May 062025
 

Functional Analysis Notes (2011) Andrew Pinchuck 的107页讲义,条理非常清晰,泛函分析基础的所有主要结论都包括进来了。

作者把 PDF 从主页移除了;如果要纸质版,可以留言

学习泛函分析的教科书很多,这个讲义只有概念和定理,例题也很稀缺,但结论都应当记住。

限于篇幅,泛函分析很多的课题都没有深入

如果想短时间了解泛函分析,可以拿这个讲义来学习。学习本讲义大抵只要数学分析、基本的高等代数、点集拓扑为先修。

这里要指出的是这个讲义的几个错误或疏忽,并作一些补充:

  • 定理5.5.2的(b),证明的第一部分,两个拓扑实际是同一个时,要指出X 是有限维,这个证明肯定是通不过的,但是中间那一部分论证还是有用的。要完成证明,还要加补充不少。
  • 定理5.2.1的证明的最后,\(||f || =1\) 的论证,要做一些修正。思路没问题,要订正的是细节。
  • 定理5.5.4 的证明,要对本讲义的 Hahn-Banach 定理做很多深入探究才行。
  • 定理5.5.5 的(b)和(c): (b)的证明用到了 Proposition 4.2.4,然而Proposition 4.2.4只处理了X 是有限维,无限维要做一些说明。(无限维空间X 的dual space 的维数的细致结果并不容易得到);至于(c),讲义实际没有给证明。 (c)的证明,用接下来的定理 5.5.6 可以;然而,在一种特殊情形可以有另外的办法,即当 X 是 Banach 空间,先用定理5.5.7,然后利用定理5.5.10,最后是定理5.3.2.
  • 定理5.5.7的证明没有问题,但是这个证明远远不是看起来那么简单:在拓扑空间中证明某个子集为闭,采用了 net (序列的推广)的新事物,然则这个概念,例如,参考 Munkres 187 页。
  • 定理 5.5.10 的证明也用到了 net.
  • 定理 5.5.8 的证明,typos 至少有四处。不是直接利用 Hahn-Banach Theorem, 而是定理5.2.1
May 052025
 

fiber bundle and characteristic classes

项武义2006年初在北大有一个八小时短课(讲义第一页写成了2005),有一个短的讲义39页《纤维丛之基础与示性类理论之概要》。

这个课,2006年五六月,项去复旦为他的老朋友谷超豪庆祝生日,也在复旦讲过,但时长只有一半,是四小时。

只是一个短期课程。

本站只有纸质版。如果要这个资料,可以留言。

Aug 192020
 

从模函数到单值化定理 Ⅴ

秋水无涯

Prologue:

…It is true that Mr. Fourier had the opinion that the principal purpose of mathematics was the benefit of the society and the explanation of phenomena of nature; but a philosopher like he should know that the sole purpose of science is the honor of the human mind, and under this title, a question about numbers is as valuable as a question about the system of the world…

——C. G. Jacobi, Letter to Legendre

 

紧Riemann面是代数几何学家感兴趣的对象,因为可以将其视为复射影空间中的代数曲线。在接下来的两章中,我们利用单值化定理对紧Riemann面做一个初步的讨论。

以 $\mathbb{\bar{C}}$ 为万有覆叠的紧Riemann面$S$ 解析同构于$ \mathbb{C}P^{1}$,有理函数是其上仅有的亚纯函数。拓扑上我们得到了一个亏格为$0$的闭曲面(球面)。这一情形是简单的。

以$\mathbb{C}$为万有覆叠的紧Riemann面S解析同构于$\mathbb{C}/\Lambda$,$\Lambda$是某个格。从拓扑上看,这是一个亏格为$1$ 的闭曲面(环面)。

和亏格$0$ 的情形不同,并非所有亏格 $1$ 的紧Riemann面都彼此解析同构。假定$ \Lambda$ 的基按逆时针排列,即$\Im(\omega_{2}/\omega_{1})\gt 0$。对同一个格可以选取不同的基,彼此相差一个$PSL(2,\mathbb{Z})$中的线性变换。将相差伸缩和旋转变换的格视为等价的,则等价类可以用 $\mathbb{H}/ PSL(2,\mathbb{Z})$进行参数化。通过覆叠映射定义$S$上的复结构,容易证明 $S$ 和 $S^{\prime}$ 解析同构当且仅当$\Lambda$ 和$\Lambda^{\prime}$ 等价。今后我们总是假定讨论的格带有标准基$1,\tau,\Im(\tau)\gt0$。

