Dec 282014
 

北京时间 28 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析

1. 计算 \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt-x} {\sin x-x}\).

2. 论证积分 \(\int_1^{+\infty}\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\sin{\frac1x}\right]\,\mathrm dx\) 的敛散性.

3. 函数 \(f(x,y)=\begin{cases}\left(1-\cos\frac{x^2}y\right)\sqrt{x^2+y^2}, &y\ne0;\\0, & y=0.\end{cases}\) \(f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 是否可微? 说明理由.

4. 计算 \(\int_L e^x\left[\left(1-\cos y\right)\,\mathrm dx-\left(y-\sin y\right)\,\mathrm dy\right]\), 这里 \(L\) 是曲线 \(y=\sin x\) 从 \((0,0)\) 到 \((\pi,0)\).

5. 证明函数级数 \(\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1}\) 在 \((0,2\pi)\) 一致收敛, 并且在 \((0,2\pi)\) 有连续导数.

6. \(x_0=1\), \(x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n}\), \(n\geq 0\). 证明序列 \(\{x_n\}\) 收敛并求其极限.

7. 函数 \(f\in C^2(\Bbb R^2)\), 且对于任意 \((x,y)\in \Bbb R^2\), \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)\gt0\). 证明: \(f\) 没有极大值点.

8. \(f\) 在 \([a,b]\) 连续, 在 \((a,b)\) 可导, 且 \(f(b)\gt f(a)\). \(c=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). 证明: \(f\) 必具备下述两条性质中的一个:
(1) 任意 \(x\in[a,b]\), 有 \(f(x)-f(a)=c(x-a)\);
(2) 存在 \(\xi\in(a,b)\), 使得 \(f^\prime(\xi)\gt c\).

9. \(\mathbf F\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^2\) 是 \(C^1\) 映射, \(\mathbf F(x_0)=y_0\), \(x_0\in\Bbb R^3\), \(y_0\in\Bbb R^2\), 且 \(\mathbf F\) 在 \(x_0\) 处的 Jacobi 矩阵 \(\mathbf{DF}(x_0)\) 的秩为 \(2\). 证明: 存在 \(\varepsilon\gt0\), 以及 \(C^1\) 映射 \(\gamma(t)\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Bbb R^3\), 使得 \(\gamma^\prime(0)\) 是非零向量, 且 \(\mathbf F(\gamma(t))=y_0\).

10. \(U\subseteq\Bbb R^n\) 为开集, \(f\colon U\to\Bbb R^n\) 是同坯映射, 且 \(f\) 在 \(U\) 上一致连续. 证明: \(U=\Bbb R^n\).

Aug 092014
 

我本来也很自豪自己的奥赛经历, 直到有一天, 无意中在数学学院教务办公室门外听到两个老师谈起一个因为在中学参加过竞赛而觉得自己很优秀的学生时的刺耳的嘲笑……

楔子 姚一隽的说明

北京时间 2014-08-06 21:44, 就任数学竞赛吧吧主才 8 天的来自上海的北大数院本科生 eexplorer009 在数学竞赛吧贴出了一个说明, 关于第55届IMO中国国家队队员的一点说明. 帖子是今年中国的领队姚一隽委托吧主发的, 全文如下:

声明:该说明的来源为第55届IMO中国国家队领队姚一隽老师。本人受姚老师委托,将该说明于数学竞赛吧上公布。
以下为全文。

关于第55届IMO中国国家队队员的一点说明

各位各类数学竞赛培训活动的负责老师, 第55届IMO中国国家队的六位队员(高继扬,周韫坤,谌澜天,齐仁睿,黄一山,浦鸿铭),我个人对他们的一点要求是在取得最终学位之前,不从事任何商业性数学竞赛的培训辅导工作。请各位给我一个面子,今后几年配合他们完成我提的要求。 谢谢 。

