index lifting theorem in elementary number theory
初等数论中的指数提升定理
Jul 312020
Jul 222020
Fermat 的平方和定理：
素数 \(p\equiv1\pmod4\)，则 \(p\) 能表成两个整数 \( a, b\) 的平方和 \(p=a^2+b^2\).
是很精彩的定理，在堆垒数论很经典，我们很感兴趣。今天先来谈一点关于它的历史。
在历史上，最早考虑把正整数（不仅仅是素数）表示成两个正整数的平方和的可能性的问题的数学家是 Albert Girard. 他的论文发表在 1625 年。前面刚刚提到的Fermat 平方和定理有时候也称为 Girard 定理。至于 Fermat, 他在1640年12月25日给 Marin Mersenne 的一封信对这个定理给出了一个详尽的描述，同时也定出了把 \(p\) 的幂表成两个整数的平方和有多少种方法。
Albert Girard 小传
Albert Girard 1595 出生于法国的 Saint-Mihiel，1632年 12月8日去世在 Leiden, The Netherlands. 他是早期对代数基本定理有思考的数学家，他还给出了斐波那契数的一个归纳定义，他亦是最早在论文中使用\(\sin, \cos, \tan\) 表示三角函数。
Girard 还证明了球面三角形的面积对内角的依赖，这结论以他的名字命名。 他也弹琴，提到写过音乐方面的论述，但没有发表过。
根据 Charles Hutton 的研究，Girard 得出了方程的根的和与乘积，以及它们的幂的公式的系数。此外，他还是第一个发现了方程的根的幂的和的公式的人。
Funkhouser 研究了 Girard 使用对称函数来研究方程的工作在历史上的贡献。Lagrange 后来引用了 Girard 在方程方面的工作。后来，在十九世纪，这项工作引出了Galois, Cauchy和其他的数学家创作的群论
Jul 082020
Jul 042020
6月17日，人教版数学八年级下册自读课本写到爱因斯坦用相对论中的质能方程论证勾股定理，但是摆了乌龙的消息刷屏。这里不去讨论这个错误的证明，虽然在官方教科书出现这种低级错误实在不该。
下面的两个图来自这本书 Manfred Schroeder, Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise, 3-4
简言之，爱因斯坦利用了欧氏几何中相似三角形的两条性质：
- 相似三角形的面积之比等于相似比的平方；
- 相似三角形的面积与某条对应边边长平方之比为一个常数。
将最初的直角三角形作斜边上的高，分成两个小直角三角形，三个直角三角形是两两相似的，并且各自的面积分别除以自己斜边边长的平方，三者的商相等，以 m 表之。将原来的直角三角形的三边长分别记为 \(a, b， c\), 于是三个直角三角形的斜边长分别 \(c, a\) 和 \(b\)。至此，便有等式
\[mc^2=ma^2+mb^2.\]
最后，两端约去非零的系数 \(m\) ，便出来了我们熟悉的勾股定理。
采用相似来证明勾股定理的途径有很多，但是爱因斯坦的这个方法以优雅和简洁而出类拔萃，这个论证揭示了长度和面积的联系是勾股定理的核心！爱因斯坦本人并没有记载这个他的证明。现在看到的证明是，可能是他的朋友后来记下的.
据爱因斯坦的自传，他在12岁阅读一本欧氏平面几何的小书，经过一番努力发现了勾股定理的新证明，这是一种完全不同的体验，正如希腊人揭示的，man is capable at all to reach such a degree of certainty and purity in pure thinking.
Jul 042020
IMO 2019 官方网站的解答
Jul 192019
2019 第 60 届 IMO 解答
Problem 1 ()
很稀松平常的方程. 令 \(a=0\), 于是
\[f(0) + 2f(b) = f(f(b)).\]
因此, 我们只要考察
\[f(2a) + 2f(b) = f(0) + 2f(a+b) \]
就成.
令 \(a=1\), 我们有
\[f(2) + 2f(b) = f(0) + 2f(1+b). \]
这也就是 \(f(b+1) – f(b) =\frac{f(2)-f(0)}2\). 从而, \(f(n)\) 是线性的. 设 \(f(n)=An+B\)(\(A\), \(B\) 是待定的常数). 结合 \(f(0) + 2f(n) = f(f(n))\) 可知
\[B+2(An+B)=A(An+B)+B.\]
于是 \(2A=A^2\), \(3B=AB+B\). 故而, \((A,B)=(0,0)\), \((2, k)\), 这里 \(k\) 是任意的整数.
经检验, \(f(n)=0\) 与 \(f(n)=2n+k\) 符合要求(\(k\) 是任意的整数常数).
综上所述, 所求的函数即是 \(f(n)=0\) 与 \(f(n)=2n+k\) (\(k\) 是任意的整数常数).
Problem 2 ()
Nov 172018
2018 第 59 届 IMO 解答
今年的解答是姗姗来迟.
Problem 1 ()
May 202018
2018 年IMO 国家队队员李一笑——来自江苏天一中学——的大作 “2018 年国家集训队第一阶段选拔试题及解答”. 文档转载自数学新星网.
2018 China IMO team selection test part one
2018 年国家集训队第二阶段选拔试题来自贴吧
2018 China IMO team selection test part two 1
2018 China IMO team selection test part two 2
2018 China IMO team selection test part two 3
2018 China IMO team selection test part two 4