From modular function to uniformization theorem V

Aug 192020

从模函数到单值化定理 Ⅴ

秋水无涯

Prologue:

…It is true that Mr. Fourier had the opinion that the principal purpose of mathematics was the benefit of the society and the explanation of phenomena of nature; but a philosopher like he should know that the sole purpose of science is the honor of the human mind, and under this title, a question about numbers is as valuable as a question about the system of the world…

——C. G. Jacobi, Letter to Legendre

紧Riemann面是代数几何学家感兴趣的对象，因为可以将其视为复射影空间中的代数曲线。在接下来的两章中，我们利用单值化定理对紧Riemann面做一个初步的讨论。

以 $\mathbb{\bar{C}}$ 为万有覆叠的紧Riemann面$S$ 解析同构于$ \mathbb{C}P^{1}$，有理函数是其上仅有的亚纯函数。拓扑上我们得到了一个亏格为$0$的闭曲面（球面）。这一情形是简单的。

以$\mathbb{C}$为万有覆叠的紧Riemann面S解析同构于$\mathbb{C}/\Lambda$，$\Lambda$是某个格。从拓扑上看，这是一个亏格为$1$ 的闭曲面（环面）。

和亏格$0$ 的情形不同，并非所有亏格 $1$ 的紧Riemann面都彼此解析同构。假定$ \Lambda$ 的基按逆时针排列，即$\Im(\omega_{2}/\omega_{1})\gt 0$。对同一个格可以选取不同的基，彼此相差一个$PSL(2,\mathbb{Z})$中的线性变换。将相差伸缩和旋转变换的格视为等价的，则等价类可以用 $\mathbb{H}/ PSL(2,\mathbb{Z})$进行参数化。通过覆叠映射定义$S$上的复结构，容易证明 $S$ 和 $S^{\prime}$ 解析同构当且仅当$\Lambda$ 和$\Lambda^{\prime}$ 等价。今后我们总是假定讨论的格带有标准基$1,\tau，\Im(\tau)\gt0$。

我们希望实现代数曲线 $S $ 到 $\mathbb{C}P^{N}$ 的嵌入。最直接的想法是在 $S$ 上找不同时为$0$ 的 $N+1$ 个全纯函数构作射影坐标系。然而紧Riemann面上不存在全纯函数。一个变通方案是在$\hat{S}$上寻找有特殊对称性的全纯函数f。具体地说，视单值群 $G$ 为 $Aut(\mathbb{C})$的子群，我们希望对 $g \in G，f_{i}(gz)=\gamma_{g}(z)f_{i}(z)，\gamma_{g}(z)$是仅依赖于 $g$ 的整函数且处处不为 $0$。这样利用等价关系仍可以同时消去所有的$\gamma_{g}(z)$。

实际上我们拥有了一个单值群G到整函数环的乘法群的同态。如果我们取同态象的生成元为$1$和 $e^{-2k\pi iz}$，就得到：

$$f_{i}(z+1)=f_{i}(z)，f_{i}(z+\tau)=e^{-2k\pi iz}f_{i}(z)$$

这时满足条件的 $f_{i}$可以用Fourier展开直接构造出来。计算指出其Fourier系数满足一个$k$ 阶递推关系，且对任意选取的初始值收敛，故这些函数构成一个k维函数空间。

$S$ 当然不能嵌入 $\mathbb{C}P^{1}$。取 $k=3$，利用上述的 $f_{i}$ 可完成 $S$ 到 $\mathbb{C}P^{2}$ 的嵌入。我们不再讨论技术性的细节，而是指出类似的想法可以推广到高维。高维复环面可以嵌入射影空间当且仅当其周期矩阵满足Frobenius关系。

