Mar 172015
 

烟花不堪剪写在豆瓣的文章, 原文标题”一些值得一读的数学论文”,   http://www.douban.com/group/topic/38870457/

Weil 建议年轻人读经典论文, 但是我认为经典的定义也会随时代而有所不同. 在Weil那个时代, Gauss, Riemann, Hilbert, Poincare 是经典. Weil 受 Gauss 启发提出了Weil 猜想, Ahlfors 受 Riemann 启发创立了covering surface 理论, Mumford 受 Hilbert 启发创立了GIT, Griffiths 受 Poincare 启发创立了variation of Hodge structure 理论··· 但是现在 Weil 时代的经典已经过于古老从而无法从中发现新东西了, 因此这个时代应该阅读适合于这个时代的经典.下面我就根据自己的兴趣罗列一些这个时代的经典著作, 由于我推荐的文章都是自己大体上读过的, 因此不可能很多. 并且因为是经典, 都是1940-2000年之间的文章. 今后读到好文章或者想到遗漏的文章时可以继续补充此贴.

1. Chern, A Simple Intrinsic Proof of the Gauss-Bonnet Formula for Closed Riemannian Manifolds
我在几何上读的第一篇文章,在这里我学到了什么是整体微分几何。Chern把局部定义的微分形式paste到一起得到了Gauss-Bonnet integrand,计算积分时又巧妙地拉回到切从上利用Poincare-Hopf指标定理来产生Euler数。此文可谓微言大义,之后Chern在整体微分几何上的几乎所有工作都能从这里找到源头。

2. Mathai-Quillen, Superconnections, Thom classes, and equivariant differential forms
对于equivariant cohomology得到了Cartan model和Weil model之间的isomorphism,这被Bott & Tu称为Mathai-Quillen isomorphism。构造了equivariant Thom class。此文最神奇之处莫过于他们给出的Thom form的精巧的几何构造,此Thom form不是compactly supported,而是Gaussian的,即在无穷远处快速衰减。Mathai-Quillen’s Thom form拉回到base manifold上依然给出bundle的Euler form,因此事实上他们的构造给出了classical Thom form的一个推广。这一现象可以用vector bundle [;E;]和它的unit ball bundle \(\Bbb BE\) 之间的diffeomorphism解释,利用此diffeomorphism pullback Mathai-Quillen’s Thom form到 \(\Bbb BE\)上,由于Mathai-Quillen’s Thom form在\(E_x\)上衰减很快,这导致pullback之后它在\(\Bbb BE\)上是紧支的,我们就得到了classical Thom form。

3. Atiyah-Bott, The moment map and equivariant cohomology
此文利用elegant的topological argument证明了所谓的Atiyah-Bott localization formula,它是当时已知的最广泛的localization formula。Atiyah和Bott发现了localization的本质就是交换代数中的module localization。之后的诸多发展都和Atiyah-Bott的发现有关,比如刘克峰给出的Witten刚性定理的简单证明,Lian-Liu-Yau的mirror conjecture证明,Pandharipahde发展的virtual localization等等。此文我已经写了相关note:http://www.douban.com/note/235066024/

4. Atiyah-Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces
Atiyah和Bott的许多工作都是对已有事实的reinterpretation,但是这些reinterpretation最终被表明非常关键。这就是Atiyah和Singer的那个故事中Atiyah面对已知的事实说“我还没有理解它”的缘故。上面的localization formula就是这样,此文是又一个例子。Atiyah-Bott在Yang-Mills connection的语言下重新formulate了Narasimhan-Seshadri定理。这导致了Kobayashi和Hitchin对于一般的Kahler manifold上的全纯向量丛提出了他们的猜想。此猜想被Donaldson-Uhlenbeck-Yau证明。此文包含了许多方面,并且写得很详细,是学习Morse-Bott理论,equivariant cohomology,gauge theory等等知识的好场所。

