\{\frac{p}{q}:p,q\text{ prime}\} is dense in the positive real numbers

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Aug 022020

定理形如 $\dfrac pq$($p, q$ 都是素数)的全体有理数构成的集合在非负实数集
中稠密.

令 $0 < a < b$， $q$ 是一个素数.
那么，存在素数 $p$, 使得 $a < p/q\le b$ 当且仅当

$$\pi(bq) > \pi(aq)$$

这里 $\pi$ 是著名的素数个数的函数. 由素数定理, 当 $q\to\infty$ 时

$$\frac{\pi(bq)}{\pi(aq)}\sim\frac{b\ln(aq)}{a\ln(bq)}
=\frac{b(\ln q+\ln a)}{a(\ln q+\ln b)}\sim\frac ba>1.$$

对足够大的 $q$, $\pi(bq)/\pi(aq) > 1$ 为我们的目标.

或者，大同小异换汤不换药

设 $p_n$ 是第个素数。主要的依据是 $p_n\sim n\ln p_n\sim n\ln n$, $n\to\infty$

事实上，根据素数定理，当 $n\to\infty$ 时

$$\pi(p_n)=n\sim\frac{p_n}{\ln p_n}, $$

$$\ln p_n\sim\ln\frac{p_n}{\ln p_n}\sim\ln n. $$

于是， $p_n\sim n\ln p_n\sim n\ln n$, $n\to\infty$

任意正实数$a$, 设 $n_k=[\dfrac{ak}{\ln k}]$， $m_k=[\dfrac{k}{\ln k}]$，

$$\lim_{k\to\infty}\frac{p_{n_k}}{p_{m_k}} = \lim_{k\to\infty}\frac{n_k\ln n_k}{m_k\ln m_k}=a$$

形如 $\dfrac pq$($p, q$ 都是素数)的全体有理数构成的集合在正实数集中稠密.

Fermat’s theorem on sums of two squares: History

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Jul 222020

Fermat 的平方和定理：

素数 $p\equiv1\pmod4$，则 $p$ 能表成两个整数 $ a, b$ 的平方和 $p=a^2+b^2$.

是很精彩的定理，在堆垒数论很经典，我们很感兴趣。今天先来谈一点关于它的历史。

在历史上，最早考虑把正整数（不仅仅是素数）表示成两个正整数的平方和的可能性的问题的数学家是 Albert Girard. 他的论文发表在 1625 年。前面刚刚提到的Fermat 平方和定理有时候也称为 Girard 定理。至于 Fermat, 他在1640年12月25日给　Marin Mersenne 的一封信对这个定理给出了一个详尽的描述，同时也定出了把 $p$ 的幂表成两个整数的平方和有多少种方法。

Albert Girard 小传

Albert Girard 1595 出生于法国的 Saint-Mihiel，1632年 12月8日去世在 Leiden, The Netherlands. 他是早期对代数基本定理有思考的数学家，他还给出了斐波那契数的一个归纳定义，他亦是最早在论文中使用$\sin, \cos, \tan$ 表示三角函数。

Girard 还证明了球面三角形的面积对内角的依赖，这结论以他的名字命名。他也弹琴，提到写过音乐方面的论述，但没有发表过。

根据 Charles Hutton 的研究，Girard 得出了方程的根的和与乘积，以及它们的幂的公式的系数。此外，他还是第一个发现了方程的根的幂的和的公式的人。

Funkhouser 研究了 Girard 使用对称函数来研究方程的工作在历史上的贡献。Lagrange 后来引用了 Girard 在方程方面的工作。后来，在十九世纪，这项工作引出了Galois, Cauchy和其他的数学家创作的群论

Cyclotomic polynomial, Swinnerton-Dyer polynomial

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Jul 172020

作者：赵亮

问题：有哪些 $\mathbb{Z}[x]$ 中的多项式，它们在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上是不可约的，而对任意素数 $p$，模 $p$ 以后在 $\mathbb{Z}_p[x]$ 上都是可约的？

当时我给了回答，后来账号注销了，答案也就一并删除了。现在把我的原答案贴在这里：

我所知道的有两大类多项式：

第一类是所有的 Swinnerdon-Dyer 多项式，它们形如 \[f(x)=\prod(x\pm\sqrt{p_1}\pm\sqrt{p_2}\cdots\pm\sqrt{p_n}),\] 其中 $p_1,\ldots,p_n$ 是互不相同的素数，乘积跑遍所有 $2^n$ 种不同的组合。这种多项式都是不可约的整系数多项式，但是模任何素数 $p$ 以后都分解为一次或者二次因式的乘积。

