第 29 届中国数学奥林匹克

江苏 南京

第一天

(2013 年 12 月 21 日    8:00–12:30)

1. 如图, 在锐角三角形 \(\triangle ABC\) 中, \(AB\gt AC\), \(\angle BAC\) 的平分线与边 \(BC\) 交于点 \(D\), 点 \(E\), \(F\) 分别在边 \(AB\), \(AC\) 上, 使得 \(B\), \(C\), \(F\), \(E\) 四点共圆. 证明: \(\triangle DEF\) 的外接圆圆心与 \(\triangle ABC\) 的内切圆圆心重合的充分必要条件是 \(BE+CF=BC\).

2. 对大于 \(1\) 的整数 \(n\), 定义集合

\[D(n)=\{a-b|n=ab, a,b  \text{为正整数}, a\gt b\}.\]

证明: 对任意大于 \(1\) 的整数 \(k\), 总存在 \(k\) 个互不相同且大于 \(1\) 的整数 \(n_1\), \(n_2\), \(\dotsc\), \(n_k\), 使得 \(D(n_1)\cap D(n_2)\cap\dotsb\cap D(n_k)\) 的元素个数不小于 \(2\).

3. 证明: 存在唯一的函数 \(f\colon \Bbb N^*\to\Bbb N^*\) 满足

\[f(1)=f(2)=1,        f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1)), n=3,4,\dotsc,\]

并对每个整数 \(m\geqslant2\), 求 \(f(2^m)\) 的值.

第二天

(2013 年 12 月 22 日    8:00–12:30)

4. 对整数 \(n\gt1\), 设 \(n=p_1^{\alpha_1}\dotsm p_l^{\alpha_l}\) 是 \(n\) 的标准分解式, 定义

\[\omega(n)=l, \Omega(n)=\alpha_1+\dotsb+\alpha_l.\]

是否对任意给定的正整数 \(k\) 及正实数 \(\alpha\), \(\beta\), 总存在整数 \(n\gt1\), 使得

\[\frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}\gt\alpha, \frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}\lt\beta?\]

证明你的结论.

5. 设集合 \(X=\{1,2,\dotsc,100\}\), 函数 \(f\colon X\to X\) 同时满足
(1) 对任意 \(x\in X\), 都有 \(f(x)\ne x\);
(2) 对 \(X\) 的任意一个 \(40\) 元子集 \(A\), 都有 \(A\cap f(A)\ne\varnothing\).
求最小的正整数 \(k\), 使得对任意满足上述条件的函数 \(f\), 都存在 \(X\) 的 \(k\) 元子集 \(B\), 使得 \(B\cup f(B)=X\).
注: 对 \(X\) 的子集 \(T\), 定义 \(f(T)=\{x|\text{存在}  t\in T, \text{使得}  x=f(t)\}\).

6. 对于非空数集 \(S\), \(T\), 定义

\[S+T=\{s+t|s\in S, t\in T\},   2S=\{2s|s\in S\}.\]

设 \(n\) 为正整数, \(A\), \(B\) 均为 \(\{1, 2,\dotsc, n\}\) 的非空子集. 证明: 存在 \(A+B\) 的子集 \(D\), 使得

\[D+D\subseteq2(A+B),  \text{且} |D|\geqslant\frac{|A|\cdot|B|}{2n},\]

这里 \(|X|\) 表示有限集 \(X\) 的元素个数.