我们希望实现代数曲线 $S $ 到 $\mathbb{C}P^{N}$ 的嵌入。最直接的想法是在 $S$ 上找不同时为$0$ 的 $N+1$ 个全纯函数构作射影坐标系。然而紧Riemann面上不存在全纯函数。一个变通方案是在$\hat{S}$上寻找有特殊对称性的全纯函数f。具体地说,视单值群 $G$ 为 $Aut(\mathbb{C})$的子群,我们希望对 $g \in G,f_{i}(gz)=\gamma_{g}(z)f_{i}(z),\gamma_{g}(z)$是仅依赖于 $g$ 的整函数且处处不为 $0$。这样利用等价关系仍可以同时消去所有的$\gamma_{g}(z)$。

实际上我们拥有了一个单值群G到整函数环的乘法群的同态。如果我们取同态象的生成元为$1$和 $e^{-2k\pi iz}$,就得到:

$$f_{i}(z+1)=f_{i}(z),f_{i}(z+\tau)=e^{-2k\pi iz}f_{i}(z)$$

这时满足条件的 $f_{i}$可以用Fourier展开直接构造出来。计算指出其Fourier系数满足一个$k$ 阶递推关系,且对任意选取的初始值收敛,故这些函数构成一个k维函数空间。

$S$ 当然不能嵌入 $\mathbb{C}P^{1}$。取 $k=3$,利用上述的 $f_{i}$ 可完成 $S$ 到 $\mathbb{C}P^{2}$ 的嵌入。我们不再讨论技术性的细节,而是指出类似的想法可以推广到高维。高维复环面可以嵌入射影空间当且仅当其周期矩阵满足Frobenius关系。

按上述方式定义的 $f_{i}$是一种特殊的theta函数。k称为theta函数的权。我们利用theta函数来研究 $S$ 上的亚纯函数。亏格为 $1$ 的紧Riemann面上的亚纯函数对应 $\mathbb{C}$上的双周期函数,沿用历史上的叫法,也称为椭圆函数。现在很容易构造这样的函数:取两个权为 $k$ 的theta函数的商即可。这个利用theta函数的商构作椭圆函数的想法是Jacobi的。椭圆函数论是一门不小的学问,和很多有趣的话题有关。这里我们想指出的是,椭圆函数是 $\mathbb{C}$上$G$-不变的亚纯函数。在 $\triangle$ 上 $G$-不变的亚纯函数称为自守函数。在第6章中我们将会看到Jacobi的想法如何启发了Poincaré在自守函数方面的工作。

Weierstrass提出了另一种构造椭圆函数的方法,即利用Weierstrass $\mathfrak{P}$函数。这方法简洁明了,被大多数现代课本采用。然而值得指出的是,theta函数处在数论、自守形式、函数论和数学物理的交叉点上,研究其性质有极高的附加价值。在第7章中有一个重要的例子:尖点形式$\Delta$。

在Jacobi看来,纯数学和应用数学是一体的(Bourbaki,尤其是Dieudonné鼓吹的“为了人类心智的荣耀”是对Jacobi可耻的断章取义)。在对theta函数的研究中他身体力行地实践了这一哲学。在现代,这一传统的有力继承者是Arnold,因而引用Arnold的话来结束是适当的:

Jacobi noted, as mathematics’ most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum.

These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology.

The emotional significance of such discoveries for teaching is difficult to overestimate. It is they who teach us to search and find such wonderful phenomena of harmony of the Universe.

 Posted by at 1:21 pm
Aug 192020
 

本文是转载

在复分析中,Morera 定理,以 Giacinto Morera 的名字命名,是用来证明一个函数全纯的重要准则。

Morera 定理是说,如果函数 \(f \) 定义在复平面的开集 \(D \) 上的连续函数,并且

\[\displaystyle\oint_C f(z) dz = 0\]

对  \(D\) 内的任意三角形  \(C\), 那么 \(f \) 全纯.

Morera 定理的假设等价于 \(f \) 在 \(D\) 中有原函数. Morera 定理的逆一般而言,是不成立的。一个全纯函数在定义域上未必有原函数,除非添加更多的条件。例如, 如果函数的定义域是单连通, Cauchy 积分定理断定全纯函数沿闭曲线的线积分是 \(0\)

现在我们陈述并且证明 Morera 定理的一个推广:

如若 \(f \) 在 \( \mathbb C\) 连续,  并且

\[\displaystyle\int_C f(z) dz =0 \]

对每个圆  \(C\). 证明\(f \) 全纯.

