Mar 102013
下面的定义在多值函数中起着重要作用:
定义 设 \(f(z)\) 是一个连续复函数, \(\gamma\) 是在 \(f(z)\) 的定义域中有意义的一简单闭曲线. 设
1) \(a\) 在曲线 \(\gamma\) 上;
2) \(f(z)\) 不经过 \(0\), 即 \(0\notin f(\gamma)\);
3) 取 \(f(a)\) 辐角的一个值, 记为 \(\alpha_1\);
4) 沿着曲线 \(\gamma\), \(f(z)\) 的辐角连续变化;
5) 沿着曲线 \(\gamma\) 一圈, 第一次回到 \(a\), 这个时候\(f(a)\) 的辐角, 记为 \(\alpha_2\),
我们把
\[\Delta_{\gamma}\arg f(z)\equiv\alpha_2-\alpha_1\]
称为 \(f(z)\) 沿 \(\gamma\) 的辐角变化总量.
下面我们用这个想法来证明代数基本定理. 这仅是一个思路, 要严格写出来, 估计要不少篇幅.
设 \(f(z)=a_nz^n+\dotsc+a_1z+a_0\).
记 \(\gamma_1\) 是圆心在原点的半径为 \(R\) 的圆. 当 \(R\) 充分大的时候, \(f(z)\) 沿 \(\gamma_1\) 的辐角变化量是 \(2n\pi\);
另一方面, 当 \(a_0\ne0\) 时, 当 \(r\) 充分小的时候, \(f(z)\) 沿 \(\gamma_2\) 的辐角变化量是 \(0\), 这里 \(\gamma_2\) 是圆心在 \(a_0\) 的半径为 \(r\) 的圆.
这两方面的矛盾说明, \(f(z)\) 必定在某个 \(z_0\) 使得 \(f(z_0)=0\).