Jul 112014
 

张益唐暑假在北京.

7 月他在母校北京大学的北京国际数学研究中心 (BICMR) 有一个系列的学术报告: Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function I, II, III. 这个报告分三场, 原定时间是 July 8, 10, 15,  2014 16:00-17:00, 地点是镜春园 78 号院的 77201 室.

BICMR 官网上这个报告的 Abstract 是这么写的:

The distribution of prime numbers is one of the most important subjects in number theory.

There are many interesting problems in this field. It may not be difficult to understand the problems themselves, but the solutions are extremely difficult.

In this series of talks we will describe the application of certain analytic tools to the distribution of prime numbers. In particular, the role played by the Riemann zeta function will be discussed. We will also describe some early and current researches on the Riemann Hypothesis.

These talks are open to everyone in the major of mathematics, including undergraduate students.

Yitang Zhang at BICMR Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

Yitang Zhang at BICMR :Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

8 日下午 4 点, 田刚现身. 因为人比较多, 改为在镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅进行. 主持人刘若川是 1999 年的 IMO 金牌(他本来也是 1998 年中国国家队的队员).

报告从复分析开始, 解析开拓,  zeta 函数的定义, 留数定理, 伯努利数, 然后

\[\zeta(2k)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{2k}}=(-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}\]

的两个证明:一个是欧拉给的, 一个来自 Riemann.

张大师说: 欧拉的算功无双, 本来可以证明 \(\zeta(3)\) 是无理数的, 他错过了这个证明.

听报告的人, 会知道张大师非常强调复变函数的极端重要性! 复变不行的人, 没法玩解析数论.

10 日下午 4 点的第二场, 依旧在镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅. 不过, 15 日的一场会在镜春园 78 号院的 77201 室, 16:30 开始.

大量的使用复变, 满黑板的解析数论公式. 今天的主要任务是质数定理的证明, 以及黎曼假设在质数分布的作用.

15 日下午 4:30 的最后一场, 要深入一点. 田刚坐在教室最后一排, 刘若川, 许晨阳坐在教室左边的走廊.张大师谈到有 Goldston, Pintz and Yildirim 的工作, 说他自己最大的贡献是把 \(c\) 改进为 \(\dfrac14+\dfrac1{1168}\). 

Sep 052013
 

8月 23 日, 26日上午, 张益唐在晨兴数学中心(Morningside Center of Mathematics, Chinese Academy of Sciences)110 房间以 “Distribution of Prime Numbers” 为题, 做了更细节的讲解.

Yitang Zhang at Morningside Center of Mathematics

Yitang Zhang at Morningside Center of Mathematics

23 日

 

Part 2

 

Part 3

 

Part 4


26 日


Part 2


Part 3


Part 4

Aug 262013
 

今天下午 16:00, 张益唐在北京大学的北京国际数学研究中心(BICMR)报告厅做了题为 “Problems from the distribution of primes” 讲座, 这是他回母校做的关于素数分布问题的报告.

今天的报告会由田刚主持.

张益唐的开场白是这样的: “谢谢大家!(掌声) 谢谢大家! 感谢!(麦克风的噪音) 我这样说话, 你们能听到, 没问题吗? 而且我来讲话的话, 声音会越来越大.(笑声) 今天来到这里来, 回到我的母校, 我觉得很高兴给大家讲. 首先我要提到, 我要感谢在我求学的时候, 指导过我的, 教过我的老师, (做个指向潘老师的动作)潘承彪老师! 还有…(掌声) 还有很多很多老师, 我也不能列出所有的名字来. 像教,从开始教.. 解析几何的丁石孙老师, 教数学分析的沈燮昌老师, 还有石胜明老师, 还有像张恭庆老师, 还有像周民强老师, 也包括我的习题课老师赵春来老师, 还有… 很遗憾, 他们中有些人已经过世了, 所以, 我也看不到他们了. 另外, 这里看到了很多年轻的面孔, 年轻的学弟学妹, 我也觉得很高兴. 跟年轻人在一起, 我觉得我也变年轻了. 那么, 我就来讲, 我做的这个东西…”

讲座的视频, 这个视频有删节

 

另一个视频, 没有开始部分

 

张恭庆, 潘承彪来了, 赵春来坐在下面. 北大的很多老师都在.

