为第55届IMO中国国家队领队姚一隽老师。本人受姚老师委托,将该说明于数学竞赛吧上公布。
以下为全文。

关于第55届IMO中国国家队队员的一点说明

各位各类数学竞赛培训活动的负责老师, 第55届IMO中国国家队的六位队员(高继扬,周韫坤,谌澜天,齐仁睿,黄一山,浦鸿铭),我个人对他们的一点要求是在取得最终学位之前,不从事任何商业性数学竞赛的培训辅导工作。请各位给我一个面子,今后几年配合他们完成我提的要求。 谢谢 。

姚一隽

今年的国家队员齐仁睿在 5 楼的回复, “想起来IMO闭幕式后我提起以前的数学竞赛题他还批评我。。。”,  图片上写的是: “对于你们要进大学或者打算到大学里听课的各位, 我跟你们也都已经说了, 进入大学以后会有一个相对麻烦的转型过程. 首先一点, 进大学以后在生活方面没人会来管你, 在学习方面也很难讲会有人真的关心你, 倒是会有很多人等着看你们的笑话, 会希望再有 IMO 金牌读不好大学的例子来佐证中学数学竞赛不是一个好东西. 从我个人的角度当然不愿意看到这样的事情发生, 但是你们也都是成年人了, 怎么读这个大学是你们自己的事情. 97 年国家队领队主教练都在北大也没能改变郑常津最终退学回家的命运, 更何况我在上海你们在北京……” 齐仁睿最后补充, “我只能说,中国好领队.

姚一隽其人

姚一隽是中国大陆第一个由 IMO 国家队队员华丽转身成为领队的人.

姚一隽这个名字第一次被注意到, 大概是 1995 年在加拿大举行的 IMO 结束后, 中国代表队的六名队员和领队的名字出现在当年第 4 期的中等数学. 1995 年不比现在, 没有电脑, 没有因特网, 中等数学是全国数学竞赛师生获取信息的惟一渠道. 别的杂志提供的信息零零散散, 数量极少.

这届 IMO 的题目, 可以认为是 IMO 史上最简单的之一. 姚一隽的成绩在中国六个队员中垫底. 不过, 张筑生去世以后, 一些队员, 其中有姚一隽, 朱晨畅, 柳耸(95 金牌), 姚健钢(94 金牌), 写回忆文章. 我看过好多篇, 从中推测, 在集训队, 姚一隽的成绩应该是相当好的, 而在 IMO 得满分的朱晨畅不是最好.

姚 1995 年从复旦附中毕业. 就在这个夏天, 他在加拿大拿到一枚银牌. 随后, 他进入复旦数学系继续学习. 在本科期间, 他有在中学的数学杂志提供, 比如俄罗斯的, 赛题答案.

姚一隽 1998 年从复旦毕业后赴法留学, 追随 Alain Connes 攻读非交换几何. 他 2010 年回复旦任教, 现在是副教授, 研究方向是泛函分析(算子代数).

奥林匹克数学

数学竞赛的功能

在北大数学系学习的金牌

我本来也很自豪自己的奥赛经历

我本来也很自豪自己的奥赛经历, 直到有一天, 无意中在数学学院教务办公室门外听到两个老师谈起一个因为在中学参加过竞赛而觉得自己很优秀的学生时的刺耳的嘲笑……

大陆金牌的成就

这个页面 List of International Mathematical Olympiad participants 值得特别关注.

我们还是回到 1995 年的 IMO. 中国的朱晨畅, 如今的 Goettingen 大学数学教授, 和刚刚获得 Fields Medal 的斯坦福教授 Maryam Mirzakhani, 当年的伊朗队员, 是当年的 14 个满分中仅有的两个女生.

几个月后, 1995 年底或者 1996 年春夏, 当年非常畅销的杂志 “中学生数理化” 在某一期的封二刊登了这届 IMO 中国代表队的几张照片. 我印象最深的是一张朱晨畅挂着金牌向观众招手的照片–朱晨畅的笑容, 高兴劲儿是只有视数学如生命的人才能有!

