受中国数学奥林匹克委员会的委托, 2014 年第 55 届 IMO 中国数学奥林匹克国家集训队的集训将于 2014 年 3 月 10 日至 3 月 25 日在江苏省南京师范大学附属中学江宁分校举行.

第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一

第一天

2014 年 3 月 12 日上午 8:00-12:30

1. 如图, 已知 \(ABCD\) 是圆内接四边形, 其对角线 \(AC\)与 \(BD\) 互相垂直. 点 \(F\) 在边 \(BC\) 上, 直线 \(EF\) 平行于 \(AC\) 交 \(AB\) 于点 \(E\), 直线 \(FG\) 平行于 \(BD\) 交 \(CD\) 于点 \(G\). 设点 \(E\) 在 \(CD\) 上的射影为 \(P\), 点 \(F\) 在 \(DA\) 上的射影为 \(Q\), 点 \(G\) 在 \(AB\) 上的射影为 \(R\). 证明: \(QF\) 平分 \(\angle PQR\).

2. 设 \(A\) 是一个有限正整数集合, 令 \(B=\left\{\dfrac{a+b}{c+d}\bigg|a,b,c,d\in A\right\}\). 证明:

\[|B|\geq2|A|^2-1,\]

其中 \(|X|\) 表示有限集合 \(X\) 的元素个数.

3. 已知函数 \(f\colon N^*\to N^*\) 同时满足:
(1) 对任意正整数 \(m\), \(n\), 有 \((f(m),f(n))\leq(m,n)^{2014}\);
(2) 对任意正整数 \(n\), 有 \(n\leq f(n)\leq n+2014\).
证明: 存在正整数 \(N\), 使得对每个整数 \(n\geq N\), 均成立 \(f(n)=n\).

第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一

第二天

2014 年 3 月 13 日上午 8:00-12:30

4. 对任意一个实数列 \(\{x_n\}\), 定义数列 \(\{y_n\}\) 如下:

\[y_1=x_1,       y_{n+1}=x_{n+1}-\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)^{\dfrac12}(n\geq1).\]

求最小的正数 \(\lambda\), 使得对任意实数列 \(\{x_n\}\) 及一切正整数 \(m\), 均有

\[\frac1m\sum_{i=1}^mx_i^2\leq\sum_{i=1}^m\lambda^{m-i}y_i^2.\]

5. 设 \(a_1\lt a_2\lt\dotsb\lt a_t\) 为 \(t\) 个给定的正整数, 其中任意三项均不成等差数列. 对 \(k=t\), \(t+1\), \(\dotsc\), 定义 \(a_{k+1}\) 为大于 \(a_k\), 并使得 \(a_1\), \(a_2\),\(\dotsc\), \(a_{k+1}\) 中任意三项均不成等差数列的最小正整数. 对任意正实数 \(x\), 用 \(A(x)\) 表示数列 \(\{a_i\}_{i\geq1}\) 中不超过 \(x\) 的数的个数. 证明: 存在实数 \(c\gt1\) 及 \(K\gt0\), 使得 \(A(x)\geq c\sqrt x\) 对任意 \(x\gt K\) 成立.

6. 设整数 \(n\geq2\). 将 \(1\), \(2\),\(\dotsc\), \(n^2\) 填入一个 \(n\times n\) 的方格表中, 每个小方格中填入一个数, 每个数恰使用一次. 两个小方格称为相邻的, 当且仅当它们有公共边. 已知任意两个相邻的小方格中所填数之差的绝对值不超过 \(n\). 证明: 存在一个 \(2\times2\) 的小正方形, 它的对角方格所填的数之和相等.