Yitang Zhang’s Peking University Lecture

Yitang Zhang’s Peking University Lecture

这场报告, 是张益唐最近在北京的系列活动的最后一个.

Aug 242013
 
Yitang Zhang shaked Chen-Ning Franklin Yang’s hand

Yitang Zhang shaked Chen-Ning Franklin Yang’s hand

8 月 23 日下午 15:00, 张益唐在清华大学主楼三层接待厅做了题为 “Bounded gaps between primes and relevant problems” 的报告, 这是今年清华大学的华罗庚数学讲座(Loo-Keng Hua Distinguished Lecture). 很荣幸, 14:50 过一点点, 我正要踏完主楼的最后几级台阶, 一辆轿车停下来, 一个老人下来了. 这背影好眼熟, 原来是杨振宁! 哎呀, 张益唐的成就过于突出, 把物理学家都吸引来了! 在此, 祝愿杨老健康长寿!

这个讲座是清华大学数学科学中心主办的. 聂华桐出席了. 加州大学的教授, 清华大学数学科学中心的副主任潘日新教授为张益唐颁发华罗庚讲座奖品, 匾牌.

Yitang zhang received souvenir from Yat-Sun Poon

Yitang zhang received souvenir from Yat-Sun Poon

今天的主持人是清华大学数学系的系主任肖杰. 他是这么介绍开场白的: ‘…, 100 年以后, 人们依然会记得张益唐. 你肖杰目前关心的很多”重要伟人, 事情”都会烟消云散. 张益唐…(笑声) 我想起今天迎新会上的一段话, 我们说, 在美国, 普林斯顿, study, 想起爱因斯坦, 想起 Hermann Weyl, 很多问题, 我们可以知道, … 我们知道, 很多家长送孩子, 希望孩子将来或者发财或者升官. 但是, 做科学的, 今天杨先生和我们在一起. 做科学的, 有更大的追求. 实际上, 在五月份的时候, 清华就给益唐兄, 给益唐老师发了邀请, 他也接受了邀请来做报告. 但是由于种种原因, 未能成行. 后来, 紧接着, 在台湾召开了华人数学家大会. 张益唐老师获得了卓越贡献大奖. 我们系有将近 60 人去到台湾, 去参加这个大会. 实际上, 报着一个心里, 其中有将近 20 个学生, 抱着一个很大的心里, 最起码我自己心里, 抱着一个很大的心里, 就是要跨过这与台湾, 大江大海, 跨过这大江大海, 就是为了去见一回张益唐老师. 生不用封万户侯, 但愿一识韩荆州. 今天, 张益唐老师能够来给我们做报告, 我们心里是非常非常高兴. 好, 下面, 我们这个报告的名字叫华罗庚, 清华大学华罗庚讲座. 下一个环节, 就请我们加州大学的教授, 清华大学数学科学中心的副主任潘日新教授为张益唐颁发华罗庚讲座奖品, 匾牌.(掌声, 照相机的闪光灯, 掌声)’ 我们是学数学的, 上帝给人类最美好的礼物就是数. 上帝给这个礼物给人类的时候, 他既不奢侈, 他既不吝啬. 这种说法是素数有无穷多个. 也不奢侈, 原因是数越来越大, 素数越来越少. 所以呢, 发现上帝给最美好的一个礼物一个奥秘, 就是人类心怀一个美好的梦想. 张益唐以他30 多年的孤军奋战, 或者说孤苦伶仃的, 告诉我们一个确凿无疑的一个办法,素数, 美丽的素数, 它们并不孤单. 他一个人的孤军奋战, 告诉我们素数并不孤单. 也就是或, 任意大的数之外, 都能找到两个素数, 它们相距的距离不超过七千万. 虽然这个距离已经被别人改进许多, 但是这伟大的一步是张益唐走过的. 好, 现在我们请张益唐老师来给我们做报告.'(掌声)

Yitang Zhang's Tsinghua University Loo-Keng Hua Distinguished Lecture

Yitang Zhang’s Tsinghua University Loo-Keng Hua Distinguished Lecture

张益唐的讲座, 与前一天在中科院相比, 没有多少区别. 因为今天本科生众多, 他稍微加了一些更基本的内容. 但实际上, 因为这次讲座时间更短, 只有一小时, 所以, 他不能展开太多, 只交待了他那名留青史的证明梗概.