5. Atiyah-Bott-Shapiro, Clifford modules
此文是Cliffrod algebra的标准参考文献,Lawson-Michelsohn的Spin Geometry第一章即用来解释本文。此文在Clifford algebra的基本性质方面写得很详细,而\(K\)-theory的部分则采用了Grothendieck的语言来处理。他们的主要结果是一些由Clifford module的Grothendieck群定义出的群 \(A_\ast\),\(A_\ast^\Bbb C\)和 \(K\) 群, \(KO\)群之间的同构关系: \(A_\ast\simeq\bigoplus_{k\geq0}KO^{-k}(pt)\), \(A_\ast^\mathbb{C}\simeq\bigoplus_{k\geq0}K^{-k}(pt)\), 这就将表示和拓扑联系到一起。他们的证明用到了\(K\)和\(KO\)的Bott periodicity并且注意到他们的结果实际上推广了Bott periodicity. 他们猜测应该有一个不必用到Bott periodicity的证明, 此证明已经被找到。

6. Chern-Simons, Characteristic forms and geometric invariants
事实上,他们的工作起源于要对带边流形证明Hirzebruch signature theorem,这时boundary term并不能用拓扑不变量来表示。考虑一个4-manifold with boundary,则boundary就是一个3-fold,而boundary term就是Chern-Simons invariant。当Simons把这个现象告诉Chern时,Chern立刻意识到这实际上通过是在主丛上超度一个over determined characteristic form得到的secondary characteristic class。事实上,这也是 \(\eta\)-invariant的动机所在。带边流形上的Hirzebruch signature theorem,包括带边流形上的index theorem,最终被Atiyah-Patodi-Singer证明,boundary term的出现使得他们要用到相关的geometric invariant,因此Atiyah-Patodi-Singer的指标定理称为geometric index theorem。更多的解释见:http://www.douban.com/note/272854801/

7. Cheeger-Simons, Differential characters and geometric invariants
为了要在底流形上得到Chern-Simons class的类比,他们引进了differential character的概念。事实上,Differential character可以解释被超度的形式不为\(0\) 的一般情形的超度现象。因此,这等价于将超度现象公理化。利用differential character的概念,他们推广了Chern-Weil同态并且解释了Atiyah-Patodi-Singer的geometric index theorem和foliation的示性类。更多解释见:http://www.douban.com/note/272854801/

8. Li-Yau, On the parabolic kernel of the Schrodinger operator
Li-Yau将研究elliptic equation的方法应用于parabolic equation,自此由maximum principle得到gradient estimate,再由gradient estimate在minimizing geodesic上积分得到Harnack inequality的办法成为研究parabolic equation的固定模式. 尤其是Li-Yau method被Hamilton同来研究Ricci flow,Hamiton找到了正确的类比从而为Perelman证明几何化猜想打下了基础。从这个意义上说,此文代表了几何分析上的最高成就。此文中最关键的结果是Li-Yau的heat kernel estimate:

\[H(x,y,t)\leq C(\varepsilon,n)V_x^{-\frac12}(\sqrt{t})V_y^{-\frac12}(\sqrt{t})\exp\big(\frac{-r^2(x,y)}{(4+\varepsilon)t}+C_1\varepsilon Rt\big)\]

其中\(-(n-1)R\) 是Ricci曲率的下界. \(H(x,y,t)\) 的上界估计是类似的. 令人惊奇的是, 这个估计中居然在 \(\exp\) 中的分母上出现了 \(4\), 这让人联想到\(\mathbb{R}^n\)中的热核, 可见这个估计的精确性是无与伦比的. 事实上, 这个 \(4\) 最早出现在 parabolic Harnack inequality 中, 不难想到用 Harnack 不等式来证明 Li-Yau 估计. 利用这一估计, 他们可以部分地 recover 此前 Gromov 得到的 higher eigenvalue estimate 和 Betti number estimate.