证明一

Step 1. Assume first that $f \in C^1$. Then writing $f = u + iv$ for $u, v : \Bbb{C} \to \Bbb{R}$ shows that for any $z_0 \in \Bbb{C}$ and $r > 0$,

$$ 0 = \oint_{\partial B_r(z_0)} f(z) \, dz = \oint_{\partial B_r(z_0)} (u \, dx – v \, dy) + i \oint_{\partial B_r(z_0)} (u \, dy + v \, dx)$$

and hence the real part and the imaginary part vanish simultaneously. Now by the Green’s theorem,

$$ 0 = -\oint_{\partial B_r(z_0)} (u \, dx – v \, dy) = \iint_{B_r(z_0)} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right) \, dxdy $$
$$ 0 = \oint_{\partial B_r(z_0)} (u \, dy + v \, dx) = \iint_{B_r(z_0)} \left( \frac{\partial u}{\partial x} – \frac{\partial v}{\partial y}\right) \, dxdy $$

Since this is true for any ball $B_r(z_0)$, dividing both equations by $|B_r(z_0)| = \pi r^2$ and taking $r \to 0$ yields the Cauchy-Riemann equation

$$ \frac{\partial u}{\partial x} -= \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = – \frac{\partial v}{\partial x}. $$

This shows that $f$ is holomorphic.

Step 2. Now we only impose the condition that $f$ is continuous. In order to utilize the previous step, let $\varphi : \Bbb{C} \to \Bbb{R}$ be a compactly supported smooth function such that

$$ \iint_{\Bbb{C}} \varphi(\mathrm{x}) \, d^2\mathrm{x} = 0. $$

Then it is not hard to check that $f_n$ defined by

$$ f_n(z)
= \iint_{\Bbb{C}} f(\mathrm{x})\varphi_n(z-\mathrm{x}) \, d^2\mathrm{x}
= \iint_{\Bbb{C}} f(z-\mathrm{x})\varphi_n(\mathrm{x}) \, d^2\mathrm{x},
\qquad \varphi_n(\mathrm{x}) = n^2 \varphi(n\mathrm{x}) $$

are smooth and the sequence $(f_n)$ converges locally uniformly to $f$. Moreover,

$$\begin{align*}
\oint_{\partial B_r(z_0)} f_n(z) \, dz
&= \oint_{\partial B_r(z_0)} \iint_{\Bbb{C}} f(z-\mathrm{x})\varphi_n(\mathrm{x}) \, d^2\mathrm{x} dz \\
&= \iint_{\Bbb{C}} \bigg( \oint_{\partial B_r(z_0)} f(z-\mathrm{x}) \, dz \bigg) \varphi_n(\mathrm{x}) \, d^2\mathrm{x} \\
&= \iint_{\Bbb{C}} \bigg( \oint_{\partial B_r(z_0-\mathrm{x})} f(z) \, dz \bigg) \varphi_n(\mathrm{x}) \, d^2\mathrm{x} \\
&= 0.
\end{align*}$$

Therefore $(f_n)$ is a sequence of holomorphic functions by Step 1. Since $f$ is a locally uniform limit of holomorphic functions, $f$ is holomorphic as well. (Cauchy integration formula guarantees this.)

 

Addendum. Locally uniform convergence of $f_n$:

Let $\bar{B}(0, R)$ be any compact ball in $\Bbb{C}$ and $\epsilon > 0$ be given. Pick $\delta > 0$ and $N \in \Bbb{N}$ as follows:

Since $f$ is uniformly continuous on the compact set $\bar{B}(0, R+1)$, there exists $\delta > 0$ such that $|f(z) – f(w)| < \epsilon$ whenever $z, w \in \bar{B}(0, R+1)$ and $|z-w| < \delta$. May assume that $\delta < 1$.

Since $\varphi$ is compactly supported, there exists $N > 0$ such that $\operatorname{supp} \varphi_n \subset B(0, \delta)$ for all $n \geq N$.

Now for $z \in \bar{B}(0, R)$ and for $n \geq N$,

$$\begin{align*}
| f_n(z) – f(z) |
&\leq \iint_{\Bbb{C}} |f(z-\mathrm{x}) – f(z)| |\varphi_n(\mathrm{x})| \, d^2\mathrm{x} \\
&= \iint_{B(0, \delta)} |f(z-\mathrm{x}) – f(z)| |\varphi_n(\mathrm{x})| \, d^2\mathrm{x} \\
&\leq \iint_{B(0, \delta)} \epsilon |\varphi_n(\mathrm{x})| \, d^2\mathrm{x} \\
&= C\epsilon,
\end{align*}$$

where $C = \iint_{\Bbb{C}}|\varphi| = \iint_{\Bbb{C}}|\varphi_n|$ is an absolute constant. This shows that $f_n \to f$ uniformly on $\bar{B}(0, R)$.

 

证明二

Proof. If $\varphi(z)$ is a smooth bounded function with

$$\displaystyle\int_{\mathbb C} \varphi(z)dxdy = 1 $$

let

$$\displaystyle\varphi_\varepsilon(z) = \frac{1}{\varepsilon^2} \varphi(\frac{z}{\varepsilon})$$

so $\varphi_\varepsilon(z)$ is an approximate identity.