讲座结束后, 有个短暂的 tea time.

Yitang Zhang was talking to students at the tea time

Yitang Zhang was talking to students at the tea time

随后, 张益唐和同学们就来到了隔壁的圆桌教室, 继续探讨数学的美丽与魅力.

Yitang Zhang with students

Yitang Zhang with students

Aug 232013
 

8 月 22 日上午 9:00, 张益唐在中科院数学与系统科学研究院(Academy of Mathematics and Systems Science (AMSS) in the Chinese Academy of Sciences (CAS)) 做了题为 “Prime gaps and related problems” 的讲座, 这是今年中科院的华罗庚数学讲座(Loo-Keng Hua Distinguished Lecture).

报告会由王元主持. 这里是全程视频:

 

张益唐从 Hardy-Littlewood’s prime tuples conjecture 开始, 接着讲到了 Goldston, János Pintz, Cem Yıldırım 的工作, 然后才是他自己的突破. 张益唐说, 他的论文的第 5 页, 把证明的思路交待的很清楚了.

张寿武, 林群坐在下面, 田野应该也在. 复旦的一些老师也赶过来了, 朱晨畅(95 IMO 满分) 也在. 季理真在报告会开始, 拍了几张照片.

Yitang zhang's Loo-Keng Hua distinguished lecture at CAS 1

Yitang zhang’s Loo-Keng Hua distinguished lecture at CAS 1

Yitang zhang's Loo-Keng Hua distinguished lecture at CAS 2

Yitang zhang’s Loo-Keng Hua distinguished lecture at CAS 2

活动最后, 王元代表华罗庚讲座, 赠送给张益唐一个纪念品

Yitang zhang received Loo-Keng Hua souvenir from Yuan Wang

Yitang zhang received Loo-Keng Hua souvenir from Yuan Wang

May 262013
 

Busy day in analytic number theory

On May 13, 2013, Harald Andres Helfgott  uploaded to the arXiv his paper “Major arcs for Goldbach’s theorem” claimed that he has proved the ternary Goldbach conjecture, or odd Goldbach conjecture, asserts that every odd integer  \(n>5\) is the sum of three primes.

这论文仅仅证明了每个 \(>10^{30}\) 的奇数可以表示为三个质数之和. 至于 \(<10^{30}\) 的奇数, 已经通过计算机进行验证. 计算机实际上, 已经计算过, 对于 \(<8.875\cdot10^{30}\) 的奇数, Goldbach’s conjecture 都是对的. 这样, 奇数 Goldbach’s conjecture 彻底终结.

这文章采用是基于圆法 (Hardy–Littlewood circle method), 大筛法(the large sieve) and exponential sums 的一种途径.

Goldbach’s conjecture 已经有 \(271\) 年的历史了.

May 142013
 

On 14 May 2013, Mathematician Yitang Zhang claimed that he has proved there are infinitely many prime gaps shorter than 70 million, which was a weak version of the twin prime conjecture.

数学界对张的证明, 表示乐观, 应该没有错误.

[Update, May 21, 2013: 张的论文, 全文 \(56\) 页已经可以在 Annals of Mathematics 的网站看到: Bounded gaps between primes(subscription required). 这文章的主要结果是证明了

\[\varliminf_{n\rightarrow\infty}(p_{n+1}-p_n)\lt7\times10^7,\]

这里 \(p_n\) 表示第 \(n\) 个质数.]

综合起来, 这故事有几个看点:

1. 成就太过突出
孪生质数猜想是数论中最古老的难题, 一直没有啥进展.

2. 用经典方法逆袭, 用弹弓打死了狗熊.
无数数学家企图使用弹弓打狗熊, 从没成功. 都已经放弃希望了, 突然有人宣布搞定. 不是崭新的思路, 这是很多数学家引以为憾的地方, 因此引来无数的酸葡萄, 大家都希望使用核武器来进攻, 甚至发明更猛的新式武器.