姚一隽

今年的国家队员齐仁睿在 5 楼的回复, “想起来IMO闭幕式后我提起以前的数学竞赛题他还批评我。。。”,  图片上写的是: “对于你们要进大学或者打算到大学里听课的各位, 我跟你们也都已经说了, 进入大学以后会有一个相对麻烦的转型过程. 首先一点, 进大学以后在生活方面没人会来管你, 在学习方面也很难讲会有人真的关心你, 倒是会有很多人等着看你们的笑话, 会希望再有 IMO 金牌读不好大学的例子来佐证中学数学竞赛不是一个好东西. 从我个人的角度当然不愿意看到这样的事情发生, 但是你们也都是成年人了, 怎么读这个大学是你们自己的事情. 97 年国家队领队主教练都在北大也没能改变郑常津最终退学回家的命运, 更何况我在上海你们在北京……” 齐仁睿最后补充, “我只能说,中国好领队.

姚一隽其人

姚一隽是中国大陆第一个由 IMO 国家队队员华丽转身成为领队的人.

姚一隽这个名字第一次被注意到, 大概是 1995 年在加拿大举行的 IMO 结束后, 中国代表队的六名队员和领队的名字出现在当年第 4 期的中等数学. 1995 年不比现在, 没有电脑, 没有因特网, 中等数学是全国数学竞赛师生获取信息的惟一渠道. 别的杂志提供的信息零零散散, 数量极少.

这届 IMO 的题目, 可以认为是 IMO 史上最简单的之一. 姚一隽的成绩在中国六个队员中垫底. 不过, 张筑生去世以后, 一些队员, 其中有姚一隽, 朱晨畅, 柳耸(95 金牌), 姚健钢(94 金牌), 写回忆文章. 我看过好多篇, 从中推测, 在集训队, 姚一隽的成绩应该是相当好的, 而在 IMO 得满分的朱晨畅不是最好.

姚 1995 年从复旦附中毕业. 就在这个夏天, 他在加拿大拿到一枚银牌. 随后, 他进入复旦数学系继续学习. 在本科期间, 他有在中学的数学杂志提供, 比如俄罗斯的, 赛题答案.

姚一隽 1998 年从复旦毕业后赴法留学, 追随 Alain Connes 攻读非交换几何. 他 2010 年回复旦任教, 现在是副教授, 研究方向是泛函分析(算子代数).

奥林匹克数学

数学竞赛的功能

在北大数学系学习的金牌

我本来也很自豪自己的奥赛经历

我本来也很自豪自己的奥赛经历, 直到有一天, 无意中在数学学院教务办公室门外听到两个老师谈起一个因为在中学参加过竞赛而觉得自己很优秀的学生时的刺耳的嘲笑……

大陆金牌的成就

这个页面 List of International Mathematical Olympiad participants 值得特别关注.

我们还是回到 1995 年的 IMO. 中国的朱晨畅, 如今的 Goettingen 大学数学教授, 和刚刚获得 Fields Medal 的斯坦福教授 Maryam Mirzakhani, 当年的伊朗队员, 是当年的 14 个满分中仅有的两个女生.

几个月后, 1995 年底或者 1996 年春夏, 当年非常畅销的杂志 “中学生数理化” 在某一期的封二刊登了这届 IMO 中国代表队的几张照片. 我印象最深的是一张朱晨畅挂着金牌向观众招手的照片–朱晨畅的笑容, 高兴劲儿是只有视数学如生命的人才能有!

当朱晨畅听到第一个获得菲尔兹的女性数学家的名字的时候, 心里是什么滋味? 五味杂陈? 朱晨畅和 Maryam Mirzakhani 都是 1977 年出生, 是1995 年 IMO 拿到满分仅有的两个女生. 然后, 两人分别在各自的国家读大学, 都是 1999 年拿到学士学位后, 于同一个夏季赴美. 朱晨畅在 Berkeley, Maryam Mirzakhani 在 Harvard, 都是世界上最好的数学系的博士, 都是 2004 年拿下博士学位. 谈到对数学的爱, Maryam Mirzakhani 不会比朱晨畅更强烈. 为什么现在的学术成绩反差这么大?