按上述方式定义的 $f_{i}$是一种特殊的theta函数。k称为theta函数的权。我们利用theta函数来研究 $S$ 上的亚纯函数。亏格为 $1$ 的紧Riemann面上的亚纯函数对应 $\mathbb{C}$上的双周期函数，沿用历史上的叫法，也称为椭圆函数。现在很容易构造这样的函数：取两个权为 $k$ 的theta函数的商即可。这个利用theta函数的商构作椭圆函数的想法是Jacobi的。椭圆函数论是一门不小的学问，和很多有趣的话题有关。这里我们想指出的是，椭圆函数是 $\mathbb{C}$上$G$-不变的亚纯函数。在 $\triangle$ 上 $G$-不变的亚纯函数称为自守函数。在第6章中我们将会看到Jacobi的想法如何启发了Poincaré在自守函数方面的工作。

Weierstrass提出了另一种构造椭圆函数的方法，即利用Weierstrass $\mathfrak{P}$函数。这方法简洁明了，被大多数现代课本采用。然而值得指出的是，theta函数处在数论、自守形式、函数论和数学物理的交叉点上，研究其性质有极高的附加价值。在第7章中有一个重要的例子：尖点形式$\Delta$。

在Jacobi看来，纯数学和应用数学是一体的（Bourbaki，尤其是Dieudonné鼓吹的“为了人类心智的荣耀”是对Jacobi可耻的断章取义）。在对theta函数的研究中他身体力行地实践了这一哲学。在现代，这一传统的有力继承者是Arnold，因而引用Arnold的话来结束是适当的：

Jacobi noted, as mathematics’ most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum.

These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology.

The emotional significance of such discoveries for teaching is difficult to overestimate. It is they who teach us to search and find such wonderful phenomena of harmony of the Universe.

From modular function to uniformization theorem II

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Jul 132020

作者：秋水无涯

Prologue:

要善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方。 ——华罗庚

“转换原理”可以粗略地叙述如下：如果对“有界”函数叙述的较弱命题成立，则对“在 $\mathbb{C} $ 上有2个空隙值”的函数所叙述的较强命题也成立。

我们用具体的例子来说明。首先是经典的Liouville定理：

任何一个在 $\mathbb{C}$上有界的全纯函数f必为常值函数。

“转换原理”将其加强为著名的Picard小定理：

任何一个在 $\mathbb{C} $上有2个空隙值的全纯函数F必为常值函数。

下面来证明Picard小定理，借以说明“转换原理”的运作机制：

首先注意到，我们可以把Liouville定理中的有界性要求替换为 $Im(f) \subset \triangle$.

假设全纯函数 $F $ 在 $\mathbb{C}$ 上有2个空隙值。考虑复合函数$\mu=\lambda ^{-1} \circ F$。任取 $z_0 \in \mathbb{C}，F(z_0)=w_0$。在 $w_0$ 的邻域中$\lambda^{-1}$可取到某一单值分支。由于$\lambda$是覆叠映射，定义在单连通区域 $\mathbb{C}$上的 $\mu$可延拓成一个单值函数，并满足 $Im(\mu) \subset \triangle$。由Liouville定理，$\mu$ 为常值函数，从而$F$为常值函数。

此证明最早由Picard给出。

C.E.Picard (1856-1941）

和Picard小定理相比，Picard大定理更加微妙。我们需要更多的准备。

首先陈述经典的Weierstrass定理：

解析函数在本性奇点的每一邻域中都任意地逼近于任意复数值。

为应用“转换原理”，我们将其重新叙述为（较弱的）：

命题1：若解析函数f在孤立奇点的某一邻域内“有界”，则此奇点不是本性奇点（从而是可去奇点或极点）。

此处的“有界”指的是：视$\mathbb{\bar{C}}$ 为球面，则此邻域的象包含在球面上的某大圆中。对于可去奇点，其邻域的象点“聚拢”到复平面上的某一常点；对于极点则“聚拢”到无穷远点。在这两种情况下，我们都得到广义的“有界性”。而对于本性奇点，任一邻域的象都“分散”在整个球面上。

通过一个Möbius变换，我们可以进一步将“广义有界”的要求替换为：存在某邻域的象落在 $\triangle$ 中。

同时我们也对“转换原理”稍作推广：对$\mathbb{\bar{C}}$ 上的广义“有界”函数成立的命题对“在 $\mathbb{\bar{C}}$上有3个空隙值”的函数亦成立。

不妨假定奇点为0。推广后的“转换原理”将命题1转换为Picard大定理：若解析函数$F: \mathbb{\bar{C}}\backslash\{0\} \to \mathbb{\bar{C}}$在奇点的某一邻域内有3个空隙值（计入$\infty$)，则0不是本性奇点。

换言之，解析函数在本性奇点的任一邻域中至多有2个空隙值（计入$\infty$)。

证明：选取以0为圆心且半径充分小的穿孔圆盘$\Omega\backslash\{0\}$ 使其满足假设。将F 限制到 $\Omega\backslash\{0\}$上。同样的，考虑复合函数$\mu=\lambda ^{-1} \circ F$。此处的困难是$\Omega\backslash\{0\}$并非单连通域，故证明Picard小定理时所用的解析延拓未必给出单值函数。这要求我们推广命题1为：

命题2：若多值解析函数f（更准确地说，给定的初始函数芽在穿孔圆盘上延拓而成的全局解析函数）在孤立奇点的某一邻域内“有界”，则此奇点是代数奇点（支点）。

一个简单的证明手法是利用单值化定理对f进行单值化，从而化归为命题1。

总而言之，就其本质而言，Picard大定理是一个应当在Riemann面上陈述的定理。

最后我们希望对“转换原理”做一个一般的讨论。复分析中隶属于值分布论的结果一般都是比较深刻的。“转换原理”允许我们“足够地退”，退到论证“有界性”。讨论后者时，常有更多分析的手段可以采用。例如Liouville定理和Weierstrass定理都可以通过初等估计来证明。在第3章中我们要将函数的有界性和函数空间的“紧致性”联系起来。

About “complex analysis” by Ahlfors, Cartan and Kunihiko Kodaira

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May 302019

“苟日新，日日新，又日新”

作者: 秋水无涯

博尔赫斯曾经(大逆不道地)怀疑过所有经典文学作品的“永恒性”。在我看来，在数学中实践这种怀疑主义所要冒的风险要小得多。这是一门研究客观对象的学问（我无意卷入哲学上的争论，例如“理念”是否真实存在，数学家“发现”还是“发明”定理等等：实践者或多或少总能达成共识，而与旁观者争论是没意义的)，认识总在进步。如果说有人站在巨人的肩膀上以至于觉得巨人并不高大，他大可不必为此感到羞愧。何况据说小平先生还没有他的夫人高呢。

经典的复分析理论是由3位风格各异的大师奠定的：Cauchy的积分表示观点，Weierstrass的幂级数表示观点和Riemann的复几何观点。近代恰好也有3位大师写过复分析的入门书：Ahlfors、H.Cartan以及小平邦彦。诚然，一本近代教材不可能只局限于介绍某种观点，甚至3种经典观点本身也无法截然分开，然而我们还是不难发现某种对应：

Ahlfors《复分析》最精彩的部分在于提供了一个从拓扑角度看完全清晰而现代的Cauchy积分定理。他毫不掩饰自己的分析学家趣味，自得其乐地(当然同时也让读者受益无穷)讨论着函数的各种表示，函数空间内的收敛性，椭圆函数论以及超几何函数论。这些论题覆盖了经典函数论的绝大部分内容，又出之以现代观点，使得此书在数十年间一直保持着第一参考书的地位。这是3本书中我读得最早也最钟爱的一本，虽然我并不强求它是完美的：在不引入Riemann面的情况下引入层论是相当勉强的，除了让叙述稍显摩登之外没有什么意义。

