geometry – Zyymat: Mathematics

Albert Einstein, Pythagoras theorem

July 4, 2020July 4, 2020 - by zyymat - Leave a Comment

6月17日，人教版数学八年级下册自读课本写到爱因斯坦用相对论中的质能方程论证勾股定理，但是摆了乌龙的消息刷屏。这里不去讨论这个错误的证明，虽然在官方教科书出现这种低级错误实在不该。下面的两个图来自这本书 Manfred Schroeder, Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise, 3-4 简言之，爱因斯坦利用了欧氏几何中相似三角形的两条性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方；相似三角形的面积与某条对应边边长平方之比为一个常数。将最初的直角三角形作斜边上的高，分成两个小直角三角形，三个直角三角形是两两相似的，并且各自的面积分别除以自己斜边边长的平方，三者的商相等，以 m 表之。将原来的直角三角形的三边长分别记为 \(a, b， c\), 于是三个直角三角形的斜边长分别 \(c, a\) 和 \(b\)。至此，便有等式 \[mc^2=ma^2+mb^2.\] 最后，两端约去非零的系数 …

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Butterfly theorem and Radical axis

September 13, 2017September 15, 2017 - by zyymat - Leave a Comment

蝴蝶定理(Butterfly theorem)算得上是平面几何的一个有名的结果, 可是这定理却委实没什么用. 为了方便证明的行文, 先把几个字母交待一下: \(K\) 是 \(\odot O\) 的弦 \(AB\) 的中点, 过 \(K\) 作圆的两条弦 \(CD\) 和 \(EF\). \(AB\) 分别交 \(CE\) 和 \(FD\) 于 \(M\) 和 \(N\). 那么, \(KM=KN\). 在数学竞赛吧看到了两个证明, 使用根轴(Radical …

book reviews / geometry

Triangle Centers and Central Triangles

October 17, 2015April 29, 2025 - by zyymat - Leave a Comment

找一本这个书非常非常的困难. 本站好不容易找到了一本, 封面是这个样子的: “Triangle Centers and Central Triangles” 在近几年欧氏平面几何的研究论文中, 引用频率很高. 这是加拿大 Utilitas Mathematica Publishing Inc 出版社的杂志 “Congressus Numerantium” 1998年的第 129 卷, 讨论了三角形的 400 多个特殊点的性质. 这本书的详细信息, 可以参阅作者 Clark Kimberling 的主页 Triangle Centers and Central Triangles 本书目录如下: …

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The geometrical properties of ellipse I

August 1, 2014August 19, 2014 - by zyymat - Leave a Comment

收集椭圆的一些性质的几何证明. 约定, 下文的 \(F_1\), \(F_2\) 一律表示椭圆的两个焦点. 1. 从椭圆两个焦点到任意切线的距离的乘积是常数. 这论断的意思是: \(AB\) 是椭圆的长轴, \(P\) 点在椭圆上. 分别过 \(F_1\), \(F_2\) 作椭圆的过点 \(P\) 的切线的垂线, 垂足依次为 \(N\), \(M\), 则 \(F_1N\cdot F_2M\) 是常值. 2. \(AB\) 是椭圆的长轴, \(AC\), \(BD\) 都垂直于 \(AB\). \(P\) 是椭圆上任意一点, 椭圆的过点 \(P\) 的切线分别与 \(AC\), \(BD\) …

book reviews / geometry

Classic geometry by Wu-Yi Hsiang

May 2, 2014August 27, 2014 - by zyymat - Leave a Comment

项武义的”古典几何学”被高等教育出版社收进了”现代数学基础”系列, 成为了第 45 册. 本书采用近代观点系统介绍了古典几何学的基础知识(其中包括欧氏几何, 非欧几何, 解析几何, 球面几何与三角, 射影几何等), 并着重对各种古典几何体系进行比较分析和全局探讨, 突出它们的几何思想和在方法论上的创见. 与此同时, 高等教育出版社还将推出项武义的另一本小册子”圆锥截线的故事-数学与文明的一个重大篇章”. 书不是一般的薄, 是及其罕见的薄, 只有 36 页! 真是名副其实的小册子! 目录第一章实验几何学第一节点、直线与平面的相互关系第二节方向、角度与平行第三节恒等、叠合与对称习题第二章推理几何的演进与欧氏体系第一节萌芽时期 —— 恒等形的研究与应用 …

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Chicken claws theorem

August 20, 2013September 3, 2013 - by zyymat - Leave a Comment

鸡爪定理及其逆定理鸡爪定理其实是较为常见的. Euler 的 \(OI^2=R^2-2Rr\) 的最流行的证明, 就是先把鸡爪定理证一通. 这也算是鸡爪定理最显著的应用. 那么, 到底何谓鸡爪定理? 记 \(I\) 是 \(\triangle ABC\) 的内心, \(I_a\) 是顶点 \(A\) 所对的旁心, \(AI_a\) 交 \(\triangle ABC\) 的外接圆于点 \(M\), 则 \(MI=MB=MC=MI_a\). 因 \(MI,MB,MC\) 以及 …

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Improvements of Euler’s inequality

August 14, 2013August 16, 2013 - by zyymat - Leave a Comment

匡继昌的不等式著作”常用不等式(Applied Inequalities)”名头很大. 我拥有的第一本是第二版, 由湖南教育出版社出版, 是 \(32\) 开, 不是后来第三版, 第四版的 \(16\) 开. 第二版的页码好像比第三部, 第四版要少那么一点. 当年我阅读这书, 几何不等式这一章, 有这么一个不等式(也就是第四版 \(244\) 页的 \(76\)), 是 Bandila. V. 在 1985 年提出: \begin{equation}\frac Rr\geqslant\frac bc+\frac cb,\end{equation} 这里 …

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Van Aubel’s theorem

July 8, 2013July 8, 2013 - by zyymat - Leave a Comment

在平面几何中, 至少有两个 Van Aubel 定理. 第一个, 关于三角形的; 另一个, 是关于四边形的. 定理 1 \(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内一点, \(PA,PB,PC\) 分别交对边于 \(D,E,F\), 则 \[\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{EA}{EC}+\dfrac{FA}{FB}.\] 这个有些时候, 也被称为 Van Obel 定理的结论据说比较给力, 可以用来解决很多问题. 至于证明, 使用面积是最简单的. 记 \(S_a=S_{\triangle PBC}, S_b=S_{\triangle …