Darboux (14 August 1842-23 February 1917) 是法国数学家.

Darboux’s theorem 是单变量微分学的一个简单的定理, 但大学一年级的分析的教科书上通常却没有这个结果. 这里指的是分析(analysis)中的 Darboux’s theorem, 而不是微分几何(Differential geometry)中关于微分形式(Differential form)的那个Darboux’s theorem.

Darboux’s theorem  函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导, 则导数 \(f^\prime(x)\) 具有介值性质.

Sam B. Nadler, Jr 在 [1] 给出的一个证明揭示了一些 Darboux’s theorem 没能反映的性质. 为了突出函数的斜率, 我们把关于连续函数的斜率写成单独的引理:

Lemma 1 设 \(I\)  是一个区间, \(f\in C(I)\). 令 \(C\) 表示所有连接 \(f\) 的图像上(不同)点的弦的斜率的集合, 即

\begin{equation}C=\bigg\{\frac{f(s)-f(r)}{s-r}: s, r\in I\;\;\text{and}\;\; s\ne r\bigg\}.\end{equation}

那么, \(C\) 是一个区间.

Proof  固定 \(p\in C\),

\begin{equation}p=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}, \; a\lt b, \; \;a, b\in I.\end{equation}

我们来指出, 有 \(C\) 中的区间连接 \(p\) 和 \(C\) 中异于 \(p\) 的任一点 \(q\). 无妨

\begin{equation}q=\frac{f(c)-f(d)}{c-d}, \; c\lt d, \;\;c, d\in I.\end{equation}

下面的公式定义了一个函数 \(\varphi\colon [0, 1]\to C\), 并且 \(\varphi(0)=p\), \(\varphi(1)=q\):

\begin{equation}\varphi(t)=\frac{f((1-t)a+tc)-f((1-t)b+td)}{((1-t)a+tc)-((1-t)b+td)},\;\;\; t\in[0, 1].\end{equation}

既然 \(a\lt b\), \(c\lt d\), 当 \(t\in[0, 1]\), 有 \((1-t)(a-b)+t(c-d)\ne0\); 写法稍加改变, 即对每一个\(t\in[0, 1]\), \(\big((1-t)a+tc\big)-\big((1-t)b+td\big)\ne0\). 故而, 上面的公式确实定出了一个函数 \(\varphi\).

\(\varphi\) 给出了将点 \((a, f(a))\) 和 \((b, f(b))\) 关于 \(x\) 轴”线性地”, 沿着 \(f\) 的图像滑动到点 \((c, f(c))\) 和 \((d, f(d))\) 而得到的弦的斜率; \(\varphi\) 是连续的. 由价值定理, \(\varphi([0, 1])\) 是一个区间. 从 \(\varphi(0)=p\), \(\varphi(1)=q\), 我们已经证明了 \(p\) 和 \(C\) 中的每一点 \(q\) 可被 \(C\) 中的一个区间连接. 至此, 可以判定 \(C\) 是一个区间.

现在来证明比 Darboux’s theorem 稍强一点的结论.

定理 2 令 \(D\) 表示 \(f^\prime\) 在 \(I\) 上所有取值的集合

\begin{equation}D=\big\{f^\prime(x): x\in I\big\}.\end{equation}

那么, \(D\) 是一个区间, 并且 \(C\subset D\subset\overline{C}\)(\(C\) 的闭包).

事实上, 中值定理指出 \(C\subset D\). 导数的定义给出 \(f^\prime\) 的每个取值是弦的斜率的极限; 此导致 \(D\subset\overline{C}\). 现在, 我们已经得出 \(C\) 是区间, 且 \(C\subset D\subset\overline{C}\). 我们立刻知道, \(D\) 是区间.

接下来的这个证明有异曲同工之妙, 在蛮多地方出现.

记 \(c=\frac{a+b}2\). 定义函数

\begin{equation}\alpha(t)=\begin{cases}a,&a\leqslant t \leqslant c\\2t-b,&c\leqslant t \leqslant b\end{cases}\end{equation}

及

\begin{equation}\beta(t)=\begin{cases}2t-a,&a\leqslant t \leqslant c\\b,&c\leqslant t \leqslant b\end{cases}\end{equation}

\(\alpha(t)\) 与 \(\beta(t)\) 都是区间 \([a, b]\) 上的连续函数; 当 \(a\lt t\lt b\), 有 \(a\leqslant\alpha(t)\lt\beta(t)\leqslant b\).

现在, 作

\begin{equation}g(t)=\begin{cases}f^\prime(a),&t=a\\ \dfrac{f(\beta(t))-f(\alpha(t))}{\beta(t)-\alpha(t)},&a\lt t\lt b\\ f^\prime(b),&t=b\end{cases}\end{equation}

于是, \(g(t)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续.

设 \(\lambda\) 符合 \(g(a)\lt\lambda\lt g(b)\), 则存在 \(t_0\in(a, b)\), 使得 \(g(t_0)=\lambda\). 中值定理给出 \(x\in(\alpha(t_0), \beta(t_0) )\), 使得 \(f^\prime(x)=g(t_0)\), 此即 \(f^\prime(x)=\lambda\).   \(\Box\)

 References

1. Sam B. Nadler, Jr. A proof of Darboux’s Theorem, The Amer Math Monthly, Vol 117(2010), No.2, 174-175

2014 年第 2 期的 “The American Mathematical Monthly” 文章较多, 一共有 17 篇, 其中至少 5 篇是对旧定理–诸如 Stirling’s Formula, 余弦定理, Clairaut’s Theorem(Symmetry of second derivatives 二阶导数的对称性)这样的经典结论–的新证明.

Symmetry of second derivatives If \(f_{xy}\) and \(f_{yx}\) are continuous at any given point, then they are equal at the point.

显而易见, 每一本多元微积分的入门教科书都会论述二阶导数的对称性.

Lemma  Let \(f_{xy}\) and \(f_{yx}\) be continuous on rectangle \(R=[a,b]\times[c,d]\). Then

\[\iint_Rf_{xy}\,\mathrm dA=\iint_Rf_{yx}\,\mathrm dA=f(b,d)-f(b,c)-f(a,d)+f(a,c).\]

这是显然的, 因为

\[\iint_Rf_{xy}\,\mathrm dA=\int_a^b\left(\int_c^d f_{xy}(x,y)\,\mathrm dy\right)\,\mathrm dx.\]

由微积分基本定理, 就得到了引理.             \(\Box\)

回到我们的最终目标. Proof by contraduction.

Suppose they are not identically equal. Then at some point \((a, b)\), they differ; say

\[f_{xy}(a, b)-f_{yx}(a, b)=l\gt0.\]

Note that, since \(f_{xy}\) and \(f_{yx}\) are continuous, there is some small \(\triangle x\times\triangle y\) rectangle, centered at \((a, b)\), on which

\[f_{xy}(x, y)-f_{yx}(x, y)\geqslant\frac l2,\]

Hence,

\[\iint_R\left(f_{xy}-f_{yx}\right)\,\mathrm dA\geqslant\iint_R \frac l2\,\mathrm dA=\frac l2\triangle x\triangle y\gt0.\]

this contradicts the lemma.                 \(\Box\)

这个证明真是简洁非常! 开始提到的美国数学月刊的新解法, 没这么漂亮.