Cartan的《解析函数论》则处于一种尴尬的境地。他试图把Weierstrass观点摆到图像的中心，但这里有一个天然的(？)的限制：从积分表示构造幂级数表示要比从幂级数表示构造积分表示自然得多。因而他不得不在两种观点间来回跳跃，远不如Ahlfors宏大而一致。当然他的牺牲也获得了某种回报：Weierstrass观点可以毫不费力地推广到多变元(Cauchy的大部分函数论定理也仍然正确；高维的困难之处本质上是几何的)。

小平讨论了Riemann面，讨论了调和函数和“臭名昭著”的Dirichlet原理，讨论了Abel积分，也讨论了Riemann-Roch定理——他的这本著作几乎可以用来为Riemann招魂。这个膜拜Riemann的教派大概是由Klein创始的，一传到Weyl，再传到小平。然而从Riemann到小平已将近一个世纪，这种“复古”的风气难免显得有些怪异：在讨论全纯/亚纯形式的时候，小平偏要说Abel微分并把它分为一二三类；椭圆算子的正则性以及Hodge理论原本是他的拿手好戏，他却宁愿踩着Weyl引理-Dirichlet原理这条窄道小心前行：多么讽刺啊，以Hodge理论名震天下的小平邦彦，在写书的时候竟然连Hodge的名字都不敢提！这种“爱护”对学生有何好处呢？如果小平自己都莫名其妙地不置一词，初学者又怎么知道引理8.1和定理8.1在高维妙用无穷呢？

当然，有人会说：这个特例已很有代表性(在证明了RR定理的情况下尤其如此)，何必用一般性去困扰学生呢？但我意不在此。我所惋惜的是这个例子明明可以把学生引导到当时的前沿领域，引向一些激动人心的进展，作为向导的小平却宁愿带着一帮人回头走向Riemann：这是何必、何苦？

我知道一些数学家有所谓“经典情结”。Weil就是典型的例子。总有人以他读Gauss全集“读”出了Weil猜想为例宣传挖掘经典的必要性，伍鸿熙先生甚至在介绍现代Riemann几何的书里鼓励年轻人去念Gauss、Riemann和Poincare。在我看来这是一种纯粹的误导：一方面，重新拾起那些被现代数学消化了的概念毫无必要；另一方面，在经典作品里找到遗珠并非不可能，但因此鼓励初学者去撞运气则是荒唐的，我也绝不相信伍先生自己的论文是这样写出来的。

曾有人问丘成桐先生学微分几何要读什么书。丘先生明确地表示Spivak并不合适：“他自己不是搞几何的专家。”说得明白一些，“历史趣味”对于研究至多是锦上添花，读丘成桐比读Gauss要有效得多：至于那些喜欢拿“谁更伟大”说事的人，他们自己往往什么都搞不出来。

从这个意义上来说，小平的复分析是一本好书：它好在内核是新的，用现代的观点处理了Riemann留下的一些古典论题(而并不是好在“小平先生是人人景仰的大师”这些不着边际的话)。但它又是一本太过保守的书，并不能把没有经验的读者带到更远处——很可能要等到他们念Griffiths-Harris的时候才能明白：“哦，原来这里是重要的。哦，原来小平先生处理问题的手法是受这些现代观点影响。哦，原来小平先生并不是踏雪无痕，而是过分小心地把自己思想的脚印一一擦掉了。”

Complex analysis 6: Harnack’s inequality

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Aug 152013

Harnack’s inequality 是关于调和函数的一个不等式, 被 A. Harnack 在 1887 年引进. 随后又被其他人重新发现, 比如 J. Serrin 和 J. Moser. 有不少重要的数学家对 Harnack’s inequality 做出各种推广. 通过Nash-Moser迭代, 人们发现在较为一般的散度型椭圆方程和抛物方程正解都具有这种性质. 从此, Harnack 不等式在偏微分方程解性质研究中发挥了巨大作用. 上世纪八十年代, P.Li 和丘成桐给出了Harnack不等式的另一种认识途径, 即所谓微分Harnack 估计. Li-Yau 对 Harnack不等式的新认识对 Ricci 流发展有重要影响. 经典椭圆型偏微分方程和抛物方程中的Harnack不等式在几何流中, 有很多应用. Perelman 证明 Poincaré conjecture, 就使用了 R. Hamilton 的一个 Harnack’s inequality 的推广形式. Harnack’s inequality 在偏微分方程有很多重要应用.

