# 开篇

Zsigmondy’s theorem states that if $$a>b>0$$ and $$n>1$$ are positive integers, then

1. $$a^n+b^n$$ has at least one prime factor that does not divide $$a^k+b^k$$ for all positive integers $$k<n$$, with the exception of $$2^3+1^3$$;
2. if $$(a,b)=1$$, then there is a prime number that divides $$a^n-b^n$$ and does not divide $$a^k-b^k$$ for all positive integer $$k<n$$ unless
•   $$a=2,b=1$$ and $$n=6$$; or
•   $$a+b$$ is a power of $$2$$ and $$n=2$$.

# 历史

Carmichael $$1913$$ 年的文章 $$[2]$$ 很值得一看, 他实际上证明了对 Lucas 序列(Lucas sequence)

$$U_n=\frac{a^n-b^n}{a-b},\,V_n=a^n+b^n$$

Artin 在研究线性群(linear group)的时候, 用初等办法建立了Zsigmondy定理的 $$2$$, 并且允许 $$a,b$$ 可以为负, 见 $$[3]$$.

# 准备工作

$$(a^m-b^m,\,a^n-b^n)=a^{(m,n)}-b^{(m,n)}$$

$$(2)$$ 虽然简单, 却从未在哪本书上见过. 数论书上只有当 $$b=1$$ 时的特殊情形, 所以这里算是一个推广. 至于证明, 可以归纳完成, 也可以选择 Bézout 恒等式(Bézout’s identity), 与 $$b=1$$ 没有本质不同.

$$a^r\equiv-1\pmod m$$

• 若 $$a^n\equiv-1\pmod m, n\in\Bbb N^+$$, 则 $$r|n;$$
• $$\delta_m(a)=\begin{cases}\;r,\quad m=2;\\2r, \quad m\geqslant3.\end{cases}$$

$a^n-b^n=(b+tp^\beta)^n-b^n=\sum_{i=1}^n{n\choose i}b^{n-i}(tp^\beta)^i.$

# 本原因子的定义与性质

$$W_n=a^n-b^n.$$

# $$2$$ 的初等证明

1. Geo. D. Birkhoff and H. S. Vandiver, On the Integral Divisors of $$a^n – b^n$$, The Annals of Mathematics, $$1904, 173-180$$.
2. Carmichael, On the Numerical Factors of  the Arithmetic Forms $$a^n \pm b^n$$, The Annals of Mathematics, $$1913, 30-70$$.
3. Artin, The orders of the linear groups, Communications on pure and applied mathematics, vol 7, $$1955, 355-366$$.