试题来自贴吧
2017 China IMO team selection test 2 day 1
2017 China IMO team selection test 2 day 2
这里转一下贴吧网友 1a2b03c 给出的题 6 有关的一个关键, 这网友水平挺高的
\(\alpha\), \(\beta\) 都是无理数,
邓煜的看法:
最后那里可以不用极限来说. 只要证明对任何 \(c\gt0\), 存在 \(n\) 使得\(\{n\beta\}\) 属于 \((b_3, b_4)\) 且 \(\{n\alpha\}\lt c\) 即可. 假设不然, 由引理 3, 取 \(n^\prime\) 和 \(n^{\prime\prime}\) 使得 \(\{n^\prime\beta\}\lt \dfrac{b_4-b_3}2\), \(\{n^\prime\alpha\}=1-p(p<c) \) 和 \(\{n^{\prime\prime}\beta\}>1-\dfrac{b_4-b_3}2\), \(\{n^{\prime\prime}\alpha\}=1-q(q<c)\).
今对任何 \(n\)，若\(\{n\beta\}\) 属于 \((b_3, b_4)\)，则取决于是否 \(\{n\beta\}<\dfrac{b_3+b_4}2\), 令 \(n_1=n+n^\prime\)或 \(n+n^{\prime\prime}\), 则由于\(\{n\alpha\}\gt c\gt \max(p,q)\)，故 \(\{n_1\alpha\}\lt\{n\alpha\}-\max(p,q)\); 因 \(\{n_1\alpha\}\gt c\), 故 \(\{n\alpha\}\gt c+\max(p,q)\). 如此迭代下去即得矛盾.
最后应该是 \(\{n_1\alpha\}\leqslant \{n\alpha\}-\min(p,q)\); 因 \(\{n_1\alpha\}\gt c\), 故 \(\{n\alpha\}\gt c+\min(p, q)\).