第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二

第一天

2014 年 3 月 17 日上午 8:00-12:30

1. 证明: 对任意正整数 \(k\) 及 \(N\), 有

\[\left(\frac1N\sum_{n=1}^N(\omega(n))^k\right)^{\dfrac1k}\leq k+\sum_{q\leq N}\frac1q,\]

这里 \(\sum\limits_{q\leq N}\) 表示对所有不超过 \(N\) 的素数幂 \(q\) (包括 \(q=1\)) 求和.
注: 对整数 \(n\gt1\), \(\omega(n)\) 表示 \(n\) 的不同素因子的个数, 并规定 \(\omega(1)=0\).

2. 给定整数 \(a\geq9\). 证明: 至多存在有限个正整数 \(n\), 同时满足下列条件:
(1) \(\tau(n)=a\);
(2) \(n\mid \varphi(n)+\sigma(n)\).
注: 对于正整数 \(n\), \(\tau(n)\) 表示 \(n\) 的正约数个数, \(\varphi(n)\) 表示不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互素的正整数的个数, \(\sigma(n)\) 表示 \(n\) 的所有正约数之和.

3. 设 \(A\) 是平面上一个凸 \(n\) 边形的顶点构成的集合. \(A\) 中每两点之间距离的所有不同值从大到小依次记为 \(d_1\gt d_2\gt\dotsb\gt d_m\gt0\). 设 \(A\) 中距离为 \(d_i\) 的无序点对恰有 \(\mu_i\) 对, \(i=1\), \(2\),\(\dotsc\), \(m\).
证明: 对任意正整数 \(k\leq m\), 有 \(\mu_1+\mu_2+\dotsb+\mu_k\leq(3k-1)n\).

第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二

第二天

2014 年 3 月 18 日上午 8:00-12:30

4. 给定半径为 \(R\) 的圆 \(O\), 其内接三角形 \(ABC\) 是三边两两不等的锐角三角形, \(AB\) 是该三角形的最大边(如图所示), \(AH_A\), \(BH_B\), \(CH_C\) 分别是边 \(BC\), \(CA\), \(AB\) 上的高. 设 \(D\) 为 \(H_A\) 关于直线 \(H_BH_C\) 的对称点, \(E\) 为 \(H_B\) 关于直线 \(H_AH_C\) 的对称点. \(P\) 为直线 \(AD\) 与 \(BE\) 的交点, \(H\) 为 \(\triangle ABC\) 的垂心. 证明: \(OP\cdot OH\)为定值, 并求出这个值(用 \(R\) 表示).

5.  求具有下述性质的最小正常数 \(c\): 对任意一个简单图 \(G=G(V,E)\), 只要 \(|E|\geqslant c|V|\), 则 \(G\) 一定含有两个无公共顶点的圈, 并且其中之一是带弦圈.
注: 图 \(G(V,E)\) 的圈是指一个两两不同的顶点序列 \(\{v_1\), \(v_2\), \(\dotsc\), \(v_n\}\subseteq V\), 其中 \(v_iv_{i+1}\in E\)(\(1\leqslant i\leqslant n\)) (这里 \(n\geqslant 3\), \(v_{n+1}=v_1\)); 带弦圈是指一个圈 \(\{v_1\), \(v_2\), \(\dotsc\), \(v_n\}\), 且存在 \(i\), \(j\), \(1\lt i-j\lt n-1\), 满足 \(v_iv_j\in E\).

6.  设 \(k\) 是给定的正偶数, \(N\) 是 \(k\) 个互不相同的素数 \(p_1\), \(\dotsc\), \(p_k\) 的乘积, \(a\), \(b\) 是两个正整数, \(a\lt b\leqslant N\). 记

\[S_1=\left\{d\,\big|\,d|N,a\leqslant d\leqslant b,d\,\text{的素因子个数是偶数}\right\},\]

\[S_2=\left\{d\,\big|\,d|N,a\leqslant d\leqslant b,d\,\text{的素因子个数是奇数}\right\}.\]

证明: \(|S_1|-|S_2|\leqslant \mathrm{C}_k^{\frac k2}\).