Harnack’s inequality Let $D=\{z:|z|<1\}$. suppose $f(z)$ is analytic on $D$, $\mathrm{Re}f(z)\geqslant0,\forall z\in D, f(0)>0$, then

$|\mathrm{Im}f(z)|\leqslant f(0)\dfrac{2|z|}{1-{|z|^2}};$
$f(0)\dfrac{1-|z|}{1+|z|}\leqslant \mathrm{Re}f(z)\leqslant |f(z)| \leqslant f(0)\dfrac{1+|z|}{1-|z|},$

and that equality holds if and only if $f(z)=w_0\dfrac{1+e^{i\alpha}z}{1-e^{i\alpha}z}$($w_0,\alpha\in\Bbb R$, and $w_0>0$).

Proof Without loss of generality, we assume $f(0)=1$. Let

\[ h(z) =\frac{1+z}{1-z} \]

be the standard linear fractional map of $D$ onto the right half plane. $\forall r, 0\leqslant r<1$, $h(z)$ maps $\{z: |z|\leqslant r\}$ to the disc

\[E_r=\{w:|w-\frac{1+r^2}{1-r^2}|\leqslant\frac{2r}{1-r^2}\}.\]

According to Schwartz lemma , it follows that

\[\left |\frac{f(z)-1}{f(z)+1}\right| \leqslant |z|,\]

Thus we are led to the conclusion that

\[ |h^{-1}(f(z))|\leqslant |z|.\]

this implies $f(z)\in E_{|z|}$. $\Box$

Complex analysis 5: Abel’s theorem

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Aug 112013

这里指的是复分析中关于幂级数的 Abel’s theorem, 目的是讨论幂级数在收敛圆周的性态.

$ D=\{z\in\Bbb C:|z|<1\} $. Let $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n(a_n,z\in\Bbb C)$be a power series, and the radius of convergence of $f(z)$ is $1$, $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n =s$. we cannot conclude that

\[\lim_{D\ni z\to1 }f(z)= s.\]

这个事情说来话长.

In 1916, Sierpiński constructed a power series with radius of convergence equal to $1$, also converging on every point of the unit circle, but with the property that $f$ is unbounded near $z=1$.

Sierpiński 的例子很复杂, 在一本法文书上可以找到.

For odd $n$ let $p_n = 1\cdot 3\cdot 5\cdots n$, For even $n$ set $p_n=2p_{n-1}$. Define

\[ f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}nz^{p_n}. \]

Complex analysis 4: Cauchy–Riemann equations

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Apr 072013

这节的目的是 Cauchy–Riemann 方程. 注意, 我们是在不涉及导数, 解析函数的前提下做这件事.

Cauchy–Riemann 方程

大名鼎鼎的 Cauchy–Riemann equations:

\[\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.\end{cases}\]

这是一个偏微分方程组, 是复分析的核心.

Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations

Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations 是有联系的.

Complex analysis 3: Proofs of the fundamental theorem of algebra based on Cauchy’s theorem

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Mar 232013

Fundamental theorem of algebra(FTA) Every polynomial of degree $n\geqslant1$ with complex coeficients has a zero in $\Bbb C$.

我们尝试使用 Cauchy 积分公式来证明代数基本定理. 其实有几个大同小异的证明, 基本的想法是一致的. 第一个证明属于 Anton R. Schep.