关于大陆的教育

买买提的网友 nvbs 引用了金庸的”笑傲江湖”中的高手风清扬的一句话来评价那些吹嘘奥赛金牌的人:

五岳剑派中各有无数蠢才, 以为将师父传下来的剑招学得精熟, 自然而然便成高手, 哼哼, 熟读唐诗三百首, 不会作诗也会吟! 熟读了人家诗句, 做几首打油诗是可以的, 但若不能自出机抒, 能成大诗人么?

平常心

我能体会姚老师的良苦用心, 殷切的希望学生能顺利的完成学业, 能在数学上有所建树, 迫切的期望国家的数学能有世界先进.

但是, 这六名队员会有三个是真正爱好数学的吗? 愿意付出一生来从事学术, 探寻宇宙的奥秘?

真正把数学当生命的人, 如果不需要为钱操心就可以完成学业, 不会去做培训辅导来浪费青春.

数学竞赛吧是一个不能批评, 不能发表不同意见的地方. 管理员最喜爱的武器, 就是删帖封禁. 只能歌颂, 每天骂没有自由, 其实自己就在扼杀自由!

网友 Morientes15 的回复, 允许我写在这里:

对学生有这样的建议无可厚非, 你是人家什么人? 凭什么对学生提这样的要求, 你提供学生将来求学的学费么?! 需要互相尊重的年代, 老师给学生提建议是好的, 提一些合理要求鼓励.  这种要求合理么? 学生有自己的选择权. 姚老师太把自己当回事了.

Jul 112014
 

张益唐暑假在北京.

7 月他在母校北京大学的北京国际数学研究中心 (BICMR) 有一个系列的学术报告: Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function I, II, III. 这个报告分三场, 原定时间是 July 8, 10, 15,  2014 16:00-17:00, 地点是镜春园 78 号院的 77201 室.

BICMR 官网上这个报告的 Abstract 是这么写的:

The distribution of prime numbers is one of the most important subjects in number theory.

There are many interesting problems in this field. It may not be difficult to understand the problems themselves, but the solutions are extremely difficult.

In this series of talks we will describe the application of certain analytic tools to the distribution of prime numbers. In particular, the role played by the Riemann zeta function will be discussed. We will also describe some early and current researches on the Riemann Hypothesis.

These talks are open to everyone in the major of mathematics, including undergraduate students.

Yitang Zhang at BICMR Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

Yitang Zhang at BICMR :Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

8 日下午 4 点, 田刚现身. 因为人比较多, 改为在镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅进行. 主持人刘若川是 1999 年的 IMO 金牌(他本来也是 1998 年中国国家队的队员).

报告从复分析开始, 解析开拓,  zeta 函数的定义, 留数定理, 伯努利数, 然后

\[\zeta(2k)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{2k}}=(-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}\]

的两个证明:一个是欧拉给的, 一个来自 Riemann.

张大师说: 欧拉的算功无双, 本来可以证明 \(\zeta(3)\) 是无理数的, 他错过了这个证明.

听报告的人, 会知道张大师非常强调复变函数的极端重要性! 复变不行的人, 没法玩解析数论.

10 日下午 4 点的第二场, 依旧在镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅. 不过, 15 日的一场会在镜春园 78 号院的 77201 室, 16:30 开始.

大量的使用复变, 满黑板的解析数论公式. 今天的主要任务是质数定理的证明, 以及黎曼假设在质数分布的作用.

15 日下午 4:30 的最后一场, 要深入一点. 田刚坐在教室最后一排, 刘若川, 许晨阳坐在教室左边的走廊.张大师谈到有 Goldston, Pintz and Yildirim 的工作, 说他自己最大的贡献是把 \(c\) 改进为 \(\dfrac14+\dfrac1{1168}\). 

Jul 012014
 
Yitang Zhang speaks at 2014 Undergraduate graduation ceremony of Peking University

Yitang Zhang speaks at 2014 Undergraduate graduation ceremony of Peking University

7月1日, 北京大学2014年本科生毕业典礼暨学位授予仪式在邱德拔体育馆举行. 张益唐作为校友代表发言.