第二类来自分圆多项式，分圆多项式 $\Phi_n(x)$ 是本原 $n$ 次单位根在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，其次数为 $\phi(n)$，这里 $\phi(\cdot)$ 是 Euler totient 函数。绝大多数分圆多项式模任何素数 $p$ 都是可约的！实际上我们有如下结论：

定理：分圆多项式 $\Phi_n(x)$ 模任何素数 $p$ 都可约当且仅当 $n\ne1,2,p,2p^k$，其中 $p$ 是奇素数，$k$ 是正整数。

你可以看到知乎那个问题下的回答中举的例子都是最简单的 Swinnerdon-Dyer 多项式或者分圆多项式的例子。

Hurwitz’s theorem of sum of squares

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Jul 162020

作者：赵亮

Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。

Hurwitz 平方和定理

我们都熟悉复数的乘法：如果 $z_1=x_1+y_1i,z_2=x_2+y_2i$ 是两个复数，则 $|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$，也就是 \[(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2.\] 1748 年 Euler 发现了如下的 4 平方和等式： \[(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2.\] 其中 \[\begin{align*}&z_1=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4,\\&z_2=x_1y_2+x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3,\\&z_3=x_1y_3+x_3y_1-x_2y_4+x_4y_2,\\&z_4=x_1y_4+x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2.\end{align*}\] 4 平方和等式说的是在 Hamilton 四元数体中范数仍然是乘性的。1848 年 Caley 发现了八元数，从而导出了类似的 8 平方和等式，当然具体写出来会很复杂，这里就按下不表了。

一般地，如果能在 $n$ 维欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 上定义向量之间的乘法： \[\mathbb{R^n}\times\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^n}:(v,w)\rightarrow v\times w\] 使得 $v\times w$ 对 $v,w$ 都是线性的，而且乘积的范数等于范数的乘积：$|v\times w|=|v|\cdot |w|$ (这里 $|\cdot|$ 是通常的欧式范数)，则我们就得到了一个 $n$ 平方和等式。

在接下来的 50 年里，人们一直致力于寻找可能的 16 平方和等式，但是都失败了，于是开始怀疑是否没有这样的等式成立。终于在 1898 年 Hurwitz 证明了这样的结论：

Hurwitz 平方和定理：设 $x=(x_1,\ldots,x_n)$, $y=(y_1,\dots,y_n)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的向量。如果存在关于 $x,y$ 的双线性函数 $z_1(x,y),\ldots,z_n(x,y)$ 使得等式 \[(x_1^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+\cdots+y_n^2)=z_1^2+\cdots+z_n^2\] 恒成立, 那么 $n=1,2,4,8$。

正如前面说过的，Huiwitz 平方和定理说的是在实数域 $\mathbb{R}$，复数域 $\mathbb{C}$，四元数 $\mathbb{H}$ 和八元数 $\mathbb{O}$ 中，元素的 (欧式) 范数和向量的乘法是相容的，而在其它维数的 $\mathbb{R}^n$ 上是不可能定义与欧式范数相容的向量乘法的。

Hurwitz 本人的证明是纯线性代数的，线性代数的证明较为初等，不过步骤略长。1943 年 Eckmann 用有限群表示论的方法给了一个漂亮的证明，本文就来介绍这个证明。

将问题转化为矩阵方程

设 $z=(z_1,\ldots,z_n)$，则 $z$ 关于 $y$ 是线性的，因此存在 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $z=yA$，当然矩阵 $A$ 和 $x$ 有关。于是 Hurwitz 定理中的等式变成 \[(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)yy’=yAA’y’.\] 由于 $y$ 是不定元，因此 \[AA’=(x_1^2+\cdots+x_n^2)I_n.\] 进一步，由于 $A$ 关于 $x$ 也是线性的，因此设 $A=A_1x_1+\cdots+A_nx_n$，则 \[AA’=\sum_{i=1}^nA_iA_i’x_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}(A_iA_j’+A_jA_i’)x_ix_j.\] 从而我们得到一组矩阵方程 \[A_iA_i’=I_n,\quad A_iA_j’+A_jA_i’=0 \quad \text{for}\ i\ne j.\] 进一步可以把 $A_n$ 归一化为单位矩阵：令 $Q_i=A_iA_n^{-1}$，于是 $Q_1,\ldots,Q_{n-1}$ 满足 \[Q_i’=-Q_i,\quad Q_i^2=-I_n,\quad Q_iQ_j=-Q_jQ_i\quad\text{for}\ i\ne j.\] 显然 $n$ 必须是偶数 (奇数阶反对称矩阵行列式都是 0)，而 $n=2$ 的时候结论是成立的，所以下面我们都假定 $n>2$，于是 $n$ 的可能值为 $4,6,8,\ldots$

