expository – Zyymat: Mathematics

Thirty highly readable papers

March 17, 2015June 23, 2015 - by zyymat - Leave a Comment

烟花不堪剪写在豆瓣的文章, 原文标题”一些值得一读的数学论文”, http://www.douban.com/group/topic/38870457/ Weil 建议年轻人读经典论文, 但是我认为经典的定义也会随时代而有所不同. 在Weil那个时代, Gauss, Riemann, Hilbert, Poincare 是经典. Weil 受 Gauss 启发提出了Weil 猜想, Ahlfors 受 Riemann 启发创立了covering surface 理论, Mumford 受 Hilbert 启发创立了GIT, Griffiths 受 Poincare 启发创立了variation of Hodge structure 理论··· 但是现在 Weil 时代的经典已经过于古老从而无法从中发现新东西了, 因此这个时代应该阅读适合于这个时代的经典.下面我就根据自己的兴趣罗列一些这个时代的经典著作, 由于我推荐的文章都是自己大体上读过的, 因此不可能很多. 并且因为是经典, 都是1940-2000年之间的文章. 今后读到好文章或者想到遗漏的文章时可以继续补充此贴. …

expository / math.NT

The prime tuples conjecture and \(\pi(m+n)\leqslant \pi(m)+\pi(n)\)

August 6, 2013April 27, 2025 - by zyymat - Leave a Comment

质数 \(k\)-tuples 猜想和 \(\pi(m+n)\leqslant \pi(m)+\pi(n)\) 是 Hardy 和 Littlewood 提出的两个关于质数分布的猜测. 习惯上, 人们也把前一个猜想称为第一 Hardy-Littlewood 猜想(Prime \(k\)-tuple), 后一个称为第二 Hardy-Littlewood 猜想(Second Hardy–Littlewood conjecture). 这两个猜想都还没有解决, 但数学家们倾向于认为质数 \(k\)-tuples 猜想是正确的, 并且存在无穷多组正整数 \(m,n\), 使得 \(\pi(m+n)\gt\pi(m)+\pi(n)\). 质数 \(k\)-tuples 猜想整数 \(k_0\geqslant1\), …

expository / number theory

Fundamental theorem of arithmetic

October 3, 2012October 3, 2012 - by zyymat - Leave a Comment

Number theory will be understood, not as a collection of tricks and isolated results, but as a coherent and interconnected theory. 算术基本定理最早的准确表述与证明, 应该是出自 Gauss 的名著算术研究. 但是, 在这之前很久, 人们似乎就已经知道这个定理的具体内容, 并且已经广泛使用. 很明显, …

expository / math.NT / number theory

The Quadratic Reciprocity Law

August 21, 2012November 4, 2012 - by zyymat - Leave a Comment

If \(p,q\) are distinct odd primes, then \[\left( \frac pq\right) \left( \frac qp\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4},\] where \(\left( \frac{}{}\right)\) is the Legendre symbol. 这就是被 Gauss 称为”数论酵母” 的二次互反律. 自 Legendre 的那个没有完成的证明以来, 据 Reciprocity Laws: From …

expository / math.NT

Congruent number and the BSD conjecture

August 9, 2012July 24, 2014 - by zyymat - Leave a Comment

依赖相对迹公式方面的最新成果, 同余数(congruent number)最近有所进展. 其实, 我第一次从不定方程的书上了解到何为同余数的时候, 并不称为同余数, 而被冠名合同数. 同余数就是这样的 \(n\in\Bbb N^+\), 存在一个边长为有理数的直角三角形, 其面积为 \(n\). 边长为有理数的直角三角形被定义为有理三角形(有理三角形在不同的环境有不同的定义,比如有些作者不要求是直角三角形,也有人把直角三角形这个条件换成面积是有理数). 当有理三角形的边长都是整数的时候, 又称为勾股三角形. 哪些 \(n\) 是同余数? 有无简单的判定方法? 如果 \(n\) 是同余数, 请给出一个面积为 \(n\) 的有理三角形. 这些问题古老而困难, 目前仅有部分结果. 同余数和椭圆曲线, BSD猜想(Birch and Swinnerton-Dyer conjecture)联系甚大. 第一个结果是 André Weil 的 Number Theory: …

expository / geometry

Geometric construction with the compass alone

July 22, 2012May 22, 2013 - by zyymat - Leave a Comment

意大利几何学家 L. Mascherom 于 \(1797\) 年证明了, 凡是能用尺规作出的几何图形都可以仅仅使用圆规来完成. \(1833\) 年, Jakob Steiner 根据 Poncelet 的想法, 指出: 如果给定一个圆和它的中心, 那么, 能用尺规作出的几何图形都能单独用直尺来作出. 我一直很好奇, 这些结论究竟是如何证明的? Ross Honsberger 在他的书, “Ingenuity in Mathematics”, 的第 \(15\) 节提供了一个详尽的证明, 这一节的标题是: Mascheroni …

expository / number theory

Zsigmondy’s theorem

July 6, 2012May 22, 2013 - by zyymat - Leave a Comment

开篇 Zsigmondy’s theorem states that if \(a>b>0\) and \(n>1\) are positive integers, then \(a^n+b^n\) has at least one prime factor that does not divide \(a^k+b^k\) for all positive integers \(k<n\), with …

algebra / expository / math.CA

Majorization inequality and Muirhead’s inequality

June 26, 2012October 6, 2012 - by zyymat - Leave a Comment

定义定义 1[离散形式] 称 \( p=(p_1,p_2,\dotsc,p_n)\)Majorization(控制) \( q=(q_1,q_2,\dotsc,q_n)\), 记为 \(p \succ …