3.张益唐一直坎坷, 一举成名天下知.
很精彩的励志故事. 很可能将来的数论教科书在讲述他惊世骇俗的定理时, 也会用他送外卖糊口来思考数学的情事来鼓励后进.

石破天惊

4 月 17 日, 数学界最富盛名的数学杂志 Annals of Mathematics 的收件箱出现一篇论文. 这论文居然宣称在一个最古老的数学难题孪生质数猜想上取得重大突破. 专家们对作者张益唐感到陌生. 最要命的是, 张其实只是一所普通大学的讲师, 已经 50 好几.

著名数学杂志经常收到一些出自无名作者的号称解决了大问题的论文, 但这篇署名张益唐的数论论文不同. 这是一部严肃的作品: 论述清澈, 完全使用这学科当前的术语进行表述. 于是, 编辑们决定尽快审稿.

过了三个星期, 是的, 仅仅三周, 张就收到了对论文的评价: 一流!

一个没啥名气的研究人员取得重大进展的新闻, 迅速在数学界传开. 丘成桐邀请张益唐去 Harvard 做一个报告. 报告会于 5 月 13 日进行. 坐在教室的观众有 50 人, 没人之前听说过张的大名, 包括丘.(其实, 在1980年代, 张还在求学的时候, 与丘是打过交道的.) 于是,  张益唐的工作的一些细节为外界所知晓: 张没有使用崭新的办法, 而是通过改进已有的途径. 最顶尖的数论专家已经尝试过这种途径, 但张益唐在别人失败的地方取得了成功.

张益唐的定理令人惊讶, 是一个巨大的突破.

筛法

张益唐的成果可以追溯到八年前的一篇数论专家引用称为GPY的论文-以其三位作者 Goldston, János Pintz, Cem Yıldırım 的名字命名. 该论文已经非常非常接近, 但很遗憾的没能证明存在无限多对质数, 其差有限.  具体说来, GPY发展了一种称为筛法的方法. 研究人员把这种筛法与一个函数结合起来. 这个函数的效能是基于一个衡量质数多快才能呈现某种规律的称为 level of distribution 参数.  level of distribution 至少是\(\frac12\), 这就是得到 GPY 的结果的那个值. GPY的筛法要想得出存在无限多对质数, 其间隙有限, 必须提升 level of distribution, 使其 \(>\frac12\), 哪怕只比 \(\frac12\) 大那么一点点也足够了.

1980 年代后期, IAS 的 Fields Medal 得主 Enrico Bombieri, Toronto大学的 John Friedlander, 和 Rutgers大学的 Henryk Iwaniec 设法修改level of distribution 的定义, 使得这个修订后的参数达到 \(\frac47\). GPY 的文章在 2005年出笼以后, 研究人员一窝蜂想把这个修改后的 level of distribution 与 GPY的筛法组合起来, 但没有什么成效.

张益唐的工作

与此同时, 张益唐独自游走在 GPY 与质数的有界间隙之间, 想要完成 GPY 未尽的事业.

张读过 GPY 这论文. 论文里有一句话是如此振奋人心. 这句话指出, 质数间隙有界已经近在咫尺! 经过三年孤独的奋斗, 张没有任何进展.

想进行一点休息, 张益唐去年夏天访问了一个在 Colorado 的朋友. 就在这期间,  7 月 3 日,  在离开朋友家去一个音乐会之前, 在后院休息的半小时里, 张益唐突然想出了答案. 张的想法, 不是直接使用Selberg 的筛法, 而是做一些修正: 不是使用所有的数来过滤, 只考虑那些没有大的质数因子的数.

Goldston认为, 张的筛法, 没有那么强大, 效果也差一点, 但在 GPY 会有一点奇效. 这样一来, 张把 level of distribution 提高到了 \(\frac12+\frac1{584}\), 这足以使用 Bombieri, Friedlander, 和 Iwaniec 的方法. “新筛法得出了张的惊天动地的结果, 但不太可能证明孪生质数猜想. 即便假定 level of distribution 最好的结果成立, 从 GPY 的方法只能得出有无穷多对质数, 其差不超过 \(16\).” Goldston 说.