当朱晨畅听到第一个获得菲尔兹的女性数学家的名字的时候, 心里是什么滋味? 五味杂陈? 朱晨畅和 Maryam Mirzakhani 都是 1977 年出生, 是1995 年 IMO 拿到满分仅有的两个女生. 然后, 两人分别在各自的国家读大学, 都是 1999 年拿到学士学位后, 于同一个夏季赴美. 朱晨畅在 Berkeley, Maryam Mirzakhani 在 Harvard, 都是世界上最好的数学系的博士, 都是 2004 年拿下博士学位. 谈到对数学的爱, Maryam Mirzakhani 不会比朱晨畅更强烈. 为什么现在的学术成绩反差这么大?

关于大陆的教育

买买提的网友 nvbs 引用了金庸的”笑傲江湖”中的高手风清扬的一句话来评价那些吹嘘奥赛金牌的人:

五岳剑派中各有无数蠢才, 以为将师父传下来的剑招学得精熟, 自然而然便成高手, 哼哼, 熟读唐诗三百首, 不会作诗也会吟! 熟读了人家诗句, 做几首打油诗是可以的, 但若不能自出机抒, 能成大诗人么?

平常心

我能体会姚老师的良苦用心, 殷切的希望学生能顺利的完成学业, 能在数学上有所建树, 迫切的期望国家的数学能有世界先进.

但是, 这六名队员会有三个是真正爱好数学的吗? 愿意付出一生来从事学术, 探寻宇宙的奥秘?

真正把数学当生命的人, 如果不需要为钱操心就可以完成学业, 不会去做培训辅导来浪费青春.

数学竞赛吧是一个不能批评, 不能发表不同意见的地方. 管理员最喜爱的武器, 就是删帖封禁. 只能歌颂, 每天骂没有自由, 其实自己就在扼杀自由!

网友 Morientes15 的回复, 允许我写在这里:

对学生有这样的建议无可厚非, 你是人家什么人? 凭什么对学生提这样的要求, 你提供学生将来求学的学费么?! 需要互相尊重的年代, 老师给学生提建议是好的, 提一些合理要求鼓励.  这种要求合理么? 学生有自己的选择权. 姚老师太把自己当回事了.

Jul 112014
 

张益唐暑假在北京.

7 月他在母校北京大学的北京国际数学研究中心 (BICMR) 有一个系列的学术报告: Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function I, II, III. 这个报告分三场, 原定时间是 July 8, 10, 15,  2014 16:00-17:00, 地点是镜春园 78 号院的 77201 室.

BICMR 官网上这个报告的 Abstract 是这么写的:

The distribution of prime numbers is one of the most important subjects in number theory.

There are many interesting problems in this field. It may not be difficult to understand the problems themselves, but the solutions are extremely difficult.

In this series of talks we will describe the application of certain analytic tools to the distribution of prime numbers. In particular, the role played by the Riemann zeta function will be discussed. We will also describe some early and current researches on the Riemann Hypothesis.

These talks are open to everyone in the major of mathematics, including undergraduate students.

Yitang Zhang at BICMR Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

Yitang Zhang at BICMR :Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

8 日下午 4 点, 田刚现身. 因为人比较多, 改为在镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅进行. 主持人刘若川是 1999 年的 IMO 金牌(他本来也是 1998 年中国国家队的队员).

报告从复分析开始, 解析开拓,  zeta 函数的定义, 留数定理, 伯努利数, 然后

\[\zeta(2k)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{2k}}=(-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}\]

的两个证明:一个是欧拉给的, 一个来自 Riemann.

张大师说: 欧拉的算功无双, 本来可以证明 \(\zeta(3)\) 是无理数的, 他错过了这个证明.

听报告的人, 会知道张大师非常强调复变函数的极端重要性! 复变不行的人, 没法玩解析数论.

10 日下午 4 点的第二场, 依旧在镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅. 不过, 15 日的一场会在镜春园 78 号院的 77201 室, 16:30 开始.

大量的使用复变, 满黑板的解析数论公式. 今天的主要任务是质数定理的证明, 以及黎曼假设在质数分布的作用.

15 日下午 4:30 的最后一场, 要深入一点. 田刚坐在教室最后一排, 刘若川, 许晨阳坐在教室左边的走廊.张大师谈到有 Goldston, Pintz and Yildirim 的工作, 说他自己最大的贡献是把 \(c\) 改进为 \(\dfrac14+\dfrac1{1168}\).