用群表示论的工具得出矛盾

考虑这样一个抽象群 $G$，它由元素 $a,g_1,\ldots,g_{n-1}$ 生成，且 \[ a^2=1,\quad g_i^2=a,\quad g_ig_j=ag_jg_i\ \text{when}\ i\ne j.\] 这个群的结构很好分析：

$|G|=2^n$，每个元素形如 $a^{e_0}g_1^{e_1}\cdots g_{n-1}^{e_{n-1}}$，其中 $e_i\in\{0,1\}$。
$G$ 的中心 $Z(G)=\{1,a,g_1g_2\cdots g_{n-1},ag_1g_2\cdots g_{n-1}\}$。
$G$ 的换位子群 $[G,G]=\{1,a\}$，从而 $G$ 有 $2^{n-1}$ 个线性表示。
$G$ 的任何非平凡共轭类都只有两个元素 $\{g,ag\}$，从而 $G$ 有 $2^{n-1}+2$ 个共轭类，其不可约复表示的个数也是 $2^{n-1}+2$。

于是我们知道 $G$ 有 $2^{n-1}$ 个一次表示，还有 2 个次数大于 1 的表示，设它俩的次数分别是 $f_1,f_2$，根据不可约表示次数的平方和等于 $G$ 的阶，得到方程 \[f_1^2+f_2^2 =2^{n-1}.\] 再利用不可约表示的次数整除 $G$ 的阶，知道 $f_1$ 和 $f_2$ 都是 2 的幂，这只有一种可能，就是 \[ f_1=f_2=2^{\frac{n}{2}-1}.\]

现在 Hurwitz 矩阵方程给出了 $G$ 的一个 $n$ 维表示，这个表示可以分解为若干不可约表示的直和，我们断言其中不含有一次表示，从而只能是若干个 $2^{\frac{n}{2}-1}$ 次表示的直和：这是因为元素 $a$ 在这个表示下是 $n$ 阶矩阵 $-I_n$，从而其在任何不变子空间上的作用都是乘以 -1。但是任何一次表示都把 $a\in [G,G]$ 映射为 1，矛盾！

于是 $2^{\frac{n}{2}-1}\big| n$，设 $n=2^r\cdot s$，其中 $s$ 为奇数，则 $\frac{n}{2}-1\leq r$，从而 \[ 2^r\leq n\leq 2r+2.\] 注意 $n$ 是偶数，所以只能是 $n=4,6,8$，这就完成了 Hurwitz 定理的证明。

The first non-trivial case of a conjecture of Erdős on arithmetic progressions

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Jul 082020

7月7日，Thomas F. Bloom, Olof Sisask 在 arXiv 上传了一篇论文 Breaking the logarithmic barrier in Roth’s theorem on arithmetic progressions( arxiv.org/abs/2007.03528), 该文的主要结果是证明了:

Theorem 1 如果 $A\subset \{1, . . . , N\}$, 且 $A$ 不含非平凡的三项等差数列，即 $x+y=2z$ 的解, $x\ne y$. 则

\[|A|\ll \frac{N}{(\log N)^{1+c}}\]

$c\gt 0$ 是绝对常数.

Thomas F. Bloom, Olof Sisask 的这个结果改进了Roth 的一个关于整数不含三项等差数列的上界的定理。

如果 $A\subset \{1, . . . , N\}$, 且 $A$ 不含非平凡的三项等差数列，那么 $A$ 的阶可以有多大？

在此之前的记录是：$A$ 的元素个数可达 $O\Big(\frac{N}{(\log N)^{1-o(1)}}\Big)$. 这个结果可以找到三个不同的证明，这些证明在 $o(1)$ 这一项有一点差异。这几个证明来自Sanders, Thomas F. Bloom, Olof Sisask, 还有 Schoen.