张也使用了 Enrico Bombieri, John Friedlander, 和 Henryk Iwaniec 所发展的技巧, 比如有限域上的特征和, 自守形式的理论, 然后独创性的把所有东西结合在一起.  他也优雅的借用其他领域的工具, 比如间接用到有限域上代数簇的 Riemann hypothesis.

张益唐花费了几个月才完成所有的细节. 最后的论文表述清晰. 这是解析数论的巅峰之作.

[Update, June 8, 2013: 去年7月3日, 张益唐前往在科罗拉多州立大学音乐系任教的好友, 音乐指挥家齐雅格家中作客. 当时他与齐雅格正准备离家去看排练, 临走前20分钟, 张益唐想到齐家院子后看不请自来的梅花鹿, 顺便抽根烟.

Yitang Zhang

Yitang Zhang

齐雅格回忆, 张益唐破解孪生素数的关键就是在那20分钟里,”有如神明启示一般地”想出来. 他那次到他家作客, 纯粹为了放松, “身上没带一本书,没有任何资料,也不上电脑.这似乎是个奇迹”.

张益唐则表示, 这是长期研究的积累, 一旦有机遇, 就成功地突破难题, 找到別人没有想到的特別突破口, “这也是运气”.[9]  ]

张益唐其人

张益唐, 北大 78 级, 本科学习的是计算数学. 1982年毕业之后, 拜潘承彪教授为师继续在北大学习三年, 获得硕士学位. 然后, 他赴美,  到 Purdue University攻读博士学位, 导师是莫宗坚教授. 莫宗坚的大名很多人应该是知道的, 这要归功于他的两本”代数学”.

学术界也讲究”血统”! 张益唐可算得上是华罗庚的”徒孙”. 张的硕士导师潘承彪尽管不是华罗庚正式的学生, 但显然受到华巨大的影响. 潘承彪曾追随闵嗣鹤教授学习广义解析函数, 但他的数论知识应该主要来自他的哥哥潘承洞. 潘承洞是闵嗣鹤的研究生, 但也被认为是华罗庚的学生, 尤其在对Goldbach猜想的研究上. 更不待言闵嗣鹤教授本人也被华深深影响. [1]

张益唐的博士题目是 Jacobian conjecture. 其实这 Jacobian conjecture 现在仍在考验人类的智慧. 张在博士毕业之前, 认为自己解决了 Jacobian conjecture. 但是, 他的证明使用的其导师莫宗坚的一个引理后来被发现是错的, 于是张几年的心血付之东流. 张益唐这博士论文没发表, 而且和导师莫宗坚的关系不好, 于是博士毕业即为失业, 连博士后都没找到.[2]

接下来的事情, 很多新闻都有报道: 张一边做零工糊口, 一边思考数学! 最后, 在他的两个师弟, 北大80级的同学唐朴祁, 尤其是葛力明的帮助下, 在一个偏僻的地方, University of New Hampshire, 找到一个讲师职位. 这样张益唐才算有了稳定的工作, 能在更好的条件下思考质数分布的规律.

张益唐在大学教书, 一周上课六个小时, 空余时间不少. 虽然学校並不重视研究, 但自己始终没有放弃思考和钻研自己热爱的数学数论问题. 在这三, 四年的过程中, 遇到许多令人沮丧的挫折.

张益唐不重视金钱和名利, 几乎任何时间都在思考数学, 甚至休息的时候. 这也部分回答了为什么他能成功. 用他自己的话来说,”The idea is based on an accumulation of my thinking for several years,I had tried various methods. To answer why others could not get it and I could, I may say that I had been working harder and never gave up.” [10]

闲暇之际, 张喜爱阅读莎士比亚(Shakespeare), 哈姆雷特, 罗密欧与朱丽叶(Hamlet and Romeo and Juliet) 是他的最爱.[8]

张益唐的学生对他评价很好, 字写的很漂亮.

