蝴蝶定理(Butterfly theorem)算得上是平面几何的一个有名的结果, 可是这定理却委实没什么用.
为了方便证明的行文, 先把几个字母交待一下:
\(K\) 是 \(\odot O\) 的弦 \(AB\) 的中点, 过 \(K\) 作圆的两条弦 \(CD\) 和 \(EF\). \(AB\) 分别交 \(CE\) 和 \(FD\) 于 \(M\) 和 \(N\). 那么, \(KM=KN\).
在数学竞赛吧看到了两个证明, 使用根轴(Radical axis)来证明蝴蝶定理.
第一个证明只是寥寥数语:
Butterfly theorem and Radical axis
把 \(\odot O\) 关于弦 \(AB\) 对称, 得到 \(\odot L\). 记 \(\odot L\) 与 \(EF\) 的延长线的交点是 \(R\), 与 \(CD\) 的交点是 \(S\). 根据对称性, 我们知道 \(KR=KE\), \(KS=KC\).
然后, 圆幂定理说明 \(KE\cdot KF=KC\cdot KD\), 进而 \(KR\cdot KF=KS\cdot KD\), 这就得出了 \(S\), \(D\), \(R\), \(F\) 四点共圆; 把这圆记为 \(\Gamma\).
最后, \(\odot O\), \(\odot L\), \(\Gamma\) 两两的根轴 \(AB\), \(DF\), \(RS\) 相交于一点, 即 \(\odot L\), \(\Gamma\) 的根轴 \(RS\) 也经过 \(AB\) 与 \(DF\) 的交点 \(N\). 再一次根据对称性, \(M\) 与 \(N\) 关于 \(K\) 对称.
在进入下一个证明之前, 提醒读者注意: 根轴的理论, 把其中的一个或多个圆换成点(点圆, 即半径是 \(0\) 的圆), 也是没有问题的. 点对点的幂, 认为是这两点距离的平方!
Butterfly theorem and Radical axis
在 \(EC\) 的延长线上取点 \(G\), 使得 \(\angle GKC=\angle GEK\). 随后的, \(GK\) 是三角形 \(CKE\) 的外接圆的切线, 进而 \(GK^2=GC\cdot GE\). 这表明, 若把点 \(K\) 看作一个圆, 则 \(G\) 在这圆与 \(\odot O\) 的根轴上. 类似, 在 \(DF\) 的延长线上取点 \(H\), 使得 \(\angle HKF=\angle HDK\). 则 \(H\) 亦在这圆与 \(\odot O\) 的根轴上. 于是, \(GH\) 就是这圆与 \(\odot O\) 的根轴, 我们知晓 \(GH\perp OK\), 进而 \(GH\parallel MK\).
既然 \(\angle HKF=\angle HDK\), 由
\begin{equation}\begin{split}\angle HKN&=\angle HKF+\angle FKN\\&=\angle HDK+\angle EKM\\&=\angle MEK+\angle EKM\\&=\angle GMK\end{split}\end{equation}
定出 \(HK\parallel GM\). 于是, 四边形 \(MKHG\) 是平行四边形蕴涵 \(KM=GH\). 同理, \(KN=GH\). 至此, \(KM=KN\) 水到渠成.