要指出的是：常数 $c$ 是 principle effective，但是计算它需要艰巨的工作。

数学家们的期待，是 Behrend 提出的猜想，这个最佳的上界是

\[|A|\ll Ne^{-O((\log N)^c)}\]

接下来，说一下 Thomas F. Bloom的Olof Sisask 定理的第一个副产品：

Erdos 的著名猜想

Erdos 有一个著名的猜测是：如果 $A\subset\Bbb N$, 且 $\sum\limits_{n\in A}\frac1n=\infty$，那么 $A$ 包含任意长的等差数列。

由 Thomas F. Bloom, Olof Sisask 的定理，可以导出 Erdos 的这著名猜想的一个不平凡的特殊情况：

Corollary 2 如果 $A\subset\Bbb N$, 且 $\sum\limits_{n\in A}\frac1n=\infty$，那么 $A$ 含无穷多非平凡的三项等差数列。

Proof. 若不然，假定 $A\subset\Bbb N$, 且 $A$ 仅仅含有有限个非平凡的三项等差数列。于是，对于任意的 $N$

\[F(N)\colon=|A\cap\{1, . . . , N\}|\ll\frac{N}{(\log N)^{1+c}}+1,\]

这里的 $c$ 是定理 1 的常数。进而

\[\sum_{n\in A\atop n\leq N}\frac1n=\frac{F(N)}{N}+\int_1^N\frac{F(t)}{t^2}\mathrm dt\ll \int_1^N\frac{1}{t(\log t)^{1+c}}\mathrm dt+1\ll1.\]

令 $N\to\infty$, 得 $\sum\limits_{n\in A}\frac1n$ 收敛。

$A$ 的阶的下界

最后，顺便提一下 $A$ 的阶的下界， 1946年 Behrend的高维球面构造法给出了

\[|A|\geq Ne^{-c\sqrt{\log N } }\]

Toeplitz square peg problem hasn’t been solved yet

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Jul 042020

前几天传出了一个消息，英国杜伦大学的Andrew Lobb和波士顿学院的Joshua Greene这两位数学家解决了一个有109 年历史的著名难题：任何简单闭合曲线，都包含四个可以连接形成正方形的点。

然则，这则新闻有点耸人听闻。事实上，这两个数学家解决的只是一个附加了条件的弱化版本，并没有彻底搞定 109 年前的那个原始的猜想。

我们先来看看这个猜想是一个什么问题。这个猜想(Toeplitz square peg problem)是猜测任意连续的简单闭曲线上存着四个点构成为一个正方形。

Square Peg Problem

Andrew Lobb 和 Joshua Greene 证明的结果是：对于任意光滑的 Jordan 曲线和长方形 R, 可以找到曲线上的四个点使得构成的长方形相似于 R.

换言之，Andrew Lobb 和 Joshua Greene 证明了对于光滑的 Jordan 曲线上存着四个点构成为一个正方形，并且不仅仅如此，他们对于光滑的 Jordan 曲线得到的结果比猜想还要好很多。

于是，我们可以说，109 年前的猜想还没有完全解决，依旧还是未决难题。看来必须得有全新的想法才可能突破。

关于这个猜想，数学家已经做出了很多努力。数学家们方法尝试了许多，Tao(陶哲轩)用积分的方法，而 Lobb和Greene 的 6 页的文章是（代数）拓扑风格，是建立在前人做出的贡献，尤其是 Shevchishin 的一个定理

the Klein bottle does not admit a smooth Lagrangian embedding in $\Bbb C^2$.

之上，以辛几何为方法，取得了进展。

Andrew Lobb 和 Joshua Greene

Andrew Lobb，本科就读于牛津大学，在哈佛大学攻读博士学位，目前在杜伦大学担任助理教授，同时亦是日本冲绳科技大学的 Excellence Chair。

Joshua Greene，先后分别在芝加哥大学和普林斯顿大学攻读硕士、博士学位，现在是波士顿学院教授。

Hilbert’s 17th Problem 6: History

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Oct 202017

既然奇次多项式会变号, 那么设 $d$ 次多项式 $p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]$ 非负, 则 $d$ 为偶数. 我们以后只要关注偶次多项式就行了.

Hilbert’s 17th Problem 5: Homogeneous polynomial

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Oct 122017

齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性.

在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱.

实数域上的的 $n$ 元多项式环, 以 $\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]$ 表之.

Hilbert 限制在齐次多项式.