9. Mok-Siu-Yau, The Poincare-Lelong equations on complete Kahler manifolds
很典型的几何分析文章,所使用的工具是基本的gradient estimate和Moser的elliptic Harnack inequality。详细的说明见:http://www.douban.com/note/272854801/

10. Bott-Chern, Hermitian vector bundles and the equidistribution of the zeroes of their holomorphic sections
他们观察到Nevanlinna’s first main theorem等价于对double transgression做两次积分,并应用一些基本的积分不等式。他们的这个想法是Nevanlinna理论几何化的开始。此外,此工作定义了所谓的refined Chern class和Bott-Chern form,这在日后影响深远。详细的介绍见:http://www.douban.com/note/272854801/http://www.douban.com/note/227346029/

11. Chern-Moser, Real hypersurfaces in complex manifolds
CR几何的奠基之作,完全解决了高维CR结构的equivalence problem,相应的obstruction称为Chern-Moser invariants。Chern-Moser invariants应该类比于Riemann几何上的curvature tensor,因此可以希望有一整套相应的Chern-Weil理论。事实上,此情形下Chern-Simons的类比已经被作出:http://www.douban.com/group/topic/37328263/。他们解决equivalence problem的方法是把CR结构的等价性问题转化为 \(G\)-结构的等价性问题,本质上和Tanaka prolongation是一致的,相关介绍见:http://www.douban.com/note/257579475/

12. Serre, Faisceaux Algébriques Cohérents
文章写得非常详细,可以说作为代数几何初学者的入门也不为过。此文应该和Cartan’s theorem A and B放在一起理解,正是因为要理解coherent algebraic sheaf和coherent analytic sheaf之间的联系,Serre证明了GAGA。有关介绍参考:http://www.douban.com/note/264543532/

13. Cornalba-Griffiths, Analytic Cycles and Vector Bundles on Non-Compact Algebraic Varieties
一言以蔽之,此文要对Stein manifold上证明的结果在affine variety上给出相应的定量结果,所以实际上可以看做是GAGA principle的refinement。本文的叙述非常详细,对Serre’s theorem A and B,Grothendieck’s algebraic de Rham theorem等等重要的经典结果都有介绍。本文发展的transcendental cycle的定量理论和Oka principle with growth condition都发展甚微,可见尚有潜力。详细的介绍见:http://www.douban.com/note/264543532/

14. Griffiths-King, Nevanlinna theory and holomorphic mappings between algebraic varieties
此文是equi-dimensional value distribution theory方面最重要的文章,关键在于要在projective variety \(V\)上构造singular volume form,singular points的locus是具有simple normal crossing的divisor \(D\). 他们的文章写得非常详细,是想要知道代数几何怎样用于函数论的同学的上佳读物。关于这一工作我已经多次提及,见:http://www.douban.com/note/227346029/http://book.douban.com/review/5755301/http://www.douban.com/note/260177163/http://book.douban.com/review/5768238/

15. Yau, A general Schwarz lemma for Kahler manifolds
此文是Yau关于Ricci曲率有下界的Riemann流形上gradient estimate工作的直接推论。此Schwarz lemma事实上是Yau‘s Liouville theorem,即非负Ricci曲率的完备Riemann流形上不存在非常数的有界调和函数的推论。关于完备Riemann流形上的调和函数有一大堆有趣的结果,可以参考Peter Li写的综述:http://site.douban.com/204378/widget/forum/12552929/discussion/52845693/。Ahlfors的工作表明Schwarz lemma在curve case就是Nevanlinna第二基本定理,见:http://book.douban.com/review/5755301/

16. Mckean-Singer, Curvature and the eigenvalues of the Laplacian
Mckean-Singer证明了公式 \(\textrm{ind}(\mathcal{D})=\textrm{Str}(e^{-t\mathcal{D}^2})\),其中\(\mathcal{D}\)是Dirac operator而\(\textrm{Str}\)是supertrace。事实上,他们的原始工作只讨论了\(\mathcal{D}=d+d^\ast\)的情形,这时左边就是Euler characteristic。这时Mckean和Singer猜想右边应该能够用曲率展开,得到Gauss-Bonnet integrand,这将给出Gauss-Bonnet公式的另一个证明。他们验证了此猜想在 \(n=2\)的情形,得到了古典的曲面上的Gauss-Bonnet公式。此文将分析和拓扑相联系,是heat equation方面fundamental的好工作之一。此文应该视为将Gauss-Bonnet公式解释为指标定理的一种尝试。他们的猜想4年之后被Patodi证明了。