他首先向毕业生们分享了自己多年来的经历与感悟, 并告诫同学们金钱不是唯一的选择标准, 北大人要有志于做学问, 不要轻易放弃理想, 要敢做大学问, 攻克大问题. 张益唐希望北大人要谦虚, 即使在获得荣誉与成就之后也要踏踏实实. 演讲过程中, 同学们的掌声不断, 大家都被这个一心做大学问的数学家所鼓舞.

校党委书记朱善璐, 校长王恩哥, 学校原党委书记闵维方等出席了典礼. 信息科学技术学院杨芙清院士, 中文系袁行霈教授, 数学科学学院姜伯驹院士等学者代表, 教师代表, 历史系钱乘旦教授, 校友代表, 美国新罕布什尔大学张益唐教授等参加毕业典礼. 全国百余所重点中学的校领导及毕业30年, 50年的北大校友代表应邀来到现场, 共同见证新一届北大毕业生的重要时刻. 毕业典礼由副校长高松主持.

张大师的演讲全文

同学们好!(掌声)

我先讲一下我这个人不大善于在这样的场合做公开讲话,所以我能讲到哪儿是哪儿~(掌声,叫好)

Yitang Zhang speaks at 2014 Undergraduate graduation ceremony of Peking University

Yitang Zhang speaks at 2014 Undergraduate graduation ceremony of Peking University

今天能够回到母校,和众多的学弟学妹见面,我的心情是非常高兴、而且非常激动的。离开母校那么多年,我经常是在怀念这个母校,母校给我打下的扎实的学术基础,还有周围那个师长曾经教过我的。今天在一起,尽管我们年龄差可能差很大,但我们说一句话:我们都是北大人。(掌声,张招牌推手,笑声)

好,我回想起在母校求学的时候的有很多很多事情,今天我想讲一个事情。我在这里读本科的时候,年龄已经比你们现在要大几岁,也就是那时候我已经即将要告别青春了。(轻微笑声)有一次呢我读了一篇中国科学,呃不是中国科学,中国青年上的文章,叫《我们还年轻》。我不想就复述这整个的这篇文章的内容,我只想引用一句话。这里头提到有一位前辈——我也不知道他的名字——这位前辈对年轻人说:如果我是你们中间的一个,哪怕是最倒霉的一个,我仍然觉得十分的荣幸。因为你们年轻,你们有未来。(掌声,张摊手)

现在想起来这已经三十多年过去了,时间过得是真快啊。闲云潭影日悠悠,物换星移几度秋。(掌声,张做表情,胡乱摆手,众大笑。)今天我又回到母校我站在这里当我回想这篇文章的时候,我应该把它改一个字,叫:你们还年轻,你们有未来,你们的前程将是繁华似锦。(正常掌声。)

今年二月在 Princeton 大学的中国学生春节晚会上,我说过一句话,这里我把这句话再重复一遍。我说什么呢?我很xuan(羡?)慕你们,xuan慕我的学弟学妹,你们现在各方面的条件你们的机会你们、很多地方都比我们那时候要好得多。比方说你们现在的物质条件跟几十年前我们,同样也是在北大同样这一片地方求学的时候,那是,不是一个数量级的。

我很xuàn慕你们。那么,在xuàn慕你们的同时,是不是我也应该鼓励你们呢?但我想今天在这里,我觉得我不是来教导你们的。我只是想谈一下我自己,就说人生经历过来有些体会,跟大家、跟大家交流一下。

第一呢,你们现在毕业了,就要告别校园。一部分,你们可能要进那个研究生院,继续深造;一部分要走上社会要选择不同的职业。我们知道现在这个社会是很多元化的,人生选择是很多的。从我自己来讲,我也不能说是哪一种选择就一定是好,你选择这个职业就一定是好,选择那个就一定不好。这个你们都可以、都可以去选择。但我想提一点我自己的建议:我不相信金钱是,就现在我们选唯一的选择标准。也许,我们可以挣很多钱,但赚钱赚多了并不一定就等于说你的,呒,你的人生就确实有意义。这个这方面是,我我是这么坚信的。所以,如果我们是有志于做学问的话,我建议你不要轻易放弃你的理想。我们是北大人,所以我们把做学问是看得很高的。而且,我们北大人应该有这样一种气魄:我们敢做大的学问!我们敢攻克大的难题!(掌声,张全身抖动一次)对不起啊!