Proof. Let $p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb+a_1z+a_0$ be a polynomial of degree $n\geqslant1$ and assume that $p(z)\ne0$ for all $z\in\Bbb C$. Then the function defined by $\frac1{p(z)}$ is entire. By Cauchy’s theorem,

\[\int_{|z|=r}\dfrac{\mathrm dz}{zp(z)}=\dfrac{2\,\mathrm\pi i}{p(0)}\ne 0.\]

Since

\[|p(z)| \geqslant |z|^n\left(1-\frac{|a_{n-1}|}{|z|}-\dotsb-\frac{|a_0|}{|z|^n}\right) > \frac12|z|^n\]

for $z$ sufficiently large, so

\[\left|\int_{|z|=r}\dfrac{\mathrm dz}{zp(z)}\right| \leqslant 2\,\mathrm\pi r \cdot \max_{|z|=r}\dfrac1{|zp(z)|} = \dfrac{2\,\mathrm\pi }{\min\limits_{|z|=r}|p(z)|}\to0(r\to\infty),\]

which is a contradiction, and therefore $p(z)$ has a zero. $\Box$

这个证明还可以另一种面目表现出来: 使用关于解析函数的 Mean-Value Property(MVP).

第二个证明依旧是反证法. 我们可以假定 $z\in\Bbb R$ 时, $p(z)$ 是实数(否则, 考虑 $p(z)\overline{p}(z)$, 这里 $\overline{p}(z)=z^n+\overline{a_{n-1}}z^{n-1}+\dotsb+\overline{a_1}z+\overline{a_0}$). 既然, $\forall x\in\Bbb R, p(x)\ne0$, 于是可有

\[\int_0^{2\,\mathrm\pi}\dfrac{\mathrm d\theta}{p(2\cos \theta)}\ne 0.\]

但是, 这个积分显然等于

\[\frac1i\int_{|z|=1}\frac{\mathrm dz}{zp(z+\frac1z)}=\frac1i\int_{|z|=1}\frac{z^{n-1}\,\mathrm dz}{q(z)},\]

这里 $q(z)=z^np(z+\frac1z)$ 是一个多项式. 显然 $z\ne0$ 时, $q(z)\ne 0$, 而且 $q(0)=1$, 于是 $\dfrac{z^{n-1}}{q(z)}$ 是整函数. 据 Cauchy 定理, 上面的积分是 $0$. 矛盾！

Complex analysis 2: Variation of argument, fundamental theorem of algebra

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Mar 102013

下面的定义在多值函数中起着重要作用:

定义设 $f(z)$ 是一个连续复函数, $\gamma$ 是在 $f(z)$ 的定义域中有意义的一简单闭曲线. 设

1) $a$ 在曲线 $\gamma$ 上;

2) $f(z)$ 不经过 $0$, 即 $0\notin f(\gamma)$;

3) 取 $f(a)$ 辐角的一个值, 记为 $\alpha_1$;

4) 沿着曲线 $\gamma$, $f(z)$ 的辐角连续变化;

5) 沿着曲线 $\gamma$ 一圈, 第一次回到 $a$, 这个时候$f(a)$ 的辐角, 记为 $\alpha_2$,

我们把

\[\Delta_{\gamma}\arg f(z)\equiv\alpha_2-\alpha_1\]

称为 $f(z)$ 沿 $\gamma$ 的辐角变化总量.

下面我们用这个想法来证明代数基本定理. 这仅是一个思路, 要严格写出来, 估计要不少篇幅.

设 $f(z)=a_nz^n+\dotsc+a_1z+a_0$.

记 $\gamma_1$ 是圆心在原点的半径为 $R$ 的圆. 当 $R$ 充分大的时候, $f(z)$ 沿 $\gamma_1$ 的辐角变化量是 $2n\pi$;

另一方面, 当 $a_0\ne0$ 时, 当 $r$ 充分小的时候, $f(z)$ 沿 $\gamma_2$ 的辐角变化量是 $0$, 这里 $\gamma_2$ 是圆心在 $a_0$ 的半径为 $r$ 的圆.

这两方面的矛盾说明, $f(z)$ 必定在某个 $z_0$ 使得 $f(z_0)=0$.

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