第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三

第一天

2014 年 3 月 23 日上午 8:00-12:30

1. 如图, 设锐角三角形 \(ABC\) 的外心为 \(O\), 点 \(A\) 在 \(BC\) 边上的射影为 \(H_A\), \(AO\) 的延长线与三角形 \(BOC\) 的外接圆交于点 \(A^\prime\), 点 \(A^\prime\) 在直线 \(AB\), \(AC\) 上的射影分别是 \(D\), \(E\), 三角形 \(DEH_A\) 的外心为 \(O_A\). 类似定义点 \(H_B\), \(O_B\) 与 \(H_C\), \(O_C\).
证明: \(O_AH_A\), \(O_BH_B\), \(O_CH_C\) 三线共点.

2. 设 \(A_1A_2\dotsm A_{101}\) 是正 101 边形, 将每个顶点染上红, 蓝两色之一. 记 \(N\) 是满足如下条件的钝角三角形的个数: 三角形的三个顶点均为该 \(101\) 边形的顶点, 两个锐角顶点的颜色相同, 且与钝角顶点的颜色不同.
(1) 求 \(N\) 的最大可能值;
(2) 求使得 \(N\) 取得最大值的不同染色方法数(对于两种染色方法, 只要有某个 \(A_i\) 上的颜色不同, 就认为是不同的染色方法).

3. 证明: 不定方程

\[(x+1)(x+2)\cdots(x+2014)=(y+1)(y+2)\dotsb(y+4028)\]

没有正整数解\((x,y)\).

第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三

第二天

2014 年 3 月 24 日上午 8:00-12:30

4. 设 \(k\) 是给定的奇数, \(k\gt3\). 证明: 存在无穷多个正奇数 \(n\), 使得有两个正整数 \(d_1\), \(d_2\), 满足 \(d_1\), \(d_2\) 均整除 \(\dfrac{n^2+1}2\), 且 \(d_1+d_2=n+k\).

5. 设 \(n\) 是给定的整数, \(n\gt1\). 求最大的常数 \(\lambda(n)\), 使得对任意 \(n\) 个非零复数 \(z_1\), \(z_2\), \(\dotsc\), \(z_n\), 有

\[\sum_{k=1}^n\left|z_k\right|^2\geqslant \lambda(n)\cdot\min_{1\leqslant k\leqslant n}\left\{\left|z_{k+1}-z_k\right|^2\right\},\]

其中 \(z_{n+1}=z_1\).

6.  对整数 \(k>1\), 记 \(f(k)\) 是将 \(k\) 分解为大于 \(1\) 的正整数之积的分解方法数(不计乘积中因子的次序, 例如 \(f(12)=4\), 因为 \(12\) 有如下四种分拆: \(12\), \(2\times 6\), \(3\times 4\), \(2\times 2\times 3\)).
证明: 若 \(n\) 是大于 \(1\) 的整数, \(p\) 是 \(n\) 的素因子, 则 \(f(n)\leqslant\dfrac np\).