他太太在 California 工作, 两人没有孩子.[5]

References

  1. 季理真, 素数不再孤单: 孪生素数和一个执着的数学家张益唐, May 20, 2013.
  2. 汤涛, 张益唐和北大数学 78 级, May 19, 2013.
  3. Erica Klarreich, Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap, simons foundation, May 19, 2013.
  4. Kenneth Chang, Solving a Riddle of Primes, The New Yorks Times, May 20, 2013.
  5. Carolyn Y. Johnson, Globe Staff, Obscure University of New Hampshire math professor takes major step toward elusive proof, May 23,2013.
  6. Dan Goldston, Zhang’s Theorem on Bounded Gaps Between Primes.
  7. Henryk  Iwaniec, a email to Shing-Tung Yau: Subject: Re: Yitang zhang, May 24,2013.
  8. Liam O’brien, That figures: Professor who had to work at Subway dazzles world of maths after solving centuries-old prime number riddle, May 21, 2013
  9. 唐嘉丽, 张益唐破解千古数学难题, June 6, 2013.
  10. Paul Feely, UNH professor solves ancient mathematics riddle, June 2, 2013.
Jul 062012
 

开篇

Zsigmondy’s theorem states that if \(a>b>0\) and \(n>1\) are positive integers, then

  1. \(a^n+b^n\) has at least one prime factor that does not divide \(a^k+b^k\) for all positive integers \(k<n\), with the exception of \(2^3+1^3\);
  2. if \((a,b)=1\), then there is a prime number that divides \(a^n-b^n\) and does not divide \(a^k-b^k\) for all positive integer \(k<n\) unless
  •   \(a=2,b=1\) and \(n=6\); or
  •   \(a+b\) is a power of \(2\) and \(n=2\).

这就是如今人们常常谈到的 Zsigmondy 定理, \(2\) 实际上更为常见.  Zsigmondy 当初其实允许 \(b<0\), 此时的例外当然要稍作修改, 比如 \(2\) 要增加 \(a=2,b=-1,n=3\).

此定理经常在群论(group theory)中大展拳脚, 在数论中当然也有很多应用.

这个定理的完整证明很难找到, 容易搜索到的是 \(b=1\) 时, 使用分圆多项式(cyclotomic polynomial)对\(2\)的证明.

历史

在 Zsigmondy\(1892\)年的论文出现之前, Bang已经在\(1886\) 年证明了\(b=1\) 的情形, 即所谓的 Bang定理. 至于 Bang 当年的文章,是否包括了 Zsigmondy 定理的两种情形, 我无法得知, 因为没有看到原文. 后来, 又有不少人重新发现 Zsigmondy 定理或者 Bang 的结果, 也可能是某种特殊情况下的结论, 当然也有人给出新的证明. Birkhoff 和 Vandiver \(1904\) 年的论文 \([1]\) 用初等的办法证明了 \(2\). 这个证明, 稍后我们会详细谈到.

Carmichael \(1913\) 年的文章 \([2]\) 很值得一看, 他实际上证明了对 Lucas 序列(Lucas sequence)

\begin{equation}U_n=\frac{a^n-b^n}{a-b},\,V_n=a^n+b^n\end{equation}

而言, 结论一样成立. 尽管 \(a^n-b^n\) 与 \(U_n\) 确有许多相似, 但是毕竟差别还是有的, \(U_n\) 的本原质因数并不见得就是 \(a^n-b^n\) 的本原质因数. 例如, 当 \(a=5,\,b=2,\,n=3\) 时, \(U_3=\frac{5^3-2^3}{5-2}\) 的本原质因数 \(3\) 并不是 \(5^3-2^3\) 的本原质因数.

Artin 在研究线性群(linear group)的时候, 用初等办法建立了Zsigmondy定理的 \(2\), 并且允许 \(a,b\) 可以为负, 见 \([3]\).

准备工作

继续下文之前, 先看几个简单的事实.

引理\(1\) 当 \(a,b\) 互质, 也即 \((a,b)=1\) 之时,

\begin{equation}(a^m-b^m,\,a^n-b^n)=a^{(m,n)}-b^{(m,n)}\end{equation}

成立, 这里 \(m,n\in\Bbb N^+.\)

\((2)\) 虽然简单, 却从未在哪本书上见过. 数论书上只有当 \(b=1\) 时的特殊情形, 所以这里算是一个推广. 至于证明, 可以归纳完成, 也可以选择 Bézout 恒等式(Bézout’s identity), 与 \(b=1\) 没有本质不同.