Define

$$\displaystyle f_\varepsilon(z) = \int_{\mathbb C} f(z-w) \varphi_\varepsilon(w)dxdy,$$

that is, the convolution of f and $\varphi_\varepsilon$. Then by Folland Prop. 8.10 $f_\varepsilon$ is smooth (actually smooth on compact subsets which implies smooth everywhere). By Folland Thm. 8.14 $f\_\varepsilon \to f $ uniformly on compact subset as
$\varepsilon \to 0$ and

$$\displaystyle\int_C {{f_\varepsilon }} (z)dz = \int_C {\int_\mathbb{C} f } (z – w){\varphi _\varepsilon }(w)dxdydz = \int_\mathbb{C} {{\varphi _\varepsilon }(w)} \int_C {{f_\varepsilon }} (z – w)dzdxdy.$$

By a change of variables

$$\displaystyle \int_C f(z-w)dz = \int_{C-w } f(z)dz = 0 $$

where C-w is the translate of C by w which is still a circle. So

$$\displaystyle\int_C f_\varepsilon (z)dz = 0.$$

Thus if $f_\varepsilon = u_\varepsilon + iv\_\varepsilon $ the partial derivatives all exist and are continuous and

$$\displaystyle 0 = \int_C {{f_\varepsilon }\left( z \right)dz} = \int_C {\left[ {{u_\varepsilon } + i{v_\varepsilon }} \right]dx + \left[ { – {v_\varepsilon } + i{u_\varepsilon }} \right]dy}$$

which implies

$$\displaystyle 0 = \int_{{\rm int } C} {\left[ {\frac{{\partial ( – {v_\varepsilon })}}{{\partial x}} + \frac{{\partial (i{u_\varepsilon })}}{{\partial x}} – \frac{{\partial ({u_\varepsilon })}}{{\partial y}} – \frac{{\partial (i{v_\varepsilon })}}{{\partial y}}} \right]dxdy}$$

or equivalently,

$$\displaystyle 0 = \int_{{\rm int } C} { – \left[ {\frac{{\partial {u_\varepsilon }}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {v_\varepsilon }}}{{\partial x}}} \right] + i\left[ {\frac{{\partial {u_\varepsilon }}}{{\partial x}} – \frac{{\partial {v_\varepsilon }}}{{\partial y}}} \right]dxdy}$$

Since this is true for any circle (any translate or dilate) this implies

$$\displaystyle\frac{{\partial {u_\varepsilon }}}{{\partial y}} = – \frac{{\partial {v_\varepsilon }}}{{\partial x}},\quad \frac{{\partial {u_\varepsilon }}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {v_\varepsilon }}}{{\partial y}}$$

the C-R equations for $f_\varepsilon $ so $f_\varepsilon$ is holomorphic and since it converges uniformly on compact subsets to $f$, $f$ is also holomorphic.

 Posted by at 12:55 pm
Aug 022020
 

定理 形如 \(\dfrac pq\)(\(p, q\) 都是素数)的全体有理数构成的集合在非负实数集中稠密.

令 \(0 \lt a \lt b\), \(q\) 是一个素数.
那么,存在素数 \(p\), 使得 \(a \lt \frac pq\le b\) 当且仅当

\[\pi(bq) \gt \pi(aq),\]

这里 \(\pi\) 是著名的素数个数的函数. 由素数定理, 当 \(q\to\infty\) 时

\[\frac{\pi(bq)}{\pi(aq)}\sim\frac{b\ln(aq)}{a\ln(bq)}
=\frac{b(\ln q+\ln a)}{a(\ln q+\ln b)}\sim\frac ba>1.\]

对足够大的 \(q\), \(\dfrac {\pi(bq)}{\pi(aq) }\gt 1\) 为我们的目标.

或者,大同小异换汤不换药

设 \(p_n\) 是第个素数.  主要的依据是 \(p_n\sim n\ln p_n\sim n\ln n\), 当 \(n\to\infty\)

事实上,根据素数定理,当 \(n\to\infty\) 时

\[\pi(p_n)=n\sim\frac{p_n}{\ln p_n}, \]

\[\ln p_n\sim\ln\frac{p_n}{\ln p_n}\sim\ln n. \]

于是, \(p_n\sim n\ln p_n\sim n\ln n\), 当 \(n\to\infty\)

任意正实数 \(a\), 设 \(n_k=[\dfrac{ak}{\ln k}]\), \(m_k=[\dfrac{k}{\ln k}]\),

\[\lim_{k\to\infty}\frac{p_{n_k}}{p_{m_k}} = \lim_{k\to\infty}\frac{n_k\ln n_k}{m_k\ln m_k}=a\]

形如 \(\dfrac pq\)(\(p, q\) 都是素数)的全体有理数构成的集合在正实数集中稠密.