当然这里我说一下做大的问题,我也不是建议说你去做大问题不做小问题,因为这在现实生活中可能这是很难做到的,这我们都知道。但我希望至少我们有这么一种气魄,我们至少,我们一直在关注着大的问题的。这是可以的。

那好刚才我说到是气魄,我们要有大的气魄。但我们要具体做学问,其实我想不光[管?]是做学问,做任何一种事情可能都是这样的。我要提另外一个词:谦虚。我们来做,气魄大,我们敢做。但做的时候,谦虚,我相信这一点。做学问,我也许我想做别的可能也一样,这是一个实实在在的事情,不要把,事先啊,把自己设定得太高。我为什么说不要把自己设定太高呢?可能会有一点:我觉得我这人聪明得不得了,我过来我做什么我都能做成,我攻无不克战无不胜。如果那样的话,可能在现实中间,你的失落感将来到时候会更强。真正做学问的,就是一个实实在在的问题。如果一开始你并没有把自己就设定得太高,我们就实实在在来做。我就想讲一下我自己的例子。我做什么孪生素数啊,就是说,现在也算是出名了。但我想我那时候怎么做的呢?我没有觉得啊呀我这个人怎么聪明我、我真没有这个感觉。在具体做的过程中,我经常觉得自己的程度很差,这是真的。但程度差我我并不失落,我就实实在在地这么去做。这个中间有很多挫折,但是每一次我都能坚持下去。如果别人说你有什么成功的秘诀,我只能说,说大实话,我就实实在在这么去做学问,而且坚持着做。我过去是这样的,将来也会这样的。正因为你对自(掌声。大屏幕上播出一男生模仿张推手。众大笑,张回头看屏幕,似未看到这一幕)怎么啦?

正因为你对自己你你你抱有着很谦虚的一种心态,那么就我这个一年多来也算是出了名了。但出了名以后不管这个媒体啊什么啊怎么说我啊别人怎么想啊,我觉得有一点我很满意,我没有趾高气扬,我没有得意忘形,我没有狂妄自大。这三句成语都不是好话,(轻微笑声)但我确实我没有。为什么我没有呢?因为很简单,我心里很清楚,我不认为自己有那么了不起。我过去是实实在在的,很谦虚我们就很低调做过来,将来我还会这样的。

在这里呢,我就顺便提一下,我想也许我们的学弟学妹有人有这样的经历。你们都是高分进入北大的,在进入北大之前,会不会有一种感觉,呒,周围没有一个人像我这么聪明的。(轻微笑声)但进来以后呢,哎周围怎么有很多人跟我一样聪明,甚至有人比我更聪明呢?这样也许会有一种失落感,这是正常的。但你真正在做学问的时候,不要把这种东西看得太重。有失落感可能是正常的,但是不要搞弄的过分了,可能会自暴自弃,这并不是一件好事情。

另外呢,我就是希望我们的学弟学妹,以后不管是在做学问,还是在其他领域里不管做什么工作,有一样我们说不要怕困难。不要怕困难。当然不要怕困难我也可以说豪言壮语,(张握拳头)我这人什么困难我都不怕,我一定……其实那个不一样,有时候对待现实中间的挫折,特别像我这个经验。你们不要说好像我现在是出名了,其实我犯过很多很多愚蠢的错误,也遇到过很多失败很多挫折。这个时候我的建议是不妨你内心就淡定一点,你失败一次就是一个新的起点和开头。这样,就,我们有这样的心态,我相信,我还是说一下,我们是北大人,我们将来能应该能够为我们的民族,为整或甚至为整个世界人类做出很大的贡献。

最后,我愿意向在座的学弟学妹表示衷心的祝福,祝福你们的未来。你们还年轻!(张手舞足蹈一番。掌声)

注释
  1. 本文节选自北京大学新闻网 7 月 2 日新闻 “北大举行2014年本科生毕业典礼暨学位授予仪式”.
  2. 7 月 23 日补充的张的演讲全文, 最早可能出现在人人网, 也可能是豆瓣. 这里根据视频对错处做了一些修正.
Jan 202014
 

北京大学现代数学丛书由北京大学出版社从 2013 年 10 月开始陆续出版. 本丛书以北京大学数学讲座, 暑期学校, 研究生数学基础强化班的讲义为基础.

