mathematical analysis

Darboux (14 August 1842-23 February 1917) 是法国数学家. Darboux’s theorem 是单变量微分学的一个简单的定理, 但大学一年级的分析的教科书上通常却没有这个结果. 这里指的是分析(analysis)中的 Darboux’s theorem, 而不是微分几何(Differential geometry)中关于微分形式(Differential form)的那个Darboux’s theorem. Darboux’s theorem  函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导, 则导数 \(f^\prime(x)\) 具有介值性质. Sam B. Nadler, …

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The derivative \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) is not a ratio. Leibniz 引进了符号 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\), 人们认为它是商: \(x\) 的改变导致的 \(y\) 的无穷小改变与 \(x\) 的无穷小改变的商. 但实际上, \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 仅仅是一个符号, 用来表示导数, 其定义是一个极限. 我们不能把 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 解释为”比”. 诚然, Leibniz 的符号非常有启发性, 也很有用. 比如, 反函数定理是这么说的: \[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} = \frac1{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}.\] 这非常自然, 如若把导数理解为分数. 再如, …

\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) is not a ratio Read More

2014 年第 2 期的 “The American Mathematical Monthly” 文章较多, 一共有 17 篇, 其中至少 5 篇是对旧定理–诸如 Stirling’s Formula, 余弦定理, Clairaut’s Theorem(Symmetry of second derivatives 二阶导数的对称性)这样的经典结论–的新证明. Symmetry of second derivatives If \(f_{xy}\) and \(f_{yx}\) are …

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若正项级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛, 证明: 级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\) 也收敛. 这是[1]下册 16 页例题 13.2.6. 这书很赞的, 非常给力! 我们先来简单的复述下这书给出的证明的要点: 说穿了, 这个证明的目的, 就是建立 \begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}}\leqslant4\sum_{n=1}^\infty a_n.\end{equation} 为此, 我们可以认为正数数列 \(\{a_n\}\) 单调递减. 这是因为 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\), …

Hardy’s inequality \(p=-1\) Read More