17. Patodi, Curvature and the eigenforms of the Laplace operator
此文是对Mckean-Singer猜想的第一个证明。事实山,大量的张量计算非常复杂。不过此文中通过复杂的计算证明了张量分析上最deep的定理,即Patodi’s cancellation theorem。一个简单证明见Gilkey的书:http://book.douban.com/subject/3749059/

18. Atiyah, Convexity and commuting Hamiltonians
利用Morse-Bott理论证明了moment map的convexity。事实上,假设\(M\)不止是symplectic,而且是Kahler的,Atiyah还给出了此定理的一个refinement。事实上,Atiyah的证明等价于使symplecto-morphism的fixed locus和某个Morse-Bott function的critical submanifolds相一致,因此这个方法应该和Atiyah-Bott localization的证明方法相类比。据此,我曾经建议考察使group action的fixed locus和其他submanifold coincide是否会导致其他重要结果,特别地我关心比如当这个submanifold是 \(M\) 的某个Gromov-Hausdorff limit的情形.

19. Griffiths, Variations on a theorem of Abel
详细地讲述了古典的Abel椭圆积分理论及其推广,这揭示了Hodge理论的本来面目。Hodge理论是Griffiths一辈子工作的中心所在,因此此文应该视为Ahlfors对自己的工作动机的解释。Griffiths还得到了Abel定理的两个推广,这能够帮助我们更好地理解具有higher codimension的algebraic cycle。此文有一篇重要的续作:http://www.douban.com/group/topic/39084301/

20. Clemens-Griffiths, The Intermediate Jacobian of the Cubic Threefold
这是Griffiths一辈子最伟大的工作。事实上,Griffiths一开始对于Hodge structure的研究都是formal的,但是他慢慢发现对于cubic 3-fold,相应的period map可以很好地被理解。因为cubic 3-fold实际上是cubic curve,即elliptic curve的类比。因此,他猜想在cubic 3-fold上对curve所用的研究方法应该能够得到很好的推广,相应的global Torelli theorem应该成立。因此他和Clemens具体研究了cubic 3-fold的polarized Hodge structure,结果令人惊奇:他们不但对cubic 3-fold证明了global Torelli theorem,而且通过考察theta divisor证明了它不是rational的,这是长期以来古典代数几何中最困难的猜想。详细的介绍见:http://www.douban.com/note/264543532/

21. Kobayashi, Kähler-Einstein metric on an open algebraic manifold
利用Carlson-Griffiths构造的singular volume form,Kobayashi找到了正确的initial metric并对它在Kahler class内做deformation得到了相应的Kahler-Einstein metric。于是在affine variety \(A=V\setminus D\)上存在使\(c_1(M)<0\)得Kahler-Einstein度量。据此,Kobayashi对\(A\)推广了Miyaoka-Yau不等式。详细的介绍见:http://book.douban.com/review/5768238/

22. Yau, On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation
Yau证明Calabi-Yau流形存在性的文章,此文的意义不需要任何解释。Yau的方法是continuity method,因此他必须找到相应的\(C^2\)-estimate。Yau的厉害之处在于用一大堆复杂的估计把这个\(C^2\)-estimate转化为一个\(C^0\)-estimate,而\(C^0\)-estimate就简单多了。在得到了\(c_1(M)=0\)的Kahler-Einstein度量存在性之后, \(c_1(M)<0\) 的情形立刻就变得trivial了. Yau的力量在此文中表露无遗, 有志于几何分析的学生应该多了解在复几何情形怎么使用分析方法, 本文是很好的出发点.

23. Carleson, On convergence and growth of partial sums of Fourier series
Carleson证明Luzin猜想的文章,也是调和分析上的最高成就。事实上, \(L^2\) 函数的Fourier级数几乎处处收敛这个结论本身是如此令人惊奇, 这是我本科阶段最想要弄明白的定理. Carleson的方法是使用dyadic partition,然后利用一个interated process来估计Carleson operator。对证明过程的概括性解释见:http://book.douban.com/review/4884107/。事实上,此定理目前已经有了简单证明,尤其是Lacey和Thiele利用Hilbert bilinear transform的证明,可以说大大简化了Carleson的证明方式。但是我始终更喜欢Carleson的证明,他的方法是如此神圣,教会我什么是一个分析学家。

24. Carleson, Two remarks on \(H^1\) and \(BMO\)
Calrson证明了\(BMO\)中函数的一个表示定理,这个深刻的结果导致了\(H^1\) 和 \(BMO\) 对偶关系最自然的证明.\(H^1\) 和 \(BMO\) 的对偶之所以令人惊奇是因为对于很多自然出现的函数空间我们事实上根本无法找出它的对偶,例如\(L^1\) 的对偶空间in general不是 \(L^\infty\)。因此,很难想象 \(L^1\) 的类比 \(H^1\) 会有一个如此自然的对偶空间。利用此定理可以recover Hardy space中的诸多古典结果,方法是把问题转化到\(BMO\)中解决。例如著名的Hardy定理,假如

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\in H^1,\]

则 \(\sum\limits_{n=0}^\infty|c_n|n^{-1}<\infty\).

25. Griffiths, Periods of integrals on algebraic manifolds: summary of main results and discussion of open problems
这是Griffiths对自己variation of Hodge structure理论的阶段性总结。此文中他描述了自己的动机,得到的主要结果和一些猜想及问题。就像我们多次提及的,Griffiths的工作的原始形式就是Abel椭圆积分理论。但是注意到Griffiths在这方面的第一篇论文出现在1968年,他显然还受到了Kodaira-Spencer的deformation theory的影响,这导致他定义了Hodge bundle。事实上,这就是locally constant sheaf \(R^nf_\ast\mathbb{C}\),其中\(f:\mathcal{X}\rightarrow S\). Hodge bundle导致我们能够理解对于一族Kahler流形,其Hodge结构是怎样变化的。事实上,设\(\mathcal{F}^n\subset\cdot\cdot\cdot\subset\mathcal{F}^0=\mathcal{H}\) 是Hodge bundle的Hodge filtration,\(\nabla\) 是Gauss-Manin connection,则我们有Griffiths transversality theorem \(\nabla\mathcal{F}^p\subset\mathcal{F}^{p-1}\otimes\Omega_S^1\). 此结果的non-trivialness在于它描述了Hodge结构的变化方式。据此Griffiths能够给出variation of Hodge structure的formal definition,这影响深远,它出现在Simpson关于Higgs bundle和Saito关于primitive form的工作中。90年代mirror symmetry出现之后,Hodge理论受到了前所未有的重视。

26. Chern, Geometry of  \(G\)-structures
Chern定义 \(G\)-结构的动机是equivalence problem,他后来意识到 Chern-Weil 理论最general的setting也应该是 \(G\)-结构。此文中他利用\(G\)-结构来分类各种几何,并且介绍了到1966年为止各个方面的主要成就,可以说对初学者而言是相当好的综述,可以理清领域的基本图景。补充介绍见:http://www.douban.com/note/257579475/

27. Atiyah, Vector bundles over an elliptic curve
Grothendieck分类了\(\mathbb{P}^1\)上的向量丛,证明了任意的向量丛 \(E\rightarrow\mathbb{P}^1\) 都可以分解为线丛的直和,这是对向量丛模空间的最早研究。事实上,Grothendieck的结果应该理解为\(\Bbb{P}^1\)上indecomposable的向量丛都是线丛。由于\(\mathbb{P}^1\) 的线丛被它们的Chern class决定,因此\(\mathbb{P}^1\) 上indecomposable的向量丛的模空间的维数是0。在genus大于0情形这是不对的,因为Jacobi inversion theorem表明\(\textrm{Pic}^d(C)=J(C)\),其中\(J(C)\)是代数曲线\(C\)的Jacobian variety, \(d\)是线丛的degree。Atiyah对于\(C\)是elliptic curve的情形研究了 \(C\)上不可约向量丛的模空间,这推广了Grothendieck的工作。用\(\textrm{Bun}(r,d)\)表示rank \(r\),degree \(d\)的向量丛的模空间,则 \(\textrm{Bun}(1,d)\simeq J(C)\simeq C\). 通过take transition function的determinant我们可以定义映射 \(\det:\textrm{Bun}(r,d)\rightarrow\textrm{Bun}(1,d)\)。Atiyah的主要结果是证明了映射\(\det\)的mapping degree是\(\gcd(r,d)\),因此当 \(\gcd(r,d)=1\) 时我们有 \(\textrm{Bun}(r,d)\simeq\textrm{Bun}(1,d)\simeq C\).