1. 黎曼曲面导引, 梅加强

2. 沿 Ricci 流的 Sobolev 不等式及热核, 张旗

这中文版是从英文版翻译过来. 本书英文版 Sobolev Inequalities, Heat Kernels under Ricci Flow, and the Poincare Conjecture 已由美国 CRC/Taylor&Francis 出版社于 2011 年推出. 作者本人译成中文, 傅小勇校对.

Jan 192014
 

黎景辉, 赵春来合著的 “模曲线导引(Introduction to Modular Curves)” 出了新版. 北京大学出版社(Peking University press) 2014 年 1 月已出第二版.

Introduction to Modular Curves

Introduction to Modular Curves

本书的目的在于介绍模形式的几何理论的背景知识. 本书可供数学系的研究生作为教材, 也可以供从事数论, 代数几何等专业的数学工作者使用. 作者在2002年出版本书第一版之后, 近些年又做了大量的修订, 使得该书的内容更完善更前沿.

就内容而言, 首先是修正了一些错误. 其次, 第一章从范畴开始, 附带 Abel 范畴, 第四章谈到了 2-范畴理念, 补充了形变和叠, 第三章增加了层范畴和上同调群, 第七章加进了椭圆曲线, 第十章讲解了 Ramanujan 猜想的证明.

本书不是初级读物. 亲如果想修炼神功, 请先学一些代数几何, 模形式, 代数数论. 认真的搞懂本书后, 就可以登堂入室, 看懂最新的进展了.

黎景辉是澳大利亚悉尼大学数学系教授, 主要研究方向是代数数论. 他的博士是 1974 年在耶鲁大学拿到的.

赵春来是北京大学数学学院教授, 主要研究方向亦是代数数论.

目录

第 1 章 范畴   1
第 2 章 模空间  43
第 3 章 层      51
第 4 章 叠     110
第 5 章 Hilbert 函子   139
第 6 章 Picard 函子     168
第 7 章 模曲线        187
第 8 章 微分形式    208
第 9 章 TATE 曲线   224
第 10 章 模形式   249
参考文献
索引

作者: 黎景辉, 赵春来
版次: 2
开本: 16开
装订: 平
字数: 267 千字
页数: 296
ISBN: 978-7-301-23438-9
条形码: 9787301234389
出版日期: 2014-01-09
定价: 35 人民币元

Jan 172014
 

1.  办法之一是下面的

引理 设 \(g(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_1x+a_0\) 是实系数多项式, 则在任意互不相同的 \(n+1\) 个整数 \(b_1\), \(b_2\), \(\dotsc\), \(b_{n+1}\) 中, 必定存在一个 \(b_j(1\leqslant j\leqslant n+1)\), 使得 \(|P(b_j)|\geqslant\dfrac{n!}{2^n}\).

第二个考虑是, 设存在非常数整系数多项式 \(u(x)\), \(v(x)\) 使得

\[f(x)=u(x)v(x).\]

因为 \(f(x)\) 恒正, 可以假定 \(u(x)\), \(v(x)\) 亦然. 于是,  \(u(x)\), \(v(x)\) 的次数都是偶数.

显然,

\[u(k)v(k)=2014, k=1,2,\dotsc, 2013.\]

先指出: \(u(k)=u(k+1003)=u(k+1004)\), \(v(k)=v(k+1003)=v(k+1004)\), \(k=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(1009\).