定义 5.1 设 $p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]$, 其次数 $\leqslant d$. 把 $n+1$ 元 $d$ 次齐次多项式

\begin{equation}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n)=x_0^dp\Big(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dotsc, \frac{x_n}{x_0}\Big)\end{equation}

称为是 $p$ 的齐次化(Homogenization). 具体来说, 当 $p=\sum cx_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n}$, 那么

\begin{equation}\begin{split}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n )&=x_0^d\sum c\Big(\frac{x_1}{x_0}\Big)^{d_1}\Big(\frac{x_2}{x_0}\Big)^{d_2} \dotsm \Big(\frac{x_n}{x_0}\Big)^{d_n}\\&=\sum cx_0^{d-d_1-d_2-\dotsb-d_n}x_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n} \\&=\sum cx_0^{d_0}x_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n},\end{split}\end{equation}

这里 $d_0=d-d_1-d_2-\dotsb-d_n$.

定理 5.2 设 $p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]$, 其次数 $\leqslant d$. 如果 $d$ 为偶数, 那么

$p$ 非负当且仅当 $\overline{p}$ 非负;
$p$ 是多项式的平方和当且仅当 $\overline{p}$ 能表成 $\frac d2$ 次齐次多项式的平方和.

引理 5.3 假定 $p$, $p_1$, $p_2$, $\dotsc$, $p_k\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]$ 都是多项式, $p=p_1^2+p_2^2+\dotsm+p_k^2$. 如果 $p_1$, $p_2$, $\dotsc$, $p_k$ 不全是零多项式, 那么

$p\ne0$;
$\deg(p)=2\max\{\deg(p_l)|l=1, 2, \dotsc, k\}$;
如果 $p$ 是 $d$ 次齐次多项式, 则诸 $p_l$ 皆是 $\dfrac d2$ 次齐次多项式.

Proof 不妨 $p_1\ne0$. 于是, 存在 $x\in\Bbb R^n$, 使得 $p_1(x)\ne0$. 然后

\[p(x)=p_1^2(x)+p_2^2(x)+\dotsm+p_k^2(x)\ge0\]

蕴涵 $p(x)\ne0$.

写 $p_l$ 为 $p_l=p_{l0}+p_{l1}+p_{l2}+\dotsb+p_{ld}$, 这里 $p_{li}$ 是 $p_l$ 的 $i$ 次齐次成分, $d=\max\{\deg(p_l)|l=1, 2, \dotsc, k\}$. 很明显, $\deg(p)\leqslant2d$; 1 表明 $p$ 的 $2d$ 次齐次成分 $p^2_{1d}+p^2_{2d}+\dotsb+p^2_{kd}\ne0$, 因为有某 $l$ 使得 $p_{ld}\ne0$.

第 3 部分的证明与 2 完全类似, 考虑诸 $p_l$ 的最低次齐次成分即可. $\Box$

Proof 当 $p$ 非负之时, 要证明 $\overline{p}$ 非负, 若 $x_0\ne0$, 由 $(1)$ 式即可; 若 $x_0=0$, 由

\begin{equation}\overline{p}(0, x_1,\dotsc, x_n)=\lim_{h\to0}\overline{p}(h, x_1,\dotsc, x_n)\end{equation}

立得.

当 $\overline{p}$ 非负之时, 只要注意

\begin{equation}p(x_1,\dotsc, x_n)=\overline{p}(1, x_1,\dotsc, x_n)\end{equation}

即知 $p$ 非负.

如果$p$ 是多项式的平方和, $p=\sum\limits_{l=1}^kp_l^2$, 那么依据引理 5.3, $\deg(p_l)\leqslant\dfrac d2$. 然后

\begin{equation}\overline{p}=\sum_{l=1}^k\Bigg(x_0^{\frac d2}p_l\Big(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dotsc, \frac{x_n}{x_0} \Big)\Bigg)^2 \end{equation}

说明 $\overline{p}$ 能表成 $\frac d2$ 次齐次多项式的平方和.

如果 $\overline{p}$ 能表成多项式的平方和, $\overline{p}=\sum\limits_{l=1}^kh_l^2$,

\begin{equation}p=\overline{p}(1, x_1,\dotsc, x_n)=\sum_{l=1}^k\Big(h_l(1, x_1,\dotsc, x_n)\Big)^2\end{equation}

说明 $p$ 能表成多项式的平方和. $\Box$

现在, 很容易的, 我们顺便建立二次多项式非负与平方和的联系.

定理 5.4 设二次多项式 $p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]$ 非负, 那么 $p$ 能写成多项式的平方和.

有了定理 5.2, 这个定理就是很显然的了: 只需要考虑与 $p$ 对应的二次齐次多项式 $\overline{p}$ 就够了. $\overline{p}$ 是二次型. 依据高等代数的正定二次型的理论, 我们断言定理 5.4 为真.

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