作者：赵亮 xida
Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。
Hurwitz 平方和定理
我们都熟悉复数的乘法：如果 \(z_1=x_1+y_1i,z_2=x_2+y_2i\) 是两个复数，则 \(|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\)，也就是 \[(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2.\] 1748 年 Euler 发现了如下的 4 平方和等式： \[(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2.\] 其中 \[\begin{align*}&z_1=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4,\\&z_2=x_1y_2+x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3,\\&z_3=x_1y_3+x_3y_1-x_2y_4+x_4y_2,\\&z_4=x_1y_4+x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2.\end{align*}\] 4 平方和等式说的是在 Hamilton 四元数体中范数仍然是乘性的。1848 年 Caley 发现了八元数，从而导出了类似的 8 平方和等式，当然具体写出来会很复杂，这里就按下不表了。
一般地，如果能在 \(n\) 维欧式空间 \(\mathbb{R}^n\) 上定义向量之间的乘法： \[\mathbb{R^n}\times\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^n}:(v,w)\rightarrow v\times w\] 使得 \(v\times w\) 对 \(v,w\) 都是线性的，而且乘积的范数等于范数的乘积：\(|v\times w|=|v|\cdot |w|\) (这里 \(|\cdot|\) 是通常的欧式范数)，则我们就得到了一个 \(n\) 平方和等式。
在接下来的 50 年里，人们一直致力于寻找可能的 16 平方和等式，但是都失败了，于是开始怀疑是否没有这样的等式成立。终于在 1898 年 Hurwitz 证明了这样的结论：
Hurwitz 平方和定理：设 \(x=(x_1,\ldots,x_n)\), \(y=(y_1,\dots,y_n)\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中的向量。如果存在关于 \(x,y\) 的双线性函数 \(z_1(x,y),\ldots,z_n(x,y)\) 使得等式 \[(x_1^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+\cdots+y_n^2)=z_1^2+\cdots+z_n^2\] 恒成立, 那么 \(n=1,2,4,8\)。
正如前面说过的，Huiwitz 平方和定理说的是在实数域 \(\mathbb{R}\)，复数域 \(\mathbb{C}\)，四元数 \(\mathbb{H}\) 和八元数 \(\mathbb{O}\) 中，元素的 (欧式) 范数和向量的乘法是相容的，而在其它维数的 \(\mathbb{R}^n\) 上是不可能定义与欧式范数相容的向量乘法的。
Hurwitz 本人的证明是纯线性代数的，线性代数的证明较为初等，不过步骤略长。1943 年 Eckmann 用有限群表示论的方法给了一个漂亮的证明，本文就来介绍这个证明。
将问题转化为矩阵方程
设 \(z=(z_1,\ldots,z_n)\)，则 \(z\) 关于 \(y\) 是线性的，因此存在 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 满足 \(z=yA\)，当然矩阵 \(A\) 和 \(x\) 有关。于是 Hurwitz 定理中的等式变成 \[(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)yy’=yAA’y’.\] 由于 \(y\) 是不定元，因此 \[AA’=(x_1^2+\cdots+x_n^2)I_n.\] 进一步，由于 \(A\) 关于 \(x\) 也是线性的，因此设 \(A=A_1x_1+\cdots+A_nx_n\)，则 \[AA’=\sum_{i=1}^nA_iA_i’x_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}(A_iA_j’+A_jA_i’)x_ix_j.\] 从而我们得到一组矩阵方程 \[A_iA_i’=I_n,\quad A_iA_j’+A_jA_i’=0 \quad \text{for}\ i\ne j.\] 进一步可以把 \(A_n\) 归一化为单位矩阵：令 \(Q_i=A_iA_n^{-1}\)，于是 \(Q_1,\ldots,Q_{n-1}\) 满足 \[Q_i’=-Q_i,\quad Q_i^2=-I_n,\quad Q_iQ_j=-Q_jQ_i\quad\text{for}\ i\ne j.\] 显然 \(n\) 必须是偶数 (奇数阶反对称矩阵行列式都是 0)，而 \(n=2\) 的时候结论是成立的，所以下面我们都假定 \(n>2\)，于是 \(n\) 的可能值为 \(4,6,8,\ldots\)
用群表示论的工具得出矛盾
考虑这样一个抽象群 \(G\)，它由元素 \(a,g_1,\ldots,g_{n-1}\) 生成，且 \[ a^2=1,\quad g_i^2=a,\quad g_ig_j=ag_jg_i\ \text{when}\ i\ne j.\] 这个群的结构很好分析：
- \(|G|=2^n\)，每个元素形如 \(a^{e_0}g_1^{e_1}\cdots g_{n-1}^{e_{n-1}}\)，其中 \(e_i\in\{0,1\}\)。
- \(G\) 的中心 \(Z(G)=\{1,a,g_1g_2\cdots g_{n-1},ag_1g_2\cdots g_{n-1}\}\)。
- \(G\) 的换位子群 \([G,G]=\{1,a\}\)，从而 \(G\) 有 \(2^{n-1}\) 个线性表示。
- \(G\) 的任何非平凡共轭类都只有两个元素 \(\{g,ag\}\)，从而 \(G\) 有 \(2^{n-1}+2\) 个共轭类，其不可约复表示的个数也是 \(2^{n-1}+2\)。
于是我们知道 \(G\) 有 \(2^{n-1}\) 个一次表示，还有 2 个次数大于 1 的表示，设它俩的次数分别是 \(f_1,f_2\)，根据不可约表示次数的平方和等于 \(G\) 的阶，得到方程 \[f_1^2+f_2^2 =2^{n-1}.\] 再利用不可约表示的次数整除 \(G\) 的阶，知道 \(f_1\) 和 \(f_2\) 都是 2 的幂，这只有一种可能，就是 \[ f_1=f_2=2^{\frac{n}{2}-1}.\]
现在 Hurwitz 矩阵方程给出了 \(G\) 的一个 \(n\) 维表示，这个表示可以分解为若干不可约表示的直和，我们断言其中不含有一次表示，从而只能是若干个 \(2^{\frac{n}{2}-1}\) 次表示的直和：这是因为元素 \(a\) 在这个表示下是 \(n\) 阶矩阵 \(-I_n\)，从而其在任何不变子空间上的作用都是乘以 -1。但是任何一次表示都把 \(a\in [G,G]\) 映射为 1，矛盾！
于是 \(2^{\frac{n}{2}-1}\big| n\)，设 \(n=2^r\cdot s\)，其中 \(s\) 为奇数，则 \(\frac{n}{2}-1\leq r\)，从而 \[ 2^r\leq n\leq 2r+2.\] 注意 \(n\) 是偶数，所以只能是 \(n=4,6,8\)，这就完成了 Hurwitz 定理的证明。
