Bernoulli 不等式
设 \( x \geqslant -1\) 为任意实数, \( n\in\Bbb N^+\), 则有
\[ (1+x)^n \geqslant 1+nx, \]
成立, 其中当 \( n>1 \) 时等号成立的充分必要条件是 \( x=0\).
注意: Bernoulli 不等式对 \( x \geqslant -2 \) 仍然成立.
Bernoulli 不等式的推广
1. 设 \(a > 0, a+b \geqslant 0, n \in \Bbb N^+\), 则下式成立
\begin{equation}(a+b)^n \geqslant a^n +na^{n-1}b,\end{equation}
其中当 \( n>1 \) 时等号成立的充分必要条件是 \( b=0\).
证 由于 \( \frac ba \geqslant -1\), 于是
\[(1+ \frac ba)^n \geqslant 1+n\frac ba,\]
这就是所要证明的 \((1)\). \(\Box\)
2. 设 \( a_i > -1(i = 1,2,\dotsc,n ) \) 且同号, 则下式成立
\begin{equation}\prod_{i=1}^n(1+a_i) \geqslant 1+ \sum_{i=1}^na_i.\end{equation}
证 事实上, 记 \(A_n = \prod\limits_{i=1}^n(1+a_i) – (1+ \sum\limits_{i=1}^na_i) \), 容易验证
\[A_n\geqslant A_{n-1} \geqslant \dotsb \geqslant A_2 > A_1 =0. \Box \]
例题
1. 使用归纳法, 注意 \((1)\), 可以容易的证明算术几何平均不等式(Inequality of arithmetic and geometric means).
2. (04 年国家队选拔) 设 \( n_1 ,n_2,\dotsc,n_k \) 是 \(k(k \geqslant 2) \) 个正整数, 且 \( 1<n_1 <n_2<\dotsc<n_k, \) 正整数 \(a,b\) 满足
\begin{equation}\prod_{i=1}^k(1- \frac{1}{n_i}) \leqslant \frac{a}{b} < \prod_{i=1}^{k-1}(1- \frac{1}{n_i}) .\end{equation}
证明 \( \prod\limits_{i=1}^kn_i \leqslant (4a)^ {2^k-1} \).
评 这个问题其实不一定要用 Bernoulli 不等式来进行证明. 我 04 年首次见到这个题目的时候, 给出的解答就没有用到 Bernoulli 不等式.
3. \( n\in\Bbb N^+\), 则
\begin{equation}(1+ \frac1n)^n > \sum_{i=0}^n \frac1{i!}-\frac{\mathrm e}{2n}.\end{equation}
证 将 \((1+ \frac1n)^n \) 进行二项展开, 得
\[(1+ \frac1n)^n = 1+ 1+ \sum_{i=2}^n \frac1{i!}\prod_{k=1}^{i-1 }(1-\frac kn).\]
注意, 当 \(2\leqslant i\leqslant n\) 时, 有
\[\prod_{k=1}^{i-1} (1-\frac{k}{n})\geqslant1-\sum_{k=1}^{i-1}\frac{k}{n}=1-\frac{i(i-1)}{2n},\]
因此
\begin{equation}\begin{split}(1+ \frac1n)^n & \geqslant1+1+\sum_{i=2}^n \frac1{i!} (1-\frac{i(i-1)}{2n} )\\& =1+1+\sum_{i=2}^n(\frac1{i!} – \frac1{2n(i-2)!}) \\& = \sum_{i=0}^n\frac1{i!}-\frac1{2n}\sum_{i=0}^{n-2}\frac1{i!},\end{split}\end{equation}
由于 \(\sum\limits_{i=0}^{n-2}\frac 1{i!} < \mathrm e\), 所以, 这也就完成了我们的证明. \(\Box\)