A one sentence Proof of the Infinitude of Primes

Sam Northshield 用一句话就说明了质数的无穷性. 这个很精彩的证明是这样的:

Proof.  If the set of primes is finite, then

\[0\lt \prod_p \sin\left(\frac \pi p\right)= \prod_p \sin\left(\frac{\pi\Big(1+2\prod\limits_{p’}p’\Big)}p\right)=0.     \qquad          \Box\]

有更短的数学证明吗?应该没有! 这个证明正确吗?好像不是一目了然啊!

不等号 \(\lt\) 显而易见.

第一个等号 \(=\) 也很显然, 因为\(\prod\limits_{p’}p’\) 跑遍所有的(有限个)质数, 因此, 对于任意的质数 \(p\), \(p\mid\prod\limits_{p’}p’\) 为真.

关键的地方来了, 为什么必有一项 \(\sin\Bigg(\frac{\pi\Big(1+2\prod\limits_{p’}p’\Big)}p\Bigg)=0\)? 这是因为 \(1+2\prod\limits_{p’}p’\) 肯定有质因子, 不妨 \(q\) 是其中之一. 设整数 \(k\) 使得 \(1+2\prod\limits_{p’}p’=kq\), 于是

\[\sin\left(\frac{\pi\Big(1+2\prod\limits_{p’}p’\Big)}q\right)=\sin k\pi=0.\]

似曾相识? Euclid 的那个最著名的证明好像也有这么一个类似的步骤!

普遍流行的认识是, Euclid 的那个质数无穷性的著名证明是通过反证法. 事实不是如此.

References

1. Sam Northshield, A One-Line Proof of the Infinitude of Primes, The American Mathematical Monthly, Vol. 122, No. 5 (May 2015), p. 466
2. Michael Hardy and Catherine Woodgold, Prime Simplicity,  the Mathematical Intelligencer, Volume 31, Issue 4, December 2009,  44-52
3. Harold Edwards, Contradict or Construct?,  the Mathematical Intelligencer, Volume 32, Issue 1, March 2010, p.3
4. Harold Edwards, Essays in Constructive Mathematics,  Springer, 2010