这是因为 \(u(k)\), \(u(k+1003)\), \( u(k+1004)\) 都是 \(2014\) 的因数, 并且

\[1003|\big(u(k+1003)-u(k)\big),    1004|\big(u(k+1004)-u(k)\big).\]

另一方面, \(2014\) 的正因数只有 \(1\),\(2\), \(19\), \(38\), \(53\), \(106\), \(1007\), \(2014\). 因此, 如果 \(2014\) 的两个正因数的差是 \(1003\) 或 \(1004\) 的倍数, 那么这两个因数只能相等.

现在我们可以断定

\[u(1)=u(2)=\dotsb=u(2013), v(1)=v(2)=\dotsb=v(2013).\]

只需指出 \[u(k)=u(k+1), k=1,2,\dotsc, 2012.\]

事实上, 当 \(k\leq 1009\)  时, \(u(k)=u(k+1004)=u(k+1)\); 当 \(1010\leq k\leq 2012\) 时, \(u(k)=u(k-1003)=u(k+1)\).

如此一来, \(u(x)\), \(v(x)\) 都是 \(2013\) 次多项式. 这是不允许的!

也可以稍微换个做法. 此时, 可设 \(u(x)=\prod\limits_{i=1}^{2013} (x-i)+d_1\), \(v(x)=\prod\limits_{i=1}^{2013} (x-i)+d_2\), 很容易得出矛盾.

2. 这是 1990 年的普特南竞赛题.

如果 \(M\), \(N\) 都是二阶矩阵, 结论是正确的.

\(n\geq3\) 都有反例.

\[M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\; N=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0\end{pmatrix},\]

\(MNMN=0\),但是 \(NMNM=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\).

Jan 082014
 

李氏朝鲜的第四代君主是最伟大的世宗大王. 他把王位按照嫡长子继承的原则, 传给了嫡长子文宗!  然而, 文宗体弱多病, 临终前, 任命金宗瑞为顾命大臣, 辅佐 12 岁即位的端宗.

端宗的叔父首阳大君, 谋害了金宗瑞, 成了领仪政, 掌握大权. 随后, 逼迫端宗禅让王位. 端宗做了两年上王之后, 被赐药而死.

首阳大君, 也就是世祖, 有必要杀侄儿吗? 历史上, 有哪些退位的太上皇被杀? 能找出几个?

如果不是端宗太年轻被害, 也许我不会这么同情他!  叔父首阳大君做的太过! 首阳篡位之前, 有很多次, 可能被杀!

端宗绝对不应该禅让王位的! 再怎么没有实权, 端宗是君, 首阳是臣. 除非暗杀, 否则首阳没有办法. 一旦成了别人的臣, 命完全由不得自己了.

端宗共计在位三年, 在上王位二年, 终年十七岁. 无嗣, 葬于江原道宁越郡庄陵. 这也是朝鲜王朝五百年间, 唯一一座不在京畿的王陵(追封的各王不算).

直至朝鲜肃宗七年(1681 年), 鲁山君被追封为鲁山大君, 肃宗二十四年被追尊复位, 上庙号端宗, 谥号为纯定安庄景顺敦孝大王, 陵号为庄陵. 鲁山君夫人宋氏被追封为定顺王后, 徽号为端良齐敬, 陵号为思陵. 端宗与定顺王后的神主移入宗庙永宁殿, 并举行了袝庙之礼. 与此同时”鲁山君日记”升格为”端宗实录”, 并在庄陵附近修建“死六臣祠”, 为其举行国家级别的祭祀.

挑选几个题作答, 主要是第 10 题.

If \( f\in C^1([a,b])\) is increasing and nonconstant, then

\[\int_a^b\sqrt{1+{f^\prime}^2(x)}\, \mathrm dx \lt b-a+f(b)-f(a). \]

For \(\alpha\), \(\beta\geqslant0\), \(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\leqslant\alpha+\beta\), with equality iff one or both of \(\alpha\), \(\beta\) equals \(0\).

Now \(f ^\prime\geqslant 0\), it follows that

\[\sqrt{1+{f^\prime}^2(x)}\leqslant 1+f^\prime(x), x\in [a,b].\]

Because \(f(x)\) is nonconstant, \(f^\prime\gt0\) in a subinterval. In that subinterval we have strict inequality between these two functions. Integrating both sides then gives the result.