学习代数几何的建议
袁新意 学习代数几何的建议, 2026。 面向代数方向的本科生和研究生，介绍学习 GTM52 层次的代数几何的流程，涵盖预备知识、后续知识、相关内容、常用教材、注意事项。 Advice for learning Algebraic Geometry Xinyi Yuan
学习代数几何的建议 Read MoreMathematics
mathematics
Corrections on Functional Analysis by Andrew Pinchuck
Functional Analysis Notes (2011) Andrew Pinchuck 的107页讲义，条理非常清晰，泛函分析基础的所有主要结论都包括进来了。 作者把 PDF 从主页移除了；如果要纸质版，可以留言 学习泛函分析的教科书很多，这个讲义只有概念和定理，例题也很稀缺，但结论都应当记住。 限于篇幅，泛函分析很多的课题都没有深入 如果想短时间了解泛函分析，可以拿这个讲义来学习。学习本讲义大抵只要数学分析、基本的高等代数、点集拓扑为先修。 这里要指出的是这个讲义的几个错误或疏忽，并作一些补充： 定理5.5.2的（b），证明的第一部分，两个拓扑实际是同一个时，要指出X 是有限维，这个证明肯定是通不过的，但是中间那一部分论证还是有用的。要完成证明，还要加补充不少。 定理5.2.1的证明的最后，\(||f || =1\) 的论证，要做一些修正。思路没问题，要订正的是细节。 定理5.5.4 的证明，要对本讲义的 Hahn-Banach 定理做很多深入探究才行。 定理5.5.5 的(b)和(c): (b)的证明用到了 Proposition 4.2.4，然而Proposition 4.2.4只处理了X …
Corrections on Functional Analysis by Andrew Pinchuck Read MoreFiber Bundle and Characteristic Classes by Wu-Yi Hsiang
项武义2006年初在北大有一个八小时短课（讲义第一页写成了2005），有一个短的讲义39页《纤维丛之基础与示性类理论之概要》。 这个课，2006年五六月，项去复旦为他的老朋友谷超豪庆祝生日，也在复旦讲过，但时长只有一半，是四小时。 只是一个短期课程。 本站只有纸质版。如果要这个资料，可以留言。
Fiber Bundle and Characteristic Classes by Wu-Yi Hsiang Read MoreMumford selected papers II
Mumford 的红宝书，包含他与格罗滕迪克的通信。
Mumford selected papers II Read More\(\{\frac{p}{q}:p,q\text{ prime}\}\) is dense in the positive real numbers
定理 形如 \(\dfrac pq\)(\(p, q\) 都是素数)的全体有理数构成的集合在非负实数集中稠密. 令 \(0 \lt a \lt b\)， \(q\) 是一个素数. 那么，存在素数 \(p\), 使得 \(a \lt \frac pq\le b\) 当且仅当 \[\pi(bq) \gt \pi(aq),\] 这里 \(\pi\) 是著名的素数个数的函数. 由素数定理, …
\(\{\frac{p}{q}:p,q\text{ prime}\}\) is dense in the positive real numbers Read MoreFermat’s theorem on sums of two squares: History
Fermat 的平方和定理： 素数 \(p\equiv1\pmod4\)，则 \(p\) 能表成两个整数 \( a, b\) 的平方和 \(p=a^2+b^2\). 是很精彩的定理，在堆垒数论很经典，我们很感兴趣。今天先来谈一点关于它的历史。 在历史上，最早考虑把正整数（不仅仅是素数）表示成两个正整数的平方和的可能性的问题的数学家是 Albert Girard. 他的论文发表在 1625 年。前面刚刚提到的Fermat 平方和定理有时候也称为 Girard 定理。至于 Fermat, 他在1640年12月25日给 Marin Mersenne 的一封信对这个定理给出了一个详尽的描述，同时也定出了把 \(p\) 的幂表成两个整数的平方和有多少种方法。 Albert Girard 小传 …
Fermat’s theorem on sums of two squares: History Read MoreCyclotomic polynomial, Swinnerton-Dyer polynomial
作者：赵亮 问题：有哪些 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的多项式，它们在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的，而对任意素数 \(p\)，模 \(p\) 以后在 \(\mathbb{Z}_p[x]\) 上都是可约的？ 当时我给了回答，后来账号注销了，答案也就一并删除了。现在把我的原答案贴在这里： 我所知道的有两大类多项式： 第一类是所有的 Swinnerdon-Dyer 多项式，它们形如 \[f(x)=\prod(x\pm\sqrt{p_1}\pm\sqrt{p_2}\cdots\pm\sqrt{p_n}),\] 其中 \(p_1,\ldots,p_n\) 是互不相同的素数，乘积跑遍所有 \(2^n\) 种不同的组合。这种多项式都是不可约的整系数多项式，但是模任何素数 \(p\) 以后都分解为一次或者二次因式的乘积。 第二类来自分圆多项式，分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 是本原 \(n\) 次单位根在 \(\mathbb{Q}\) …
Cyclotomic polynomial, Swinnerton-Dyer polynomial Read MoreHurwitz’s theorem of sum of squares
作者：赵亮 xida Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。 Hurwitz 平方和定理 我们都熟悉复数的乘法：如果 \(z_1=x_1+y_1i,z_2=x_2+y_2i\) 是两个复数，则 \(|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\)，也就是 \[(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2.\] 1748 年 Euler 发现了如下的 4 平方和等式： \[(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2.\] 其中 \[\begin{align*}&z_1=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4,\\&z_2=x_1y_2+x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3,\\&z_3=x_1y_3+x_3y_1-x_2y_4+x_4y_2,\\&z_4=x_1y_4+x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2.\end{align*}\] 4 平方和等式说的是在 Hamilton 四元数体中范数仍然是乘性的。1848 年 Caley 发现了八元数，从而导出了类似的 8 平方和等式，当然具体写出来会很复杂，这里就按下不表了。 一般地，如果能在 \(n\) 维欧式空间 \(\mathbb{R}^n\) 上定义向量之间的乘法： \[\mathbb{R^n}\times\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^n}:(v,w)\rightarrow v\times w\] 使得 \(v\times w\) 对 \(v,w\) 都是线性的，而且乘积的范数等于范数的乘积：\(|v\times w|=|v|\cdot |w|\) (这里 \(|\cdot|\) 是通常的欧式范数)，则我们就得到了一个 \(n\) 平方和等式。 在接下来的 50 年里，人们一直致力于寻找可能的 16 …
Hurwitz’s theorem of sum of squares Read More