28. Guuning-Narasimhan, Immersion of open Riemann surfaces
此文是为了证明任意的open Riemann surface可以immerse到 \(\mathbb{C}\) 中,因此可以被realize成一个Riemann domain。事实上,他们的证明是open Riemann surface诸多良好性质的结果:任何一个open Riemann surface都能被嵌入到\(\mathbb{C}^3\)里,特别地,它们都是Stein manifold。open Riemann surface上任意的holomorphic vector bundle都是trivial的,因此\(H^1(X,\mathcal{O}_X^\ast)=0\)。另一方面,根据Cartan’s theorem B, \(H^1(X,\mathcal{O}_X)=0\). 因此利用exponential sheaf sequence我们得到\(H^2(X,\mathbb{Z})=0\). 这个事实对他们的证明是关键的。

29. Donaldson, Remarks on gauge theory, complex geometry and 4-manifold topology
作者试图将Hermitian-Einstein问题和 \(c_1(M)>0\) 情形的Kahler-Einstein问题纳入到同一框架。事实上,注意到\(\mu:\bar{\partial}\rightarrow\Lambda F(\bar{\partial})\)定义了unitary connection的无限维空间\(\mathcal{C}\)上的一个moment map,Kobayashi-Hitchin猜想等价于说\(\mathcal{C}_s/\mathcal{G}^\mathbb{C}\simeq\mu^{-1}(0)/\mathcal{G}\),其中\(\mathcal{C}_s\) 表示\(\mathcal{C}\)  的stable locus,\(\mathcal{G}\) 是gauge group。注意这个事实在finite dimensional case 就是 Kempf-Ness 定理,Kobayashi-Hitchin 猜测它在这个particular infinite dimensional case成立. Donaldson 试图对 Kahler-Einstein 情形 reformulate 出同样的表述. 另外这时 stability 的定义涉及到\(\mathcal{G}^\mathbb{C}\)-equivariant line bundle \(\mathcal{L}\), 它是一个determinant line bundle。这时我们应该考虑紧致辛流形\((M,\omega)\)上的compatible的近复结构的无限维空间\(\mathcal{J}\),\(\mathcal{G}\) 是symplectomorphism的identity component。Donaldson的主要结果是观察到这时可以定义推广的scalar curvature(在integrable case就是scalar curvature: \(\textrm{Sc}\omega^n=n!i\Omega\wedge\omega^{n-1}\), 并且证明了\(J\rightarrow\textrm{Sc}(J)\) 定义了\(\mathcal{J}\) 上的moment map。这样看来,Kahler-Einstein问题似乎应该对almost complex case推广。在integrable case,\(\mathcal{J}^{\textrm{int}}\subset\mathcal{J}\) 上有一自然的foliation,它的任意一个leaf可以看做固定的Kahler class中的Kahler metric。

30. Gross, Topological Mirror Symmetry
在SYZ框架下构造mirror pair的第一篇重要文章,作者topologically构造出了quintic 3-fold及其mirror。事实上,start with integral affine manifold \(B\), SYZ将mirror pair视为dual Lagrangian torus fibration \(T_B/\Lambda\) 和\(T^\ast_B/\check{\Lambda}\), 其中\(\Lambda\) 和\(\check{\Lambda}\) 是 dual lattices. 假如要得到有意义的例子,那么这两个 Lagrangian torus fibration 应该允许 singular fiber. Gross证明了对于quintic 3-fold case, 假如允许codimension 2 的singular locus, 那么 topologically 可以从 affine \(S^3\) with singularity 构造出quintic及quintic mirror. 事实上 quintic 及其 mirror 在拓扑上的根本区别在于交换了 positive fiber 和 negative fiber 的位置, 这些欧拉示性数不为 \(0\) 的 fiber 出现在一些分散的点上.

 Posted by at 5:47 am

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