第 56 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一

第一天

2015 年 3 月 13 日上午 8:00-12:30

1. 如图, 过 \(\triangle ABC\) 顶点 \(A\) 的圆 \(\Gamma\) 与边 \(AC\), \(AB\) 分别交于 \(E\), \(F\), 交 \(\triangle ABC\) 的外接圆于另一点 \(P\). 求证: 点 \(P\) 关于直线 \(EF\) 的对称点在直线 \(BC\) 上的充分必要条件是: 圆 \(\Gamma\) 过 \(\triangle ABC\) 的外心 \(O\).

2015 China IMO team selection test 1 problem 1

2. 设 \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(\dotsc\) 为互不相等的正整数, \(c\) 是小于 \(\dfrac32\) 的正实数. 证明: 存在无穷多个正整数 \(k\), 使得 \([a_k, a_{k+1}]\gt ck\).

3. 设 \(n\), \(k\) 是给定的正整数, 一个糖果售卖机里有许多不同颜色的糖果, 每种颜色的糖果有 \(2n\) 颗. 有一些小孩来买糖果, 每个小孩都从售卖机里恰买了两颗糖果, 且这两颗糖果颜色不同. 已知在任意 \(k+1\) 个小孩中均有两个小孩, 他们至少有一颗糖果的颜色相同. 求小孩总数的最大可能值.

第 56 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一

第二天

2015 年 3 月 14 日上午 8:00-12:30

4. 证明: 对任意整数 \(n\geq3\), 存在正整数  \(a_1\lt a_2\lt\dotsb\lt a_n\), 使得对 \(i=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(n-2\), 以 \(a_i\), \(a_{i+1}\), \(a_{i+2}\) 为边长可构成一个面积为正整数的三角形.

5. 给定正整数 \(n\). 证明: 对任意不超过 \(3n^2+4n\) 的正整数 \(a\), \(b\), \(c\), 均存在绝对值不超过 \(2n\) 且不全为 \(0\) 的整数 \(x\), \(y\), \(z\), 使得

\[ax+by+cz=0.\]

6. 若干人举行乒乓球单打比赛, 任意两人至多比赛一次. 已知
(1) 每个人胜了至少 \(a\) 个人, 也负于至少 \(b\) 个人(\(a\), \(b\geq1\));
(2) 对于任意两人 \(A\), \(B\), 均存在若干个不同的人 \(P_1\), \(\dotsc\), \(P_k\)(\(k\geq2\))(其中\(P_1=A\), \(P_k=B\)), 使得 \(P_i\) 胜 \(P_{i+1}\)(\(i=1\), \(\dotsc\), \(k-1\)).
证明: 存在 \(a+b+1\) 个不同的人 \(Q_1\), \(\dotsc\), \(Q_{a+b+1}\), 使得 \(Q_i\) 胜 \(Q_{i+1}\)(\(i=1\), \(\dotsc\), \(a+b\)).