Jul 172020
作者:赵亮
问题:有哪些 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的多项式,它们在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的,而对任意素数 \(p\),模 \(p\) 以后在 \(\mathbb{Z}_p[x]\) 上都是可约的?
当时我给了回答,后来账号注销了,答案也就一并删除了。现在把我的原答案贴在这里:
我所知道的有两大类多项式:
第一类是所有的 Swinnerdon-Dyer 多项式,它们形如 \[f(x)=\prod(x\pm\sqrt{p_1}\pm\sqrt{p_2}\cdots\pm\sqrt{p_n}),\] 其中 \(p_1,\ldots,p_n\) 是互不相同的素数,乘积跑遍所有 \(2^n\) 种不同的组合。这种多项式都是不可约的整系数多项式,但是模任何素数 \(p\) 以后都分解为一次或者二次因式的乘积。
第二类来自分圆多项式,分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 是本原 \(n\) 次单位根在 \(\mathbb{Q}\) 上的极小多项式,其次数为 \(\phi(n)\),这里 \(\phi(\cdot)\) 是 Euler totient 函数。绝大多数分圆多项式模任何素数 \(p\) 都是可约的!实际上我们有如下结论:
定理:分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 模任何素数 \(p\) 都可约当且仅当 \(n\ne1,2,p,2p^k\),其中 \(p\) 是奇素数,\(k\) 是正整数。
你可以看到知乎那个问题下的回答中举的例子都是最简单的 Swinnerdon-Dyer 多项式或者分圆多项式的例子。