下面来探讨阶的性质.

设正整数 \(m>1,a\in\Bbb Z,(a,m)=1.\) 记 \(a\) 模 \(m\) 的阶为 \(\delta_m(a).\) 正整数 \(r\) 使得

\begin{equation}a^r\equiv-1\pmod m\end{equation}

成立.

引理\(2\) 设满足 \((3)\) 的最小正整数为 \(r\), 那么

  • 若 \(a^n\equiv-1\pmod m, n\in\Bbb N^+\), 则 \(r|n;\)
  • \(\delta_m(a)=\begin{cases}\;r,\quad m=2;\\2r, \quad m\geqslant3.\end{cases}\)

引理\(3\)  \(p\) 为质数, \(a,b,n\in\Bbb Z, n>0, p\nmid ab, p^\alpha\parallel n, p^\beta\parallel (a-b), \alpha,\beta\in\Bbb N.\) 如果在 \(p=2\) 时, \(\beta\geqslant2\); 在 \(p\geqslant3\) 时, \(\beta\geqslant1,\) 那么 \(p^{\alpha+\beta}\parallel (a^n-b^n).\)

设 \(a=b+tp^\beta, p\nmid t,\) 则

\[a^n-b^n=(b+tp^\beta)^n-b^n=\sum_{i=1}^n{n\choose i}b^{n-i}(tp^\beta)^i.\]

当 \(i\geqslant2\) 时, 由 \({n\choose i}(tp^\beta)^i=\dfrac ni{n-1\choose i-1}(tp^\beta)^i, (p^\beta)^{i-1}\geqslant3^{i-1}>i,\) 可得 \(p^{\alpha+\beta+1}|{n\choose i}b^{n-i}(tp^\beta)^i\); \(p^{\alpha+\beta}\parallel{n\choose1}b^{n-1}(tp^\beta).\) 综合起来, 我们的证明得以完成.

本原因子的定义与性质

若 \(a^n\pm b^n\) 的某质因数不整除 \(a^k\pm b^k(k=1,\,2,\,\dotsc,\,n-1),\) 我们把这样的质因子叫做本原质因数. 也可以考察 \(a^n\pm b^n\) 的不是质数的因数, 这个时候, 要把整除不整除换成互质不互质: 若 \(a^n\pm b^n\) 的某因数与 \(a^k\pm b^k( k=1,\,2,\,\dotsc,\,n-1)\) 都互质, 我们把这样的因数叫做本原因数.

本原因数要求与 \(a^k\pm b^k, k<n\) 都互质, 所有的 \(n-1\) 个数 \(a\pm b, a^2\pm b^2,\dotsc,a^{n-1}\pm b^{n-1}\) 一个不落下. 能否把这个条件换成表面上更弱,实际上等价的条件, 使得利用这个定义的时候, 更加得心应手?

借助阶的性质以及引理 \(2\), 很容易就得到了第一个定理.

定理 \(1\)  记 \(n\) 的 \(d(n)\)个因数是 \(d_1=1,d_2,\dotsc,d_{d(n)}=n\). 如果 \(a^n\pm b^n\) 的一个因数与 \(a^k\pm b^k( k=d_1,d_2,\dotsc,d_{d(n)-1})\) 都互质, 那么这个因数是 \(a^n\pm b^n\) 的本原因数.

引理 \(1\) 也可以很方便的完成就 \(W_n\) 这种情况的证明, 这里

\begin{equation}W_n=a^n-b^n.\end{equation}

下一条性质出自 Euler.

定理\(2\)   \(d\) 是 \(W_n\) 的本原因数, 则 \(d\equiv1\pmod n.\)

\(2\) 的初等证明

参考文献

  1. Geo. D. Birkhoff and H. S. Vandiver, On the Integral Divisors of \(a^n – b^n \), The Annals of Mathematics, \(1904, 173-180\).
  2. Carmichael, On the Numerical Factors of  the Arithmetic Forms \(a^n \pm b^n \), The Annals of Mathematics, \(1913, 30-70\).
  3. Artin, The orders of the linear groups, Communications on pure and applied mathematics, vol 7, \(1955, 355-366\).