Cantor-Bernstein theorem(CBT) 是集合论的一个定理. 但多数人第一次接触它, 很可能不是在学习集合论的时候, 而是在初次接触实变函数.
可以肯定的是, 很多实变函数教材的开篇, 会专门的列出这个定理, 并且写出证明. 当然, 也不是每一本关于测度论和 Lebesgue 积分的书都会花笔墨来这样做, 例如, 备受好评的 Stein 的[2], Folland 的[3], 都没有提到这个定理. 这是一个有趣的问题, 以后再来讨论.
没有多少书, 会使用诸如 “…定理的证明” 这样的名称; 也没有多少定理, 会专门用一本书来收集其证明. [1]–讨论素数定理的某一类证明–和 [6]–写出了代数基本定理的几个证明–是两个例子. 很荣幸, 几个月前出版的[4], 有 429 页, 就是这样一本书. 如此, 该书的主角–Cantor-Bernstein theorem–很荣耀的加入了这样的定理的行列.
[4] 收集了如此多大人物给出的 CBT 的精彩证明, 但这本书显然不好读.
CBT 最简单的证明, 大概是使用图论的手段. 使用一点匹配理论, 可以很简单的说明 CBT 的正确. 有兴趣的读者, 可以翻阅图论经典[5], 命题 8.4.6.
There is no constructive proof of CBT
CBT 的众多证明, 没有一个是构造性的! 实际上, 不存在 CBT 的构造性的证明.
References
- 潘承洞, 潘承彪, 素数定理的初等证明, 上海科学技术出版社
- Elias M. Stein&Rami Shakarchi, Real analysis
- Gerald B. Folland, Real analysis, second Edition
- Arie Hinkis, Proofs of the Cantor-Bernstein theorem–A Mathematical Excursion, 2013
- Reinhard Diestel,Graph Theory(GTM 173), 4th ed
- Benjamin Fine&Gerhard Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra